在動手操作中經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”

郭由湘

“平行四邊形的面積"是在學(xué)生掌握了長方形面積的計算和認(rèn)識了平行四邊形的基本特性的基礎(chǔ)上的教學(xué)內(nèi)容。在我區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)“同課異構(gòu)”展示活動中，彭小紅老師展示的“平行四邊形的面積”課堂教學(xué)非常精彩，讓學(xué)生在動手操作中經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程。下面摘取其中幾個精彩片段與同仁們分享。

【片段一】創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)“探”欲

師（導(dǎo)入）：在動物村里住著兩只小兔，一只小白兔，一只小黑兔。小白兔住在村東頭，它的菜地卻在村西頭；小黑兔住在村西頭，它的菜地卻在村東頭，它們都覺得很不方便。于是它們商量把地?fù)Q一下?？墒切“淄玫牟说厥情L方形的，小黑兔的菜地是平行四邊形的，同學(xué)們，你們說這樣交換公平嗎？誰能幫幫它們嗎？

生1：只要算出這兩塊地的面積，比比就知道了。

師：我們已經(jīng)學(xué)過哪些圖形的面積計算公式？

生2：學(xué)了長方形的面積計算公式，長方形的面積=長×高。

師：那么怎么求出平行四邊形的面積呢？這就是我們今天要探究的問題。

……

【賞析】彭老師用學(xué)生喜歡的小故事導(dǎo)入，讓學(xué)生產(chǎn)生想幫助小兔的強(qiáng)烈愿望，進(jìn)而激發(fā)他們希望盡快找到平行四邊形面積的計算方法，這樣就充分調(diào)動了學(xué)生主動探索的積極性，為下面的探究活動做好了鋪墊。

【片段二】借助實(shí)驗(yàn)，積極探究

師：請大家嘗試算算下列平行四邊形（底為6，鄰邊為5，高為4）的面積，并說明算法。

（學(xué)生分組活動：計算，討論，交流結(jié)果，教師巡視。）

生1：我算得平行四邊形面積為6×5=30。（鄰邊×鄰邊）

生2：我的算法是：底×高=6×4=24。

師： 好。出現(xiàn)了兩種不同的算法，到底哪種算法合理呢？下面大家一起來探究平行四邊形的面積和誰有關(guān)系？（拿出學(xué)具）

學(xué)生活動：拉一個長方形框架，慢慢變成平行四邊形， 最后拉平。

師：在慢慢拉的過程中，周長變了嗎？

生3：周長沒有變。

師：圖形的面積變了嗎？

生4：面積變了。

師：面積是怎么變化的？

生5：面積逐漸變小，最后會變成0。

生6：這也證明了剛才同學(xué)的算法（鄰邊×鄰邊）是錯誤的。因?yàn)槔瓌涌蚣軙r，四條邊都沒有變化，但面積卻變小了。

師：那為什么面積變小了？

生7：平行四邊形的高在逐漸變小。

師：這個實(shí)驗(yàn)說明平行四邊形面積與高有關(guān)。

投影（動畫）：平行四邊形的一組對邊逐漸延長，高不變。

師：大家看到什么變了？什么沒變？

生8：平行四邊形變“長”了。

生9：平行四邊形的底變長了，周長變長了。

師：很好，那它的面積有沒有變化？

生10：面積逐漸增大。

師：是什么原因使面積變大的？

生11：由于底變長使平行四邊形的面積變大。

師：你真棒！說明平行四邊形的面積與它的底有關(guān)。綜合以上探究，說明平行四邊形的面積與它的底和高有關(guān)。

【賞析】首先讓學(xué)生嘗試求平行四邊形的面積，由此產(chǎn)生兩種結(jié)果，引發(fā)學(xué)生思維沖突。接著，通過拉伸平行四邊形框，讓學(xué)生進(jìn)一步感悟平行四邊形的特性，從而自主發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積與它的底和高有關(guān)，這樣既訓(xùn)練了學(xué)生的思維能力，又培養(yǎng)了學(xué)生的合情推理能力。

【片段三】觀察比較，引發(fā)猜想

師：在學(xué)習(xí)推導(dǎo)長方形的面積公式時，我們最初使用了數(shù)方格的方法。今天學(xué)習(xí)計算平行四邊形的面積，能不能也用這個方法？

學(xué)生活動：請仔細(xì)觀察課本中方格紙上的兩個圖形，數(shù)一數(shù)，把表格填完整。（1小格代表1平方米，不滿1格的都按半格計算。）

生1：長方形的面積是24平方米。

師：請說說長方形的面積是怎樣數(shù)出來的？

生2：先橫著數(shù)有6格，再豎著數(shù)有4格，6×4=24格，是24平方米。

師：平行四邊形的面積你們是怎樣數(shù)出的？

生3：先數(shù)有20個整格是20平方米；再數(shù)有8個半格，把每2個半格合成一個整格是4平方米，共有24平方米。

生4：先數(shù)一行，整格的有5個。然后再把左邊不滿一格的移到右邊的不滿一格剛好拼成一個整格，每行都有6個整格。共有4行，6×4=24個整格，也就是24平方米。

如圖所示：

師：你真聰明！想法很獨(dú)特，有創(chuàng)意，把不完整的格拼成完整的格，體現(xiàn)了“割補(bǔ)”的數(shù)學(xué)思想方法。大家鼓勵鼓勵他！

師：同桌交流一下填法，誰愿意匯報一下你的成果？

生5：平行四邊形的底是6米，高是4米，面積是24平方米；長方形的長是6米，寬是4米，面積是24平方米。

師：觀察表格你發(fā)現(xiàn)了什么？

生6：我發(fā)現(xiàn)平行四邊形的底和長方形的長相等，平行四邊形的高和長方形的寬相等，平行四邊形的面積和長方形的面積也相等。

【賞析】用數(shù)方格的方法得到圖形的面積，是學(xué)生熟悉的、直觀計量面積的方法。同時呈現(xiàn)平行四邊形和長方形兩個圖形，暗示了它們之間存在某種聯(lián)系，由數(shù)據(jù)上的相關(guān)性引發(fā)出學(xué)生大膽的猜想：“平行四邊形的面積也應(yīng)該等于底×高?！备泳侍幵谟冢河袑W(xué)生在數(shù)方格時指出，每兩個半格可以拼成一個整格，即每一行左邊的半格“移到”和最右邊的半格可以拼成一個整格。這就是“割補(bǔ)”法的原型，為下一步剪拼圖形提供理論依據(jù)和思考方法。

【片段四】動手剪拼，感悟“轉(zhuǎn)化”

師：看來，數(shù)方格的方法可以得到這個平行四邊形的面積，現(xiàn)在我想得到一個很大的平行四邊形花壇的面積，你認(rèn)為數(shù)方格的方法怎么樣？

生1：不合適。

師：那能不能找到一種方法，適用于計算所有平行四邊形的面積呢？

課件演示：我們把等底等高的平行四邊形和長方形兩個圖形平移、重疊，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生2：兩個圖形不能完全重合，當(dāng)?shù)淄耆睾蠒r，剛好相差一個直角三角形。

生3：設(shè)想把多出的三角形剪下來向左平移，如果能剛好拼接成長方形，那么原來的平行四邊形和長方形的面積一樣大。

生4：由此得到啟示，我們可以把右邊的三角形剪下來，移到左邊就拼成一個長方形。這樣，平行四邊形就變成了長方形。

師：對，平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，新知識變成舊知識，多么好的方法呀！這里用到了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。

生5：剪歪了怎么辦？

師：問得好！誰來幫助？

生6：可以先用尺子畫一條高，再去剪。

（學(xué)生活動：用準(zhǔn)備好的學(xué)具（平行四邊形紙板、剪刀），分小組合作剪一剪、拼一拼圖形，教師巡視，各組代表上臺匯報展示。）

組1：我們組把平行四邊形沿高剪下一個直角三角形，向右平移，能拼成一個長方形。（學(xué)生把拼接后的長方形與原來的平行四邊形一上一下貼在黑板上，使長方形的長與平行四邊形的底一樣長。）

組2：我們組把平行四邊形沿高剪下一個直角梯形，向左平移，也能拼成一個長方形。（學(xué)生把拼接后的長方形與原來同樣的平行四邊形紙板，一左一右貼在黑板上，使長方形的寬就是平行四邊形的高。）

（板書：沿高剪—平移—拼接）

師：其他同學(xué)還有什么補(bǔ)充嗎？

生7：只要沿著任意一條高剪下，都可以拼成一個長方形，這樣平行四邊形就轉(zhuǎn)化成了長方形。

師：同學(xué)們，剛才我們把不會求的平行四邊形的面積，通過剪拼，變成了會求的長方形的面積，其實(shí)這種方法是數(shù)學(xué)上的一種重要的思想方法——轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化就是把不會求的轉(zhuǎn)化成會求的，把未知的轉(zhuǎn)化成已知的。

師：為什么要沿著高剪呢？

生8：這樣沿著高剪，才能把平行四邊形拼成一個長方形。

師：很好！可我有點(diǎn)不明白，把它拼成了長方形，這個長方形的面積還是原來平行四邊形的面積嗎？

……

【賞析】教師讓學(xué)生在畫、剪、拼等一系列實(shí)驗(yàn)活動中理解和掌握平行四邊形和轉(zhuǎn)化后的長方形之間的聯(lián)系， 通過合作、觀察、思考、交流等活動驗(yàn)證了“平行四邊形面積=底×高”的正確性。在探索活動中，留給學(xué)生充分探索、交流的空間，使學(xué)生學(xué)會與他人合作，同時也使學(xué)生學(xué)到了怎樣由已知探索未知的思維方式與方法，培養(yǎng)他們主動探索的精神，讓學(xué)生在活動中學(xué)習(xí)，在活動中發(fā)展。

總之，本課的教學(xué)主線非常清晰，內(nèi)容豐富，構(gòu)思巧妙。教學(xué)過程由淺入深，由具體到抽象，由感性到理性。引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)方格、拉方框、剪拼圖等形式，步步深入，緊扣主題，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”過程，引起學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，促使他們積極主動地參與探究知識形成過程。學(xué)生在觀察中理解，在操作中感知，溝通了知識的內(nèi)涵，領(lǐng)悟了學(xué)習(xí)方法，轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，極大地提高了教學(xué)效益。

教學(xué)中，教師讓學(xué)生“做中學(xué)”，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程，使學(xué)生“學(xué)會思考”，感悟“數(shù)學(xué)思想”。讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)之一。教師借助數(shù)方格的方法，學(xué)生由長方形面積公式猜想平行四邊形的面積計算公式；在數(shù)平行四邊形的面積時發(fā)現(xiàn)同一行的兩個半格可以“剪拼”成一個整格，學(xué)生學(xué)會了“割補(bǔ)” 方法，通過“剪拼”，平行四邊形轉(zhuǎn)化成了長方形，學(xué)生感悟了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。這些教學(xué)活動的安排，不僅吸引學(xué)生充分參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，自覺調(diào)動已有的知識經(jīng)驗(yàn)和心智技能，從而促使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動有效地展開并不斷深入，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考，學(xué)會用數(shù)學(xué)方法解決現(xiàn)實(shí)中的問題。（作者單位：江西省吉安市青原區(qū)教研室）

責(zé)任編輯 周瑜芽

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