漸開線花鍵連接的非線性動(dòng)力學(xué)特性

薛向珍，王三民，袁 茹

(西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，710072西安)

漸開線花鍵連接由于傳輸扭矩能力大，對(duì)中性好，故廣泛應(yīng)用于航空減速器、航天發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪泵等動(dòng)力傳輸系統(tǒng)中.由于花鍵齒側(cè)間隙的存在，當(dāng)花鍵副受力時(shí)，側(cè)隙小的花鍵齒先嚙合，間隙次之的再嚙合，依次進(jìn)行，實(shí)際參與嚙合的齒數(shù)小于設(shè)計(jì)齒數(shù)［1］.航空花鍵副受力情況復(fù)雜，在變扭矩、軸向力及彎矩共同作用下，在起飛、巡航、著陸時(shí)都受到較大的變載荷沖擊，且由于齒側(cè)間隙使得花鍵副嚙合剛度具有時(shí)變性［1］，導(dǎo)致花鍵副具有復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)特性.Tjemberg［2］研究了花鍵副延軸向載荷分布情況并和有限元結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，指出使載荷均勻分配的最好方法是沿軸向修正花鍵齒厚.Barrot等［3］研究了考慮不同載荷和幾何形狀下花鍵副軸向扭矩傳遞情況，指出軸向扭矩分布主要影響花鍵副與微動(dòng)磨損相關(guān)的損壞.Silvers和Curà等［4-5］也對(duì)花鍵的載荷分配情況進(jìn)行了研究.Leen等［6］基于由實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的受扭矩和軸向力載荷的花鍵有限元模型對(duì)花鍵的三維摩擦接觸進(jìn)行了研究，該研究考慮了軸向齒廓修形及摩擦系數(shù)的影響.Ratsimba等［7］以及Ding等［8］實(shí)驗(yàn)測(cè)得摩擦系數(shù)及磨損系數(shù)值，利用三維有限元模型得出接觸應(yīng)力和滑移距離，采用修正的Archard方程計(jì)算了磨損深度.Ding和Madge等［9-11］也對(duì)花鍵的磨損進(jìn)行了研究.Kahraman［12］建立了漸開線花鍵的純扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型，給出了非線性動(dòng)力學(xué)方程，但未對(duì)方程進(jìn)行求解以及對(duì)其非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究.為準(zhǔn)確預(yù)估花鍵副的使用壽命及磨損情況，需要精確分析漸開線花鍵連接動(dòng)載大小.

本文在考慮漸開線花鍵副齒側(cè)間隙情況下，建立了漸開線花鍵副純扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型及非線性動(dòng)力學(xué)方程，分析了一個(gè)次載荷循環(huán)周期中，花鍵副實(shí)際參與嚙合的齒數(shù)分布情況，采用ANSYS計(jì)算出系統(tǒng)綜合時(shí)變嚙合剛度，利用四階Runge-Kutta法對(duì)非線性方程進(jìn)行了求解，并對(duì)花鍵副系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析，為研究花鍵副磨損及預(yù)估其壽命提供了理論基礎(chǔ).

1 花鍵副動(dòng)力學(xué)模型與動(dòng)力學(xué)方程

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

考慮齒側(cè)間隙情況下，利用集中質(zhì)量法建立了花鍵副的純扭動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示，圖中集中質(zhì)量盤1、2、3、4分別表示花鍵副輸入構(gòu)件、外花鍵、內(nèi)花鍵及花鍵副輸出構(gòu)件.

圖1 花鍵連接動(dòng)力學(xué)模型

1.2 動(dòng)力學(xué)方程的建立

以4個(gè)集中質(zhì)量盤的轉(zhuǎn)角 θ1、θ2、θ3、θ4為廣義坐標(biāo)，根據(jù)Lagrange方程可推導(dǎo)出圖1所示系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

式中:Ⅰi為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;θi為轉(zhuǎn)動(dòng)的角度(i=1、2、3、4);T1、T4分別為輸入、輸出扭矩，T1=T4;b為齒側(cè)間隙;r2、r3分別為外、內(nèi)花鍵節(jié)圓半徑;cS、ct分別為扭轉(zhuǎn)阻尼、嚙合阻尼;kS、kt分別為扭轉(zhuǎn)剛度、綜合時(shí)變嚙合剛度．

對(duì)方程組(1)中的各方程兩邊分別除以Ⅰ1、Ⅰ2、Ⅰ3、Ⅰ4，令x1=r2(θ1-θ2)，x2=r2θ2-r3θ3，x3=r3(θ3-θ4)，則方程組(1)可化為

式中g(shù)［x(t)］為花鍵間隙分段線性位移函數(shù)，其表達(dá)式及式中參數(shù)含義見文獻(xiàn)［12］．

2 花鍵副嚙合齒對(duì)數(shù)計(jì)算

航空花鍵在起飛、巡航、著陸時(shí)承受著較大的變載荷沖擊，所受扭矩的一個(gè)主循環(huán)伴隨多個(gè)次循環(huán)，如圖2所示.

圖2 系統(tǒng)承受扭矩形式

當(dāng)花鍵副承受圖2所示扭矩時(shí)，由于齒側(cè)間隙的存在，間隙小的齒先嚙合，間隙次之的接著嚙合，直到所有載荷分配完.花鍵副受載時(shí)實(shí)際參與嚙合的齒數(shù)rr小于設(shè)計(jì)齒數(shù)n．將花鍵副所受力矩中伴隨一個(gè)周期次循環(huán)的扭矩值離散為T11、T12…、T1i(i=1，2，…，17)，其表達(dá)式為

式中:Tm為外激勵(lì)扭矩的均值;εT為外激勵(lì)扭矩的幅值波動(dòng)系數(shù);ωT為系統(tǒng)的角速度．

隨機(jī)給定兩組服從正態(tài)分布［13］的齒側(cè)間隙值bj、b'j，采用MATLAB程序計(jì)算花鍵副實(shí)際參與嚙合的齒數(shù)，其流程如圖3所示.

圖3 實(shí)際嚙合齒數(shù)計(jì)算流程

計(jì)算得出離散的扭矩分別對(duì)應(yīng)的花鍵副嚙合齒數(shù)為rr1、rr2…、rri(i=1，2，…，17)，對(duì)于齒數(shù)n=20，平均扭矩為2 600 N·m的花鍵副計(jì)算結(jié)果如圖4所示.由圖4可看出，在伴隨一個(gè)次循環(huán)周期的載荷下，花鍵副實(shí)際參與嚙合的齒數(shù)呈線性分段特征分布.波動(dòng)系數(shù)為0.1時(shí)，實(shí)際參與嚙合的齒數(shù)分布比較平穩(wěn)，波動(dòng)系數(shù)為0.5時(shí)，由于扭矩變化相對(duì)較大，且齒側(cè)間隙不同，導(dǎo)致參與嚙合的齒數(shù)不穩(wěn)定.

圖4 實(shí)際嚙合齒數(shù)隨波動(dòng)系數(shù)變化規(guī)律

3 花鍵副動(dòng)力學(xué)參數(shù)確定

3.1 綜合時(shí)變嚙合剛度計(jì)算

在PRO/E中建立花鍵副實(shí)體模型并導(dǎo)入ANSYS軟件中，定義單元類型為SOLID186.定義材料彈性模量為210 GPa，泊松比0.28、密度7 800 kg/m3、摩擦系數(shù)取0.3，由于本節(jié)采用花鍵副全齒模型分析，為了減少不必要的單元和提高計(jì)算效率，劃分網(wǎng)格時(shí)花鍵齒接觸處網(wǎng)格細(xì)化，不會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力集中的部位網(wǎng)格相對(duì)疏松.將內(nèi)花鍵設(shè)置為目標(biāo)面，花鍵軸為接觸面，建立接觸對(duì)，接觸剛度因子為1.0，最大滲透范圍為0.1［14］，ICONTt初始靠近因子選用1.0×10-10.將內(nèi)花鍵外圓柱面進(jìn)行全約束，外花鍵軸除繞Z軸旋轉(zhuǎn)的自由度外其余也全約束，在花鍵軸外圓柱面上連線通過(guò)軸中心對(duì)稱的兩條母線的各個(gè)節(jié)點(diǎn)處分別施加X和-X方向的力，形成力偶，力的大小Fi(i=1，2，…，17)計(jì)算如下:

式中:T1i分別為T1(t)離散的扭矩值T11、T12、…、T1i(i=1，2，…，17)，N為每條線上節(jié)點(diǎn)總數(shù)．求解后得出對(duì)應(yīng)的接觸壓力Fni及變形量δi．由剛度計(jì)算公式k=Fn/δ計(jì)算出17組扭矩分別對(duì)應(yīng)的時(shí)變嚙合剛度，如圖5、6所示．

圖5 剛度隨時(shí)間的變化

圖6 剛度隨扭矩的變化

由圖5可看出，花鍵副嚙合剛度隨時(shí)間變化呈周期變化，其平均嚙合剛度為245 MN/m，頻率和扭矩相同;由圖6可看出，由于實(shí)際參與嚙合的齒對(duì)數(shù)在一定范圍的扭矩值內(nèi)是不變的，因此，綜合時(shí)變嚙合剛度隨扭矩呈分段線性分布.考慮時(shí)變嚙合剛度時(shí)研究花鍵副非線性動(dòng)力學(xué)行為，需要將時(shí)變嚙合剛度曲線的函數(shù)表達(dá)式代入動(dòng)力學(xué)方程中.由于嚙合剛度是周期性函數(shù).因此采用傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)其進(jìn)行擬合，在初始相位為零的情況下擬合后的近似表達(dá)式為

式中:km為平均嚙合剛度;ka為剛度的波動(dòng)幅值;ωT為系統(tǒng)角速度．

3.2 嚙合阻尼的計(jì)算方法

由于花鍵副多個(gè)鍵齒同時(shí)參與嚙合，其嚙合阻尼比較復(fù)雜，不易準(zhǔn)確求得.因此，參照齒輪副的嚙合阻尼計(jì)算經(jīng)驗(yàn)公式，取嚙合阻尼比ξ為常數(shù)，則其嚙合阻尼為

式中:km為花鍵副的平均嚙合剛度;Me、Mi分別為外、內(nèi)花鍵副的等效質(zhì)量;ξ為嚙合阻尼比，其取值范圍約為0.03～0.17［15］．

3.3 軸的扭轉(zhuǎn)剛度

根據(jù)材料力學(xué)理論，軸的扭轉(zhuǎn)剛度為

式中:G為材料的剪切彈性模量;ⅠS為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ⅠS=πd4/32;d為軸的直徑;lS為軸的受扭長(zhǎng)度．

3.4 軸的扭轉(zhuǎn)阻尼

軸的扭轉(zhuǎn)阻尼的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式為

式中:KS為軸的扭轉(zhuǎn)剛度;ⅠS為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;ξS為軸的扭轉(zhuǎn)阻尼比，其取值范圍為0.005～

0.075［15］．

4 非線性動(dòng)力學(xué)特性分析

4.1 非線性動(dòng)力學(xué)特性分析

花鍵副齒數(shù)n=20，m=2.5 mm，壓力角為30°，利用龍格庫(kù)塔法對(duì)該動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解.圖7～10為系統(tǒng)平均扭矩為2 600 N·m，轉(zhuǎn)速分別為300、348、360、1 080 r/min時(shí)系統(tǒng)第2自由度的動(dòng)態(tài)響應(yīng).

圖7 轉(zhuǎn)速為300 r/min時(shí)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)

圖8 轉(zhuǎn)速為348 r/min時(shí)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)

圖9 轉(zhuǎn)速為360 r/min時(shí)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)

圖10 轉(zhuǎn)速為1 080 r/min時(shí)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)

可以看出，當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為300 r/min時(shí)，系統(tǒng)呈簡(jiǎn)諧響應(yīng);當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為348 r/min時(shí)，系統(tǒng)呈兩周期響應(yīng)，傅里葉頻譜圖上分布著兩個(gè)離散的譜線;當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為360 r/min時(shí)，系統(tǒng)呈5周期響應(yīng)，其Poincare截面上有5個(gè)離散的點(diǎn);當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為1 080 r/min時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌響應(yīng).

4.2 花鍵副動(dòng)載特性分析

花鍵副系統(tǒng)所受平均載荷Fm=Tm/r2、動(dòng)態(tài)載荷為

則花鍵副動(dòng)載系數(shù)為kv=Fd/Fm．分別改變系統(tǒng)所受扭矩的平均值及給定四組不同齒側(cè)間隙b1、b2、b3、b4，且每組對(duì)應(yīng)的均值σb1＜σb2＜σb3＜σb4，花鍵副動(dòng)載系數(shù)求解結(jié)果如圖11、12所示．

圖11 扭矩對(duì)動(dòng)載系數(shù)的影響

圖12 齒側(cè)間隙對(duì)動(dòng)載系數(shù)的影響

由圖11、12可看出，系統(tǒng)的動(dòng)載系數(shù)也呈周期性變化，其值隨扭矩的增大而增大，隨齒側(cè)間隙的增大而增大.

5 結(jié) 論

1)花鍵副嚙合剛度隨時(shí)間變化呈周期變化，在本文算例中其平均嚙合剛度為245 MN/m，頻率和扭矩相同;綜合時(shí)變嚙合剛度隨扭矩呈分段線性分布.

2)當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為300 r/min時(shí)，系統(tǒng)呈簡(jiǎn)諧響應(yīng);當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為348 r/min時(shí)，系統(tǒng)呈兩周期響應(yīng)，傅里葉頻譜圖上分布著兩個(gè)離散的譜線;當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為360 r/min時(shí)，系統(tǒng)呈5周期響應(yīng)，其龐加萊截面上有5個(gè)離散的點(diǎn);當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為1 080 r/min時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌響應(yīng).

3)花鍵副的動(dòng)載系數(shù)也呈周期性變化，且隨扭矩和齒側(cè)間隙的增大而增大.因此，通過(guò)控制花鍵加工精度及嚙合精度等措施，減小齒側(cè)間隙，能有效提高花鍵副工作的穩(wěn)定性.

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