轉(zhuǎn)動(dòng)彈性約束淺拱的2:1內(nèi)共振非線性模態(tài)

曾有藝，易壯鵬，顏東煌

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轉(zhuǎn)動(dòng)彈性約束淺拱的2:1內(nèi)共振非線性模態(tài)

曾有藝，易壯鵬，顏東煌

(長沙理工大學(xué)土木與建筑學(xué)院，湖南長沙，410114)

采用多尺度法進(jìn)行直接攝動(dòng)構(gòu)造一端轉(zhuǎn)動(dòng)彈性約束淺拱發(fā)生2:1內(nèi)共振時(shí)的非線性模態(tài)。在線性頻率/模態(tài)及形函數(shù)中考慮彈性約束邊界的影響，分析約束剛度不同時(shí)淺拱非線性模態(tài)的頻率/幅值及時(shí)空效應(yīng)。研究結(jié)果表明：轉(zhuǎn)動(dòng)彈性約束的存在使得頻譜上出現(xiàn)模態(tài)轉(zhuǎn)向, 模態(tài)與形函數(shù)不對(duì)稱；內(nèi)共振非線性系統(tǒng)存在單模態(tài)運(yùn)動(dòng)和耦合模態(tài)運(yùn)動(dòng)；轉(zhuǎn)動(dòng)彈性約束的存在導(dǎo)致最低2階模態(tài)之間的2:1內(nèi)共振被激發(fā);非線性模態(tài)的頻率/幅值具有顯著的非線性效應(yīng)，且不同約束剛度時(shí)動(dòng)力形態(tài)呈現(xiàn)不同的時(shí)空效應(yīng)。

轉(zhuǎn)動(dòng)彈性約束；淺拱；非線性模態(tài)；2:1內(nèi)共振；多尺度法

拱結(jié)構(gòu)[1?3]受力性能良好, 在工程領(lǐng)域應(yīng)用廣泛, 研究人員對(duì)各種外激勵(lì)下的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性和分岔行為進(jìn)行了系統(tǒng)研究。在土木工程中，在動(dòng)力荷載作用下，現(xiàn)代大跨度拱橋或拱形建筑由于基礎(chǔ)、土體的共同作用, 整個(gè)外部邊界對(duì)拱結(jié)構(gòu)具有彈性約束作用，基礎(chǔ)變形及與相鄰結(jié)構(gòu)共同作用引起的附加慣性力將影響精確的動(dòng)力分析；另一方面, 大跨度系桿拱橋拱腳由于系桿和基礎(chǔ)的作用，邊界條件考慮為彈性約束更加合理；在機(jī)械和航天航空工程中，邊界條件對(duì)大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)中彈性約束機(jī)械拱臂、曲梁等子結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性起決定性影響，因而，彈性約束拱的理論研究模型具有廣泛的工程背景?；诖?，Xu等[4]研究了徑向彈性約束拱的動(dòng)力跳躍特性；Lacarbonana等[5]分析了一端轉(zhuǎn)動(dòng)彈性約束曲梁的1:1內(nèi)共振；康婷等[6]研究了水平彈性支撐圓拱的動(dòng)力特性。非線性模態(tài)(NNMs)的概念由Rosenberg[7]提出, 其定義與構(gòu)造[8?15]是非線性振動(dòng)研究中的基本問題。內(nèi)共振系統(tǒng)的耦合非線性模態(tài)具有分岔行為，且隨著系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化，導(dǎo)致模態(tài)數(shù)目超過系統(tǒng)的自由度數(shù)，具有顯著的非線性特性, 引起很多研究者的關(guān)注。如Nayfeh等[16]采用多尺度法研究了兩端固支屈曲梁在發(fā)生1:1和3:1內(nèi)共振條件下的非線性模態(tài)；Li等[17]構(gòu)造了一類3對(duì)純虛根1:2:5雙重內(nèi)共振系統(tǒng)的非線性模態(tài)并分析了其分岔特性；Mamandi等[18]研究了非線性彈性地基上軸向壓縮簡(jiǎn)支梁3:1內(nèi)共振條件下的非線性模態(tài)。在此，本文作者針對(duì)一端轉(zhuǎn)動(dòng)彈性約束淺拱, 在線性模態(tài)/頻率、形函數(shù)中考慮約束, 通過多尺度法[9]攝動(dòng)分析并構(gòu)造2:1內(nèi)共振的非線性模態(tài), 分析非線性模態(tài)的頻率/幅值及時(shí)空效應(yīng)。

1 動(dòng)力學(xué)模型

其中：上標(biāo)“.”和“′”分別表示對(duì)和微分；；；；；；為彈性模量；為密度；和分別為慣性矩、面積；為轉(zhuǎn)動(dòng)半徑。邊界條件為

=0:=0，；=1:=0，(2)

圖1 一端轉(zhuǎn)動(dòng)彈性約束淺拱結(jié)構(gòu)示意圖

其中：為Kronecker delta。和可由如下特征方程求解：

2 攝動(dòng)分析解與非線性模態(tài)

采用多尺度法近似設(shè)定求解, 式(1)的二階近似解可以表示為

幅值a和a以及頻率β和β為下述模態(tài)方程的解：

2和3為二次、三次非線性微分算子,且，，是為進(jìn)一步化簡(jiǎn)的微分算子。形函數(shù)為滿足下列邊界方程的解：

對(duì)于第2種形式的耦合模態(tài)響應(yīng)，由式(9)可得

耦合模態(tài)響應(yīng)解的穩(wěn)定性可由式(9)和式(12)組成的Jacobian矩陣的特征值予以判斷。由式(9)有，因此，(=0，1，2，…)。式(12)中，此時(shí)，非線性模態(tài)可表示為

3 數(shù)值分析

取不同值時(shí)，采用數(shù)值方法計(jì)算線性模態(tài)和頻率, 并以最低2階模態(tài)(=1，=2)之間的2:1內(nèi)共振為例分析內(nèi)共振解及非線性模態(tài)的時(shí)空效應(yīng)。

3.1 線性模態(tài)與頻率

圖2所示為轉(zhuǎn)動(dòng)彈性約束淺拱自振特性的分布規(guī)律，其中，圖2(a)所示為=100時(shí)前5階頻率隨矢高的變化，其實(shí)部和虛線分別表示奇、偶數(shù)階頻率。從圖2(a)可知：當(dāng)在(0,20]內(nèi)單調(diào)增加時(shí), 不同階次模態(tài)頻率的2:1整數(shù)比出現(xiàn)在一些與矢高相關(guān)的位置，如1(1~2階)、2(2~3階)和3(3~5階), 在這些位置相關(guān)頻率之間可能發(fā)生2:1內(nèi)共振；另一方面, 不同階次頻率(1~2階，3~4階)在相互接近時(shí)發(fā)生模態(tài)轉(zhuǎn)向。不同轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度下1~2階模態(tài)之間的轉(zhuǎn)向如圖2(b)所示, 結(jié)果表明轉(zhuǎn)向模態(tài)之間的間隙隨著的增大變得越來越小，最終在時(shí)變?yōu)槟B(tài)交叉, 這也是轉(zhuǎn)動(dòng)彈性約束拱與一般固結(jié)拱的典型差異之一。此外, 轉(zhuǎn)動(dòng)彈性約束拱的各階模態(tài)由于邊界不對(duì)稱在跨度范圍內(nèi)出現(xiàn)不對(duì)稱, 尤其彈性約束端的轉(zhuǎn)角呈現(xiàn)明顯的非線性分布。從圖2(c)可知：各階頻率的約束端轉(zhuǎn)角隨的增大而減小，最終歸于0。這些模態(tài)的不對(duì)稱性將導(dǎo)致后續(xù)平均方程系數(shù)、非線性模態(tài)不一致以及內(nèi)共振的條件出現(xiàn)變化。

(a) 頻率分布；(b) 模態(tài)轉(zhuǎn)向；(c) 模態(tài)彈性約束端轉(zhuǎn)角

3.2 內(nèi)共振解

圖3 b=b1和k=100時(shí)形函數(shù)(x=1~6)

圖4所示為=1時(shí)模態(tài)平均方程(9)中系數(shù)隨的變化規(guī)律。由圖4(a)可知：1隨著的增大而減小,時(shí)為0, 即轉(zhuǎn)動(dòng)彈性約束時(shí)不等于0, 剛性約束時(shí)等于0。實(shí)際上，這是最低兩階模態(tài)之間的2:1內(nèi)共振是否被激發(fā)的判定條件: 轉(zhuǎn)動(dòng)彈性約束時(shí)兩模態(tài)間的2:1內(nèi)共振被激發(fā); 剛性約束()時(shí), 雖然2階頻率的比值為2:1, 但是不會(huì)發(fā)生內(nèi)共振(1=0所致)。這也是淺拱由于轉(zhuǎn)動(dòng)彈性約束所致動(dòng)力特性的顯著不同之處。二階非線性系數(shù)S與和階頻率、模態(tài)及拱軸線形有關(guān)。圖4(b)表明：這些系數(shù)在大于一定值時(shí)均趨于穩(wěn)定, 尤其是當(dāng)＞1 000時(shí)系數(shù)變化率很小，與(固結(jié)淺拱)非常接近。此外，S在隨的變化過程中有1個(gè)奇點(diǎn), 位于內(nèi), 在此處S從奇點(diǎn)的左(右)邊趨于()，且此奇點(diǎn)剛好發(fā)生最低階3階模態(tài)之間的1:2:4雙重內(nèi)共振，這也進(jìn)一步表明對(duì)淺拱的非線性行為有顯著影響。

圖4 2:1內(nèi)共振模態(tài)方程系數(shù)

圖5所示為最低2階模態(tài)之間發(fā)生2:1內(nèi)共振時(shí)非線性模態(tài)的幅值和頻率分布，其中，圖5(a)所示為取不同值時(shí)單模態(tài)解的關(guān)系曲線。由式(11)中右邊大括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)等于0得到每個(gè)對(duì)應(yīng)曲線的上支和下支，由單模態(tài)解的特征值判斷可知2支曲線之間的部分為內(nèi)共振解的不穩(wěn)定區(qū), 2支曲線以外的部分則為穩(wěn)定區(qū)。另外,=1 000時(shí)上、下支曲線圍成的不穩(wěn)定區(qū)域很小, 與時(shí)不穩(wěn)定區(qū)域?yàn)?、曲線上、下支重合接近, 這與2種情況下非線性系數(shù)接近有關(guān)。

(a) 單模態(tài)；(b)，(c) 耦合模態(tài)

圖5(b)和圖5(c)所示分別為取50，100和1 000時(shí)耦合模態(tài)解中和關(guān)系曲線, 由于, 圖5(c)僅給出了與通過線性頻率標(biāo)準(zhǔn)化之后的的關(guān)系曲線。2階模態(tài)發(fā)生內(nèi)共振的相互作用時(shí), 非線性系數(shù)由分別負(fù)責(zé)軟、硬彈簧性質(zhì)的二、三階效應(yīng)2部分組成。從圖5(b)可見：對(duì)于某一給定的，隨著的增大而增大, 且= 1 000時(shí)，曲線與時(shí)的曲線接近。而從圖5(c)可知：取不同值時(shí)曲線之間的差異較小, 均呈現(xiàn)軟彈簧性質(zhì),這是由于在的標(biāo)準(zhǔn)化表達(dá)式中, 對(duì)于給定的，和在不同時(shí)均使得呈軟化特性。

3.3 非線性模態(tài)的時(shí)空效應(yīng)

對(duì)非線性模態(tài)的時(shí)空效應(yīng)進(jìn)行數(shù)值描述。圖6所示為取50，100和1 000這3種情況下時(shí)淺拱在1個(gè)周期內(nèi)的形狀變化示意圖，其中，為周期。從圖6可以看到：變形呈現(xiàn)周期特性和不對(duì)稱性，動(dòng)力形態(tài)的幅值隨著的增大而增大，第1階模態(tài)以及形函數(shù)和在動(dòng)力形態(tài)中占據(jù)主導(dǎo)地位。這是由于在位置，2:1內(nèi)共振在第1和第2階模態(tài)之間被激發(fā)，低階模態(tài)在模態(tài)相互作用過程中占主導(dǎo)。圖7所示為不同時(shí)下跨中豎向位移、彈性約束端轉(zhuǎn)角位移的時(shí)間歷程曲線。通過對(duì)比可發(fā)現(xiàn)：越大時(shí)，跨中豎向位移的幅值越大(圖7(a))，這與圖6所得結(jié)論一致。=50和=100時(shí)彈性約束端的轉(zhuǎn)角位移(圖7(b))較大且較接近；而=1 000時(shí)轉(zhuǎn)角位移較小，與時(shí)為0接近。這由2種情況下的非線性系數(shù)較接近所致, 再一次說明了對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)彈性約束淺拱的重要性。

k：(a) 50；(b) 100；(c) 1 000

(a) 跨中豎向位移；(b) 彈性約束端轉(zhuǎn)角

4 結(jié)論

1) 轉(zhuǎn)動(dòng)彈性約束導(dǎo)致線性模態(tài)、形函數(shù)不對(duì)稱且模態(tài)約束端轉(zhuǎn)角不為0，頻譜上相鄰階次的模態(tài)以轉(zhuǎn)向的形式靠近。

2) 轉(zhuǎn)動(dòng)彈性約束使得最低兩階模態(tài)之間的2:1內(nèi)共振被激發(fā)，在相同條件下固結(jié)邊界淺拱未被激發(fā)。

3) 在不同轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度下，非線性模態(tài)的時(shí)空效應(yīng)具有不同的動(dòng)力形態(tài)，呈現(xiàn)顯著的非線性效應(yīng)。

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Nonlinear normal modes of rotationally elastically constrained shallow arch in case of two-to-one internal resonance

ZENG Youyi, YI Zhuangpeng, YAN Donghuang

(School of Civil Engineering & Architecture, Changsha University of Science & Technology, Changsha 410114, China)

The nonlinear normal modes of a shallow arch with one end rotationally elastically constrained in case of two-to-one internal resonance were constructed by using the multi-scale method and direct perturbation. The effects of elastic constraint boundaries were considered in the linear frequencies, modes and shape functions. Then the nonlinear frequencies/amplitudes and space-time evolutions of nonlinear normal modes in shallow arch with different rotational stiffnesses were investigated. The results show that there are veering between two adjacent modes in frequency spectrum and asymmetries in the modes and shape functions due to the existence of rotational stiffness. The internally resonant nonlinear system has both single-mode and couple-mode motions. Also the two-to-one internal resonance between the two lowest modes is activated because of the elastic constraint stiffness in the boundary. Moreover, the frequencies/amplitudes in modulation equations exhibit remarkable nonlinearities, and the dynamic configuration of the nonlinear normal modes for different rotational constraints display various space-time evolutions.

rotational elastic constraints; shallow arch; nonlinear normal modes; 2:1 internal resonance; multi-scale method

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.10.048

U311.2

A

1672?7207(2015)10?3922?06

2015?02?10；

2015?04?07

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11002030, 51178059)；長沙理工大學(xué)土木工程重點(diǎn)學(xué)科基金資助項(xiàng)目(13ZDXK06, 15ZDXK01)(Projects (11002030, 51178059) supported by the National Natural Science Foundation of China; Projects (13ZDXK06, 15ZDXK01) supported by Key Discipline Funds for Civil Engineering of Changsha University of Science and Technology)

顏東煌，博士，教授，博士生導(dǎo)師，從事橋梁結(jié)構(gòu)施工控制與新技術(shù)研究；E-mail：yandonghuang@126.com

(編輯 陳燦華)