基于擬平衡滑翔的數(shù)值預(yù)測再入軌跡規(guī)劃算法

盧寶剛，傅 瑜，崔乃剛，單文昭

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，150001哈爾濱;2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，100076北京)

高超聲速飛行器是指飛行馬赫數(shù)大于或等于5的飛行器，能夠依靠其較大的升阻比在大氣層內(nèi)做較長時(shí)間的無動(dòng)力滑翔飛行，具有飛行速度快、突防能力強(qiáng)、飛行距離遠(yuǎn)等優(yōu)勢.目前，主要有兩大類高超聲速飛行器，即可重復(fù)使用運(yùn)載器(RLV)與通用航空飛行器(CAV).航天飛機(jī)是經(jīng)過實(shí)際工程驗(yàn)證的最典型的RLV，在此之后，美國開展了X-33、X-34、X-37、X-40和X-43等一系列新一代RLV驗(yàn)證機(jī)的研究工作，其中X-37B于2010年4月第一次獲得了成功飛行試驗(yàn)，2011年3月，第二架X-37B飛行器升空.為了實(shí)現(xiàn)低成本的遠(yuǎn)程快速打擊或者物資投送，美國空軍司令部對軍用太空飛機(jī)的概念進(jìn)行了論證，提出了CAV概念飛行器，并于2010年進(jìn)行了HTV-2的飛行試驗(yàn)，該飛行器可看作是CAV的延續(xù).

飛行器在再入過程中要受到動(dòng)壓、過載與氣動(dòng)熱的限制，與此同時(shí)，需保證飛行器到達(dá)指定的位置(經(jīng)度、緯度和高度)和速度(速度的大小和方向)，滿足以上約束條件的再入制導(dǎo)問題一直為近年來航空航天領(lǐng)域的研究熱點(diǎn).從20世紀(jì)70年代起，以航天飛機(jī)為背景的大升阻比再入制導(dǎo)問題研究開始興起［1］，20世紀(jì)90年代以來，新的制導(dǎo)方法層出不窮［2-5］，主要分為兩大類:標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)和預(yù)測制導(dǎo).標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)包括軌跡規(guī)劃與軌跡跟蹤兩部分，標(biāo)稱軌跡可以基于不同的剖面進(jìn)行規(guī)劃，如阻力加速度剖面［1］、高度剖面［6］，動(dòng)壓剖面［7］等.軌跡跟蹤可以分為剖面跟蹤［1］及全狀態(tài)跟蹤［8］兩種類型.預(yù)測制導(dǎo)是根據(jù)終端狀態(tài)的期望值與預(yù)測值之差修正控制量，按照對終端狀態(tài)預(yù)測方法的不同，分為解析法和數(shù)值法.解析法一般需作大量簡化，當(dāng)某些關(guān)鍵參數(shù)被簡化處理后，會對再入軌跡影響較大，預(yù)測的精度比較低.數(shù)值法預(yù)測的精度高，在計(jì)算機(jī)高度發(fā)展的今天，數(shù)值預(yù)測計(jì)算量較大的問題也得到了有效解決，所以，數(shù)值預(yù)測制導(dǎo)受到廣泛關(guān)注［9-10］.在眾多再入制導(dǎo)方法中，美國馬歇爾空間飛行中心對它們作了測評［11］，其中，能夠在線生成標(biāo)稱軌跡的擬平衡滑翔制導(dǎo)是順利通過全部測試的再入制導(dǎo)方法.

本文結(jié)合擬平衡滑翔條件與數(shù)值預(yù)測的優(yōu)勢，提出一種高超聲速飛行器再入軌跡規(guī)劃方法，該方法可離線設(shè)計(jì)標(biāo)稱軌跡，也可在線規(guī)劃軌跡(受彈載計(jì)算水平限制).考慮到攻角對大升阻比飛行器飛行軌跡的影響較大，單純的依靠調(diào)節(jié)傾側(cè)角無法滿足需求，因此，通過對攻角剖面的設(shè)計(jì)滿足終端速度約束，通過對飛行路徑角角剖面的設(shè)計(jì)滿足航程約束，然后利用擬平衡滑翔條件計(jì)算傾側(cè)角進(jìn)行軌跡保持.此時(shí)，三維約束再入軌跡規(guī)劃問題被簡化為2個(gè)參數(shù)的搜索問題，軌跡規(guī)劃效率高，適用于大升阻比高超聲速飛行器的平滑軌跡規(guī)劃.

1 運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

考慮地球自轉(zhuǎn)且假設(shè)地球?yàn)榫|(zhì)的圓球，建立如下再入飛行器三自由度運(yùn)動(dòng)方程［12］:

其中:r表示地心距離;γ表示飛行路徑角;V表示再入飛行器相對于地球的速度;ψ表示速度方位角，從北向順時(shí)針量測為正;θ和φ分別為經(jīng)度和緯度，以上為再入飛行器的狀態(tài)變量，且以時(shí)間t為微分自變量．S表示特征參考面積;m表示質(zhì)量，以上為與飛行器相關(guān)的總體參數(shù)．ω表示地球的自轉(zhuǎn)角速度;μ表示地球萬有引力常數(shù);ρ=ρ0e-h/hs表示當(dāng)前高度的大氣密度，以上為地球參數(shù)及大氣密度模型．CD與CL為再入飛行器的阻力系數(shù)和升力系數(shù)，是攻角α與飛行馬赫數(shù)Ma的函數(shù);σ為傾側(cè)角，其正向是指從后方看飛行器順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度．

地球自轉(zhuǎn)會產(chǎn)生附加力，但是與氣動(dòng)力相比可視為小量［13］，所以，在軌跡規(guī)劃的預(yù)測階段，忽略地球自轉(zhuǎn)，再入飛行器簡化運(yùn)動(dòng)方程為

其中:LR為再入航程;h為飛行高度;地心距r=h+Re，Re為地球半徑;g=μ/r2為引力加速度．

2 軌跡規(guī)劃問題描述

為保證再入飛行器安全，需滿足動(dòng)壓、過載、熱流密度等過程約束:

其中:Qs為熱流密度;ks為與飛行器外形相關(guān)的常值系數(shù);q為動(dòng)壓;N為法向過載;D和L分別為阻力加速度和升力加速度，即

軌跡規(guī)劃問題可描述為:給定飛行器再入初始條件，在復(fù)雜的過程約束下，確定攻角及傾側(cè)角的變化過程，使飛行器能夠無動(dòng)力滑翔至末端交班點(diǎn)位置，同時(shí)滿足終端速度大小約束并消除航向誤差，即

其中:tf為再入飛行時(shí)間，不加限定;Δψ表示航向誤差;Δψ*f為其允許值;X(tf)表示X在tf時(shí)刻的值;X*

f表示X的終端約束條件(X表示式(7)中的高度h、經(jīng)度θ、緯度φ及速度V)．

3 擬平衡滑翔軌跡規(guī)劃算法

3.1 擬平衡滑翔條件

擬平衡滑翔條件存在兩種定義方式:令再入飛行過程中的飛行路徑角保持常數(shù)，即=0，這是普遍采用的擬平衡滑翔條件;令飛行過程中的高度變化率為常數(shù)，即=0，該條件應(yīng)用于火星著陸解析預(yù)測制導(dǎo)中．本文根據(jù)第一種定義，在運(yùn)動(dòng)方程(2)中令=0，得到擬平衡滑翔條件(quasi equilibrium glide condition，QEGC):

其中L為飛行器的升力加速度，由式(6)得到．

3.2 初始下降段

通常情況下，飛行器的再入初始條件不滿足擬平衡滑翔條件.為了使再入軌跡平滑切換到擬平衡滑翔狀態(tài)，避免產(chǎn)生跳躍軌跡，需要引入初始下降段.平滑切換的評判準(zhǔn)則是在高度-速度剖面內(nèi)，尋找一個(gè)滿足QEGC的轉(zhuǎn)移點(diǎn)，使再入彈道的斜率dh/dV與QEGC的斜率(dh/dV)QEGC保持一致，并且平滑切換的成功表示了初始下降段的結(jié)束.其平滑切換的評判準(zhǔn)則為［6］

其中ε為事先確定的小量．根據(jù)簡化運(yùn)動(dòng)方程(1)與(3)可以得到

其中D為阻力加速度，由式(5)得到．(dh/dV)QEGC為當(dāng)前點(diǎn)(h，V)對應(yīng)的QEGC的斜率，根據(jù)式(17)對高度h求速度V的導(dǎo)數(shù)，可以得到

在采用常值傾側(cè)角σ0積分運(yùn)動(dòng)方程過程中，當(dāng)飛行高度小于一定高度而切換條件(9)仍不滿足時(shí)，需要重新迭代計(jì)算σ0．然而σ0越大，軌跡下降越快，同時(shí)熱流密度越容易超出約束范圍．當(dāng)超出約束的σ0仍不能滿足切換條件時(shí)，由再入飛行器的氣動(dòng)特性可知，增大攻角能夠提升氣動(dòng)力的減速效果，從而降低再入過程中的熱流密度約束．所以，初始下降段一般選擇常值大攻角飛行．

3.3 擬平衡滑翔段

傳統(tǒng)的基于擬平衡滑翔條件的再入軌跡規(guī)劃方法，首先給定攻角-速度剖面，然后只對傾側(cè)角進(jìn)行調(diào)整［6］.但是，對于大升阻比的高超聲速再入飛行器，攻角-速度剖面對其氣動(dòng)參數(shù)影響較大，單純的調(diào)節(jié)傾側(cè)角有時(shí)無法完成再入需求.因此，本文選取攻角與傾側(cè)角作為控制量，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)再入軌跡規(guī)劃任務(wù).

首先，基于飛行路徑角與航程間的數(shù)值關(guān)系，確定滿足航程要求的飛行路徑角-高度剖面;然后，基于攻角與終端速度間的數(shù)值關(guān)系，確定滿足終端速度約束的攻角-速度剖面;最后，對具有該飛行路徑角的擬平衡滑翔軌跡由傾側(cè)角進(jìn)行保持控制.另一方面，為消除航向誤差，傾側(cè)角的符號由通過設(shè)計(jì)航向誤差走廊控制傾側(cè)角反轉(zhuǎn)確定.此外，過程約束借助于擬平衡滑翔條件(QEGC)轉(zhuǎn)化為對傾側(cè)角的約束，從而確定出攻角和傾側(cè)角，它們共同維持?jǐn)M平衡滑翔軌跡飛行，最終實(shí)現(xiàn)再入飛行器終端位置和速度同時(shí)滿足要求.在推導(dǎo)過程中，忽略了地球自轉(zhuǎn)的影響，所以在一定時(shí)間周期內(nèi)需要重新規(guī)劃參考軌跡.擬平衡滑翔再入軌跡規(guī)劃原理如圖1所示.

圖1 擬平衡滑翔再入軌跡規(guī)劃原理

3.3.1 航程控制

航程約束是再入飛行器主要約束之一，因此，本節(jié)基于運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)了航程與飛行路徑角的關(guān)系，由運(yùn)動(dòng)方程(4)與(3)可以得到

由于擬平衡滑翔軌跡的高度呈現(xiàn)近似線性變化趨勢，所以選取高度為微分自變量是合理的.根據(jù)式(10)可以得知，再入航程是飛行路徑角γ的函數(shù)．當(dāng)假設(shè)再入過程中γ始終是小量且·γ=0的情況下，可以得到再入航程與飛行路徑角的解析關(guān)系．但是整條再入軌跡不可能一直保持該假設(shè)條件，會造成一定的航程預(yù)測誤差，故本文采用數(shù)值積分的方式預(yù)測再入航程．

定義了飛行路徑角-高度剖面，為保證再入飛行路徑角的平滑及連續(xù)性，該剖面選取二次解析多項(xiàng)式形式:

由于式(11)存在3個(gè)未知量，需要3組參數(shù)進(jìn)行求解.3組參數(shù)分別為:當(dāng)前點(diǎn)(hcur，γcur)，終端點(diǎn)，另外定義一個(gè)中間點(diǎn)(htr，γtr)且滿足

其中:hct、kct為人為選取的常值參數(shù);γdes為剖面設(shè)計(jì)參數(shù)，當(dāng)γdes確定后，飛行路徑角-高度剖面即可確定，再入航程LR也隨之確定．

采用牛頓迭代方法搜尋參數(shù)γdes，使再入航程LR與待飛航程LRtogo相等．LRtogo根據(jù)當(dāng)前點(diǎn)的經(jīng)緯度(θcur，φcur)及目標(biāo)點(diǎn)的經(jīng)緯度，采用球面三角原理確定:

此時(shí)，再入航程控制問題轉(zhuǎn)化為單參數(shù)的搜索問題，用于數(shù)值預(yù)測再入航程的微分方程(10)，涉及參數(shù)少，計(jì)算量小，效率高.

3.3.2 速度控制

終端速度約束是再入飛行器另一個(gè)主要約束，由運(yùn)動(dòng)方程(1)與(3)可以得到

由于飛行路徑角-高度剖面已經(jīng)通過航程控制確定，根據(jù)式(12)，終端速度可以通過調(diào)節(jié)隱含在阻力加速度中的攻角進(jìn)行調(diào)節(jié).為簡化設(shè)計(jì)思路，定義攻角-速度剖面:

其中:α1、V1、V2為選定的常值參數(shù)(通常α1取最大攻角αmax);α2為調(diào)節(jié)終端速度的設(shè)計(jì)參數(shù);kα、bα是與α1、V1、V2、α2相關(guān)的參數(shù)．

當(dāng)α2確定后，攻角剖面即確定，數(shù)值積分式(12)可以預(yù)測終端速度．為使終端速度滿足約束條件，采用牛頓迭代的方法搜尋參數(shù)α2．當(dāng)搜索到的α2小于最小攻角αmin(或大于αmax)時(shí)，可以進(jìn)一步調(diào)節(jié)參數(shù)V2，確保攻角α∈［αmin，αmax］．攻角剖面調(diào)節(jié)原理如圖2所示．此時(shí)，再入速度控制問題也同樣轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的單參數(shù)的搜索問題．

圖2 攻角剖面調(diào)節(jié)原理

3.3.3 擬平衡滑翔軌跡保持

當(dāng)滿足航程約束的飛行路徑角剖面與滿足終端速度約束的攻角剖面給定后，根據(jù)式(8)可以得到保持?jǐn)M平衡滑翔軌跡飛行的傾側(cè)角，即

其中升力加速度Lpf由攻角剖面αpf插值氣動(dòng)參數(shù)后計(jì)算得到．

再入飛行的過程約束，根據(jù)擬平衡滑翔條件可以將它們轉(zhuǎn)化為對傾側(cè)角的約束，即

取上述約束最小值作為傾側(cè)角的約束邊界，即

所以，能夠保持?jǐn)M平衡滑翔軌跡飛行的并考慮過程約束的傾側(cè)角:

3.3.4 航向控制

航向控制是通過調(diào)節(jié)傾側(cè)角符號進(jìn)而消除航向誤差，航向誤差表示為

其中:ψcur為當(dāng)前速度方位角;ψLOS為當(dāng)前目標(biāo)視線角，根據(jù)球面三角原理可以得到

消除航向誤差的主要方法有:傾側(cè)角單次反轉(zhuǎn)模式、傾側(cè)角兩次反轉(zhuǎn)模式以及航向誤差走廊反轉(zhuǎn)模式.前兩種方法需要迭代搜索反轉(zhuǎn)時(shí)機(jī)，能夠提高精度，但是同時(shí)也增加了計(jì)算量．基于航向誤差走廊的反轉(zhuǎn)模式為:當(dāng)航向誤差Δψ大于航向誤差邊界Δψd時(shí)，傾斜角要反號;在邊界區(qū)域內(nèi)，傾側(cè)角保持原來的符號．傾側(cè)角符號表達(dá)式如下:

其中sign(σi-1)為前一時(shí)刻傾側(cè)角的符號．

為降低傾側(cè)角反轉(zhuǎn)次數(shù)并提高精度，航向誤差邊界Δψd一般設(shè)計(jì)為“漏斗”式，本文采用該方法消除航向誤差．航向誤差邊界如下:

4 仿真算例分析

4.1 仿真條件

本文采用美國的CAV-H作為研究對象［14］，該飛行器在再入飛行過程中無動(dòng)力、無側(cè)滑，轉(zhuǎn)彎通過傾側(cè)實(shí)現(xiàn)，氣動(dòng)參考面積為0.483 9 m2，質(zhì)量為907 kg，最大升阻比為(L/D)max=3.5.

再入初始條件:初始高度h0=70 km，速度V0=6 500 m/s，飛行路徑角γ0=0°，經(jīng)度θ0=0°，緯度φ0=0°，速度方位角ψ0=80°;過程約束:熱流密度約束Qmax=2 MW/m2，動(dòng)壓約束qmax=200 kPa，過載約束Nmax=3;控制量攻角和傾側(cè)角的約束:最大攻角αmax=20°，最小攻角αmin=5°，最大傾側(cè)角|σmax|=90°，在彈道計(jì)算過程中由過程約束進(jìn)一步加以限制.

4.2 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文提出的軌跡規(guī)劃算法的有效性，設(shè)置終端約束條件為:高度20 km，速度V=1 500 m/s，經(jīng)度=70°，緯度φ=0°，終端航向誤差|Δψ(tf)|≤5°.為保證終端航向誤差約束，設(shè)定航向誤差走廊的相關(guān)數(shù)據(jù)為:Vd=2 000 m/s，Δψd1=10°，Δψd2=5°.

圖3顯示了攻角變化曲線，在再入初期以最大攻角進(jìn)行飛行，但是為了達(dá)到期望的終端速度，在速度小于5 020 m/s時(shí)，以常值攻角6.2°飛行.圖4顯示了傾側(cè)角的變化規(guī)律，為消除航向誤差，傾側(cè)角反轉(zhuǎn)3次.此外，由于本文研究的再入飛行器具有大升阻比的氣動(dòng)特性，在保持?jǐn)M平衡滑翔軌跡飛行階段，為平衡重力需要較大的傾側(cè)角.終端速度為1 496 m/s，偏差4 m/s，該約束條件的精度可以增加，軌跡規(guī)劃次數(shù)進(jìn)一步提高.從圖5可以看出，再入軌跡非常平滑，由于本文將終端高度作為彈道積分終止條件，所以高度約束可以精確滿足.圖6顯示了三維再入軌跡，終端經(jīng)緯度分別為(69.97°，-0.007°)，該約束條件的精度可以通過調(diào)整航向誤差走廊進(jìn)一步提高.從圖7可以看出，在初始下降段之后，飛行路徑角在擬平衡滑翔飛行過程中變化緩慢，基本保持在0°附近.圖8顯示了過程約束的變化規(guī)律，由于本文再入軌跡規(guī)劃算法是以QEGC為核心的，所以，熱流密度、動(dòng)壓、過載等約束都能夠比較容易滿足約束條件.

圖3 速度-攻角曲線

圖4 速度-傾側(cè)角曲線

圖5 航程-高度曲線

圖6 三維再入軌跡曲線

圖7 航程-飛行路徑角曲線

圖8 速度-路徑約束曲線

為驗(yàn)證本文提出的軌跡規(guī)劃算法具有較強(qiáng)的適應(yīng)能力，在初始條件不變的情況下，選取不同的終端緯度=(0°，5°，10°，15°，20°)進(jìn)行仿真分析.圖9顯示了不同目標(biāo)點(diǎn)的三維再入軌跡，再入軌跡平滑，且滿足終端約束與路徑約束條件，限于篇幅，沒有給出相應(yīng)的仿真結(jié)果曲線.表1給出了不同目標(biāo)點(diǎn)的軌跡規(guī)劃結(jié)果，能夠達(dá)到比較理想的交班條件，而且在計(jì)算機(jī)(運(yùn)行平臺為Lenovo Y430，操作系統(tǒng)為Windows XP，編譯環(huán)境為Matlab 6.5，CPU T5800/2 GHz，內(nèi)存為DDR2 2 G)完成上述仿真的時(shí)間消耗均小于1 s，故采用此方法能快速求解再入?yún)⒖架壽E.

圖9 不同目標(biāo)點(diǎn)的三維再入軌跡

表1 不同目標(biāo)點(diǎn)的軌跡規(guī)劃結(jié)果

5 結(jié) 語

本文根據(jù)大升阻比高超聲速再入飛行器的飛行特點(diǎn)，將攻角和傾側(cè)角作為控制量，充分利用QEGC，提出了一種全新的再入軌跡規(guī)劃算法.該算法是數(shù)值預(yù)測與QEGC的完美結(jié)合，一方面獲得了再入航程及速度的精確數(shù)值預(yù)測，進(jìn)而借助QEGC進(jìn)行軌跡保持控制，使再入滑翔軌跡具備平滑彈道的優(yōu)良特性;另一方面基于QEGC實(shí)現(xiàn)了飛行過程約束向傾側(cè)角約束的轉(zhuǎn)化，成功解決了再入過程約束問題.仿真結(jié)果表明，本文提出的擬平衡滑翔再入軌跡規(guī)劃算法，能夠滿足復(fù)雜的多約束再入條件，并具有較強(qiáng)的適應(yīng)能力，軌跡規(guī)劃算法簡單，物理意義清晰，易于工程實(shí)現(xiàn)，能夠?yàn)樵偃腼w行器的軌跡規(guī)劃問題提供參考.

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