淺談不定積分與R(黎曼)積分的關(guān)系

張明會，高婷婷（隴南師范等等?？茖W(xué)校數(shù)信學(xué)院，甘肅成縣742500）

淺談不定積分與R(黎曼)積分的關(guān)系

張明會，高婷婷
（隴南師范等等?？茖W(xué)校數(shù)信學(xué)院，甘肅成縣742500）

高等數(shù)學(xué)中的積分包含不定積分和定積分（R(黎曼)積分）兩類，不定積分是從逆運算的角度，把積分看作微分運算的逆運算，定積分則是從求極限的角度，把積分看作是一類特殊形式的和數(shù)極限。從兩種積分的概念入手，通過例題分析來揭示這兩種積分的內(nèi)在關(guān)系。

R(黎曼)積分；不定積分；關(guān)系；分化

1R(黎曼)積分的定義

定義：設(shè)f(x)是定義在[a,b]上的函數(shù)，J是常數(shù)，如果?ε>0,?δ>0，使對區(qū)間[a,b]上的任意一個劃分T，只要就有

則稱f(x)在[a,b]以黎曼意義可積分，簡稱R(黎曼)可積，稱J為f(x)在[a,b]上的黎曼積分或定積分，記作，或簡記為，即

若時，∑f(ξi)Δxi不 趨于任何定值，就稱f(x)在[a,b]上不可積。由于柯西積分和黎曼積分定義的結(jié)構(gòu)形式雷同，但前者對被積函數(shù)加了連續(xù)限制，對分化T加了等分限制，而后者卻對被積函數(shù)及分化未做任何限制，所以R(黎曼)積分概念是柯西積分概念的直接推廣。已知道存在一類有界不連續(xù)函數(shù)是黎曼可積的。另外，若f(x)在[a,b]上是N可積的，則f(x)必是R(黎曼可積的，此時兩種可積的意義是等價的，且

當然，一般情況下R積分和N積分并不相等。

在高等數(shù)學(xué)或者在數(shù)學(xué)分析中，R積分被認為是夠用的理想的積分概念。但隨著研究的進一步深入和應(yīng)用的逐步廣泛，R積分也明顯地顯現(xiàn)出他的弱點，例如R可積類的范圍不夠廣泛，應(yīng)運而生的勒貝格（Lebesgue）積分就是其中的一例。因此，現(xiàn)代研究對于廣義的黎曼積分更加受到大家的重視。

2　不定積分與R(黎曼)積分的關(guān)系

函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的全體原函數(shù)構(gòu)成的集合，稱為f(x)在I上的不定積分，記作

這里有兩個問題，一是存在性，即那些函數(shù)存在原函數(shù)；二是求法，也就是如果原函數(shù)存在，如何找出原函數(shù)。要從根本上解決這兩個問題，最終都要借助于定積分這個工具。

關(guān)于存在性的討論，一條途徑是從微分介值定理得出的，即“有第一類間斷點的函數(shù)不存在原函數(shù)”；另外，是利用活動上限的定積分所定義的函數(shù)只要f(x)連續(xù)，則f(x)的原函數(shù)一定存在，而且F(x)就是其中之一。

關(guān)于求法問題，一是從不定積分的定義出發(fā)，因為

所以，從每一個求導(dǎo)公式就可以“翻譯”一個相應(yīng)的求不定積分的公式。但是，這樣的倒推法還不能解決全部的求積問題。這一點與微分法不同。例如，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義及微分法則可以求出全部初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然而根據(jù)不定積分定義和積分法則，即使對某些很簡單的初等函數(shù)的不定積分也無能為力。問題在于導(dǎo)數(shù)定義本身給出了求導(dǎo)數(shù)的一個構(gòu)造性算法，而不定積分的定義卻沒有這個特點。同時更重要的是，所有初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是初等函數(shù)，但不少初等函數(shù)的不定積分卻不是初等函數(shù)，因此，還須另找辦法去解決。

設(shè)f(x)在I上不定積分存在，原函數(shù)為F(x)，已知在某點x=a的值為F(a)，則由微分中值公式

其中b∈I，因為當b-a較大時，ξ的位置難作準確定位，從而F(b)的值就更難準確估計了。將[a,b]等分為n個小區(qū)間

則

其誤差為

若f(x)連續(xù)，容易證明，當n→∞時上式以0為極限，因此

這就將求原函數(shù)兩點差值的問題轉(zhuǎn)化為求和函數(shù)的極限，即定積分的問題了。改b為x，則有

這從原則上給連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)給出了一條構(gòu)造性的定義和算法，基本上解決了連續(xù)函數(shù)的不定積分的求法問題。

3　結(jié)束語

在好多教材中，對于不定積分的定義大部分是“強加”給學(xué)生認識的，并沒有指出為什么將∫f(x)dx=F(x)+C稱為積分，當然也就沒有深層次去討論他們之間的聯(lián)系和區(qū)別了。

其實，兩種積分在本質(zhì)上是相似的，不定積分是積分上、下限都不確定的積分，而R(黎曼)積分是上、下限都確定的積分。

雖然，這兩種積分本質(zhì)上相似，但卻有著明顯的不同之處：一是概念上根本不相同，f(x)的不定積分就是它的全體原函數(shù)，而在[a,b]上的R(黎曼)積分是一個極限值（常數(shù)）與積分變量的字母表示關(guān)系；二是這兩種積分表示的幾何意義也不相同，f(x)的不定積分的幾何意義是以y=F(x)+C為方程的一簇積分曲線，而f(x)在[a,b]上的R(黎曼)積分的幾何意義是由y=f(x)在直線x=a,x=b以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積。

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析3版[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]馬振華.離散數(shù)學(xué)導(dǎo)引[M].北京：清華大學(xué)出版社,2006.

[3]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2002.

[4]馬振民,呂克璞.微積分習(xí)題類型分析[M].蘭州大學(xué)出版社，1999.

[5]張明會,高婷婷.恒等變換方法在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用[J].湖南工程學(xué)院學(xué)報，2011(2).

(責任編輯：郝安林）

The Indefinite Integral and Integral Relationship(Riemann)

ZHANG Ming-hui,GAO Ting-ting
(Longnan Normal College,Gansu 742500,China)

The integral in higher mathematics consists of indefinite integral and definite integral((Riemann)inte?gral)two,the indefinite integral is from the angle of inverse operation,the inverse integral as the differential oper?ation,definite integral is the limit point of view,the integral as a special kind of form and the number limit.This article is from the concept of two kinds of integral,to reveal the internal relations of the two integral through ex?ample analysis.

(Riemann)integral;indefinite integral;relationship between;differentiation

O151.2

A

1673-2928（2015）02-0076-02

2014-07-11

隴南師范高等專科學(xué)?？蒲许椖浚?014LSZK02001）；隴南師范高等?？茖W(xué)校教學(xué)改革項目（JXGG2013003）。

張明會(1981-)，男，甘肅康縣人，隴南師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系講師，研究方向:基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。