超富足半群及其子類

雪靜，任學明

（西安建筑科技大學數(shù)學系，陜西西安710055）

超富足半群及其子類

雪靜，任學明

（西安建筑科技大學數(shù)學系，陜西西安710055）

借助半群的Malcev積和公理化條件，對超富足半群及其子類進行了刻畫，給出了超富足半群及其子類的若干特征.

超富足半群；可消幺半群；Malcev積；同余

1　引言

為了深入研究廣義正則半群，人們引入了如下的廣義格林關(guān)系.令S為一半群，a，b為S的任意兩個元素.則定義

容易驗證，L?L?和R?R?，其中L和R為半群S上通常的格林關(guān)系.特別地，當a，b為正則元時，（a，b）∈L?，當且僅當（a，b）∈L.對偶地，（a，b）∈R?，當且僅當（a，b）∈R.用H?表示L?和R?的交，即H?=L?∧R?；用D?表示L?和R?的連，即D?=L?∨R?.半群S稱為富足半群，如果S的每一L?-類和每一R?-類都含有冪等元.半群S稱為超富足半群，如果S的每一H?-類含有冪等元.據(jù)文獻［1］，易知正則半群是富足半群，完全正則半群是超富足半群.

超富足半群作為完全正則半群在富足半群類中的推廣，它的研究受到人們的廣泛關(guān)注［1-2］.本文將利用半群的Malcev積和公理化條件，對超富足半群及其若干子類進行研究，并給出這些子類的特征刻畫.

為了方便陳述，首先引入以下半群類及記號：

令A(yù)表示某些半群構(gòu)成的類.半群S上的一個同余ρ稱為A-同余，如果商半群S/ρ屬于A；半群S上的一個同余ρ稱為在A上的，如果每一個冪等的ρ-類屬于A.假設(shè)A和B分別為半群所構(gòu)成的類，那么A和B的Malcev積是指具有一個B-同余ρ，且ρ是在A上的半群構(gòu)成的類，記為A?B，即A?B=｛S∈S|半群S上存在一個B-同余ρ，且ρ是在A上的｝.文中未給出的符號和術(shù)語見文獻［3-8］.

2　若干準備

令S為一半群.假設(shè)ρ為S上的等價關(guān)系，用aρ表示元素a所在的ρ-類.稱半群S帶有一元運算，如果存在一個映射ρ?：S→S，使得關(guān)于任意a∈S，其中a0表示aρ的恒等元.本文總假定S為帶有一元運算的半群.顯然a0ρa，且關(guān)于任意x∈aρ，有xa0=a0x=x，特別地，a=aa0=a0a.此外，由文獻［1］知，任意超富足半群S總可表示為完全J?-單半群Sα（α∈Y）的半格，即S=（Y；Sα）.

為了便于對超富足半群S及其子類進行刻畫，羅列下面的公理條件：

下面先給出關(guān)于半群S的一個基本引理.

引理2.1令S為一半群.則下述各款成立：

（i）S∈M?B，當且僅當S滿足公理條件（C1），（C2）及（C5）；

（ii）S∈M?SL，當且僅當S滿足公理條件（C1），（C2），（C5）及（C8）；

（iii）S∈M?ReB，當且僅當S滿足公理條件（C1），（C2），（C5）及（C7）.

下述定理給出了超富足半群的一個刻畫.

定理2.1半群S是超富足半群，當且僅當S滿足公理條件（C1）-（C4）.

證明（?）假設(shè)半群S為超富足半群，且a∈S.用a0表示H?a的唯一冪等元.顯然，a=a0a=aa0和a0=a00.因此，公理（C1），（C2）成立.又因aL?a0和aR?a0，據(jù)L?和R?的定義，有公理（C3），（C4）成立.

（?）令a∈S.因半群S滿足公理（C1）和（C2），則有a0=a0a00=a0a0=（a0）2.從而a0∈E（S）.若關(guān)于任意x，y∈S1，a0x=a0y，由S滿足（C1），知ax=aa0x=aa0y=ay.又由半群S滿足公理（C3），從而aL?a0.類似地，可證aR?a0.因此aH?a0，這表明S是超富足半群.

現(xiàn)建立關(guān)于超富足半群的下述引理.

引理2.2［1］令S是超富足半群.則下面結(jié)論成立：

（i）關(guān)于任意a∈S，aH?a0；

（ii）如果H?a是半群S的子半群，則H?a∈C；

（iii）關(guān)于任意a，b∈S，aH?b，當且僅當a0=b0；

（iv）L??R?=R??L?=D?.

現(xiàn)在，考慮超富足半群S的一個重要子類，即H?為S上同余的情況.

引理2.3令S是超富足半群，且H?是同余.則關(guān)于任意a，b∈S，有

（i）aL?b，當且僅當aH?LbH?；

（ii）aR?b，當且僅當aH?RbH?；

（iii）aD?b，當且僅當aH?DbH?；

（iv）S∈（C?RB）?SL.

這里，L，R和D分別表示商半群S/H?上的格林關(guān)系.

3　主要結(jié)果

本節(jié)將給出超富足半群某些子類的若干特征.

定理3.1令S為一半群.則下列各款等價：

（i）S∈C?B；

（ii）H?是一個B-同余，且是在C上的；

（iii）S為超富足半群，H?是同余；

（iv）S滿足公理條件（C1）-（C5）.

證明（i）?（ii）假設(shè)S∈C?B.則在S上存在一個B-同余ρ，且ρ是在C上的.因此，關(guān)于每個a∈S，aρ是商半群S/ρ的冪等元，且每個aρ是S的一個可消幺子半群.令a0表示aρ中的恒等元，顯然，aρa0.現(xiàn)令aH?b.則aL?b.由a=aa0和L?的定義，得b=ba0.因ρ為同余，則baρba0.類似地，據(jù)aR?b和b=b0b，得a=b0a.從而a=b0aρbaρba0=b.因此，H??ρ.反過來，令aρb.顯然，aρa0.假設(shè)關(guān)于任意x，y∈S1，ax=ay.由ρ為同余，得a0xaρaxaρ（ax）0a及a0yaρayaρ（ay）0a.但

從而，

注意到（a0xa）ρ為一個可消幺半群，則由（ax）0aa0xa=（ay）0aa0ya和（ax）0a=（ay）0a，得a0xa=a0ya.這蘊含a0xay=a0yay.再由a0xρax=ayρa0y及（a0x）ρ為一個可消幺半群，得a0x=a0y.顯然，若a0x=a0y，則ax=aa0x=aa0y=ay.因此，aL?a0.類似地，有bL?b0.但b0=a0，因此aL?b.類似地，可證aR?b，從而aH?b.這樣，有ρ?H?.因此，ρ=H?.且H?是S上的一個B-同余，每個H?-類都是可消幺半群.

（ii）?（iii）顯然.

（iii）?（iv）因為S是超富足半群，由定理2.1可知，S滿足公理（C1）-（C4）.又由引理2.2（i）可知，關(guān)于任意a，b∈S，有aH?a0，bH?b0.又H?是同余，則有abH?a0b0.據(jù)引理2.2（iii），有（ab）0=（a0b0）0，即公理（C5）成立.

（iv）?（i）因S滿足公理（C1）-（C4），由定理2.1，知S是超富足半群.由引理2.2（i），知關(guān)于任意a，b∈S，有aH?a0和bH?b0.又因S滿足公理（C5），則（a0b0）0=（ab）0.因此據(jù)引理2.2（iii），得abH?a0b0，這蘊含H?是S上的一個同余.據(jù)引理2.2（ii），知關(guān)于任意a∈S，H?a∈C.進一步，關(guān)于任意a∈S，aH?=a0H?=（a0）2H?=（a0H?）2=（aH?）2，即商半群S/H?構(gòu)成帶.因此，S∈C?B.

定理3.2令S為一半群.則下列各款等價：

（i）S∈C?SL；

（ii）S是可消幺半群的強半格；

（iii）H?是S的一個SL-同余，且是在C上的；

（iv）S為超富足半群，H?是同余，且S的冪等元在它的中心里；

（v）S滿足公理條件（C1）-（C6）.

證明（i）?（ii）假設(shè)S∈C?SL.則存在一個半格同余ρ，使得S=（Y；Sα），其中Y∈SL為半格，Sα∈C為可消幺半群.現(xiàn)記eα為Sα的恒等元，且關(guān)于α，β∈Y，α≥β.則關(guān)于任意a∈Sα，有eβa∈Sβα=Sβ.因此定義映射Φα，β：Sα-→Sβ如下：

易知（2）式是有意義的.關(guān)于任意α∈Y及a∈Sα，aΦα，α=eαa=a，從而Φα，α為Sα上的恒等映射.現(xiàn)證Φα，β為一個半群同態(tài).關(guān)于任意a∈Sα，顯然，eβa∈Sβ.因eβ是Sβ的恒等元，則eβa=eβaeβ，從而

下面證明Φα，βΦβ，γ=Φα，γ.假設(shè)α≥β≥γ.則關(guān)于任意a∈Sα，

故Φα，βΦβ，γ=Φα，γ.又關(guān)于任意a∈Sα，b∈Sβ，有ab∈Sγ，其中γ=αβ.從而，

這證明了S=［Y；Sα；Φα，β］，即S為可消幺半群的強半格.

（ii）?（iii）令S=［Y；Sα；Φα，β］，其中Y∈SL，Sα∈C，且eα為Sα的恒等元.關(guān)于任意a∈Sα，b∈Sβ，假設(shè)aH?b.顯然，aR?b.由a=eαa，有b=eαb.類似地，a=eβa.因此α=β，即有a，b∈Sα.反過來，假設(shè)a，b∈Sα.若關(guān)于任意x，y∈Sα1，ax=ay.顯然，有aeαx=aeαy.由于Sα為可消幺半群，從而eαx=eαy.由此，beαx=beαy，即bx=by.類似地，若bx=by，則ax=ay.因此，aL?b.類似地，可以證明aR?b.這樣，有aH?b.實際上，證明了關(guān)于任意a，b∈S，a，b∈Sα，當且僅當aH?b.因此H?是S上的一個SL-同余，且它是在C上的.

（iii）?（iv）顯然S是超富足半群及H?是同余.由（iii）知，S/H?是半格.則關(guān)于任意a∈S，e∈E（S），顯然aeH?ea.從而aeL?ea.又由ae=aee，得ea=eae.類似地，可證ae=eae，從而ae=ea，即S的冪等元在它的中心里.

（iv）?（v）因S是超富足半群，且H?是同余，由定理3.1，知S滿足公理條件（C1）-（C5）.又由假設(shè)，S的冪等元在它的中心里，知S滿足公理（C6）.

（v）?（i）因S滿足公理條件（C1）-（C5），由定理3.1，知S∈C?B，且H?是同余.又由S滿足公理（C6），即?a，x∈S，ax0=x0a.從而（aH?）（x0H?）=（ax0）H?=（x0a）H?=（x0H?）（aH?），又aH?=（aa0）H?=（aH?）（a0H?）=（a0H?）2=（aH?）2.易知每個H?-類為可消幺半群.因此，S/H?∈SL.這證明了S∈C?SL.

定理3.3令S為一半群.則下列各款等價：

（i）S∈C?ReB；

（ii）H?是ReB-同余，且是在C上的；

（iii）S為超富足半群，L?和R?均是同余；

（iv）S滿足公理條件（C1）-（C5）和（C7）.

證明（i）?（ii）類似于定理3.1（i）?（ii）的證明.

（ii）?（iii）易知，S為超富足半群.由（ii），知商半群S/H?為正則帶.據(jù)文獻［5］，知商半群S/H?上的關(guān)系L和R均為同余.由引理2.3（i）和（ii），得S上的關(guān)系L?和R?均為同余.

（iii）?（iv）由（iii），知S是超富足半群及H?為S上的同余.又據(jù)定理3.1，知S滿足公理條件（C1）-（C5）.又因L?和R?為同余，據(jù)引理2.3（i），（ii），知商半群S/H?上的關(guān)系L和R均為同余.從而由文獻［5］，得S/H?是正則帶.因此，關(guān)于任意a，x，y∈S，

從而，（axya）H?=（axaya）H?.據(jù)引理2.2（iii），有（axya）0=（axaya）0，即公理（C7）成立.

（iv）?（i）因S滿足公理條件（C1）-（C5），由定理3.1，知S∈C?B，且H?是同余.又由S滿足公理（C7），即?a，x，y∈S，（axya）0=（axaya）0.據(jù)引理2.2（iii），有（axya）H?=（axaya）H?，從而（aH?）（xH?）（yH?）（aH?）=（aH?）（xH?）（aH?）（yH?）（aH?）.這蘊含S/H?∈ReB.另易知每個H?-類為可消幺半群.因此S∈C?ReB.

［1］Founiain J B.Abundant semigroups［J］.Proc.London.Math.Soc.，1982，3：103-129.

［2］Ren X M，Shum K P.The structure of superabundant semigroups［J］.Science in China，Ser.A，Mathematics，2004，47（5）：756-771.

［3］Howie J M.Fundamentals of Semigroup Theory［M］.New York：Oxford University Press，1995.

［4］Petrich M.Introduction to Semigroups［M］.Columbus：Merrill，1973.

［5］Petrich M，Reilly N R.Completely Regular Semigroup［M］.New York：Wiley，1999.

［6］Petrich M.Malcev products of unipotent monoids and varieties of bands［J］.Semigroup Forum，2011，83：161-189.

［7］Howie J M.An Introduction to Semigroup Theory［M］.London：Academic Press，1976.

［8］Ren X M，Shum K P.The structure of L?-inverse semigroups［J］.Science in China Ser.A，Mathematics，2006，49（8）：1065-1081.

On superabundant semigroups and its subclasses

Xue Jing，Ren Xueming

（Department of Mathematics，Xi′an University of Architecture and Technology，Xi′an 710055，China）

By using malcev product of semigroups and axiomatic conditions，we describe superabundant semigroups and its several subclasses.Some characterizations of these semigroups are given in this paper.

superabundant semigroups，cancellative monoids，malcev products，congruences

O152.7

A

1008-5513（2015）06-0636-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.06.012

2015-04-15.

國家自然科學基金（11471255）.

雪靜（1988-），碩士生，研究方向：半群代數(shù)理論.

2010 MSC：20M10