向量的兩個(gè)性質(zhì)在解題中的應(yīng)用

本文給出向量的兩條性質(zhì)，并舉例說(shuō)明這兩條性質(zhì)在解題中的應(yīng)用.

首先，給出以下性質(zhì)1.

性質(zhì)1m·n≤|m|·|n|，當(dāng)m與n同向時(shí)取“=”.

筆者用以上性質(zhì)1來(lái)解幾道高考題和競(jìng)賽題，解答過(guò)程簡(jiǎn)潔，明了，給人耳目一新的感覺(jué).現(xiàn)介紹如下，以供參考.

例1（2013年新課標(biāo)Ⅱ卷，理24）設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，

證明：（1）ab+bc+ca≤13；（2）a2b+b2c+c2a≥1.

證明（1）略.

（2）設(shè)m=（ab，bc，ca），n=（b，c，a），則m·n=a+b+c，|m|=a2b+b2c+c2a，|n|=b+c+a.由m·n≤|m|·|n|，得a+b+c≤a2b+b2c+c2a·b+c+a，即a2b+b2c+c2a≥a+b+c=1，當(dāng)且僅當(dāng)m與n同向時(shí)，即a=b=c=13時(shí)，等號(hào)成立.

例2（2013年湖南高考理10）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，則a2+4b2+9c2的最小值為.

解取m=（1，1，1），n=（a，2b，3c），由m·n≤|m|·|n|，得a+2b+3c≤3·a2+4b2+9c2，所以6≤3·a2+4b2+9c2，所以a2+4b2+9c2≥12，當(dāng)且僅當(dāng)m與n同向時(shí)，即a=2b=3c=2時(shí)等號(hào)成立，所以a2+4b2+9c2的最小值為12.

例3（2013年高考全國(guó)新課標(biāo)1卷第15題）設(shè)當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx-2cosx取得最大值，則cosθ=.

解設(shè)m=（1，-2），n=（sinx，cosx），由m·n≤|m|·|n|，得sinx-2cosx≤5，當(dāng)且僅當(dāng)m與n同向時(shí)，即sinx=55，cosx=-255時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)楫?dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx-2cosx取得最大值，所以cosθ=-255.

例4（2015年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽四川初賽第4題）記函數(shù)f（x）=2-x+3x+12的最大值為M，最小值為m，則Mm的值為（）.

A.62B.2C.3D.2

解因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=2-x+3x+12的定義域?yàn)閇-4，2]，所以構(gòu)造平面向量α=（1，3），β=（2-x，x+4），則|α|=2，|β|=6，α·β=2-x+3·x+4，因?yàn)棣痢う?|α||β|cos<α，β>≤|α||β|，當(dāng)且僅當(dāng)α與β同向時(shí)取等號(hào)，所以2-x+3×x+4≤26，當(dāng)且僅當(dāng)13=2-xx+4>0，即x=12時(shí)，f（x）取最大值M=26，又因?yàn)閒（-4）=6，f（2）=32，所以函數(shù)f（x）的最小值m=6，Mm=266=2.

點(diǎn)評(píng)向量是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，本題構(gòu)造向量，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)α·β≤|α||β|解題.

例5（2015年重慶卷文科第14題）設(shè)a，b>0，a+b=5，則a+1+b+3的最大值為.

解取m=（1，1），n=（a+1，b+3），m·n=a+1+b+3，|m|·|n|=2·（a+1）2+（b+3）2=2·a+b+4=32，根據(jù)m·n≤|m||n|得，a+1+b+3≤32，當(dāng)m與n平行，即當(dāng)且僅當(dāng)a+1=b+3，即a=72，b=32時(shí)，a+1+b+3取最大值32.

其次，給出以下性質(zhì)2.

性質(zhì)2若|m|=|n|，且m·n=|m|·|n|，則m=n.以下用性質(zhì)2來(lái)解幾道高考題和競(jìng)賽題.

例6（2012年遼寧高考）已知sinα-cosα=2，α∈（0，π），則tanα=（）.

A.-1B.-22C.22D.1

解構(gòu)造向量m=（1，1），n=（2sinα，-2cosα），則|m|=|n|=2，且m·n=|m|·|n|=2，所以m=n，所以2sinα=1，2cosα=-1，即sinα=22，cosα=-22，所以tanα=sinαcosα=-1，故選A.

例7（2012年湖北高考理科）設(shè)a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，則a+b+cx+y+z=（）.

A.14B.13C.12D.34

解構(gòu)造向量m=1010（a，b，c），n=1020（x，y，z），則|m|=|n|=1，且m·n=|m|·|n|=1，于是m=n，從而1010a=1020x，1010b=1020y，1010c=1020z，即a=12x，b=12y，c=12z，所以a+b+cx+y+z=12（x+y+z）x+y+z=12，故選C.

例8（2013年湖北高考理13）設(shè)x，y，z∈R，且滿足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=14，則x+y+z=.

解設(shè)m=（x，y，z），n=114（1，2，3），則|m|=|n|=1，m·n=|m|·|n|=1，于是m=n，從而x=1414，y=147，z=31414，所以x+y+z=3147.

例9（2015年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽第一試第7題）若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+2b+3c=6，a2+4b2+9c2=12，則abc的值為.

解把等式a+2b+3c=6兩邊乘2得2a+4b+6c=12，

構(gòu)造空間向量，m=（2，2，2），n=（a，2b，3c），

則|m|=|n|=a2+（2b）2+（3c）2=23，

且m·n=2a+4b+6c=12，|m|·|n|=12，

即m·n=|m||n|，所以m=n，

由向量的性質(zhì)得，a=2，2b=2，3c=2，

所以a=2，b=1，c=23，

所以abc=43.

點(diǎn)評(píng)本解法利用了向量的性質(zhì)：若|m|=|n|，且m·n=|m||n|，則m=n，巧妙構(gòu)造向量，創(chuàng)造利用該性質(zhì)的條件是快速破解此題的關(guān)鍵.

以上幾例說(shuō)明，要善于觀察題目特征，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)南蛄坎⒗孟蛄啃再|(zhì)來(lái)解題，該解法思考方式新穎并且富有創(chuàng)造性，使解題難點(diǎn)轉(zhuǎn)移，使解題過(guò)程優(yōu)化.作者簡(jiǎn)介羅文軍，男，1986年1月生，甘肅秦安人，中學(xué)二級(jí)教師，多次被評(píng)為秦安二中校級(jí)優(yōu)秀教師.發(fā)表文章10余篇，