吉布斯效應(yīng)在信號(hào)處理課程教學(xué)中的仿真分析

王鳳隨 王冠凌 瞿成明 趙 發(fā)

安徽工程大學(xué)電氣工程學(xué)院 安徽蕪湖 241000

吉布斯效應(yīng)在信號(hào)處理課程教學(xué)中的仿真分析

王鳳隨 王冠凌 瞿成明 趙 發(fā)

安徽工程大學(xué)電氣工程學(xué)院 安徽蕪湖 241000

為幫助學(xué)生更直觀地理解信號(hào)處理中出現(xiàn)的吉布斯效應(yīng)，借助于計(jì)算分析軟件MATLAB對(duì)信號(hào)處理中的信號(hào)分解與合成以及濾波器設(shè)計(jì)中出現(xiàn)的吉布斯現(xiàn)象進(jìn)行了仿真，分析并探討了吉布斯效應(yīng)產(chǎn)生的原因及減少效應(yīng)影響的方法。仿真結(jié)果可更加直觀和深刻地認(rèn)識(shí)吉布斯效應(yīng)，對(duì)信號(hào)分析與系統(tǒng)設(shè)計(jì)有著重要的作用。

吉布斯效應(yīng)；信號(hào)合成；濾波器；仿真分析

MATLAB是一種高性能的科學(xué)計(jì)算和可視化軟件，它具有使用方便，運(yùn)算高效，功能豐富，界面友好等諸多優(yōu)點(diǎn)，已成為教學(xué)和科研中不可或缺的工具。其完備的信號(hào)處理能力及豐富的應(yīng)用工具箱，使其在電子信息類課程教學(xué)中被頻繁地應(yīng)用。

在信號(hào)處理類課程中，信號(hào)的分解與合成以及設(shè)計(jì)濾波器不可避免地會(huì)受到吉布斯(Gibbs)效應(yīng)的影響，在通常的教學(xué)中，僅對(duì)其進(jìn)行理論分析與推導(dǎo)，只給學(xué)生一個(gè)抽象的印象，不能直觀而形象地看到該現(xiàn)象的形成過程?；贛ATLAB分析軟件對(duì)信號(hào)處理中的吉布斯效應(yīng)進(jìn)行仿真，改變了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，實(shí)現(xiàn)了該效應(yīng)的動(dòng)態(tài)分析與可視化，有助于學(xué)生理解吉布斯效應(yīng)的產(chǎn)生。

1 吉布斯效應(yīng)

1.1 吉布斯效應(yīng)的定義

任何非正弦的周期信號(hào)在滿足一定條件時(shí)，都可以展開成為一系列不同頻率的正弦信號(hào)。反之，可將不同頻率的各次諧波進(jìn)行合成得到該周期信號(hào)。在對(duì)具有跳變點(diǎn)的周期信號(hào)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開時(shí)，如果僅選取無窮級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng)合成原周期信號(hào)，那么在周期信號(hào)的不可導(dǎo)點(diǎn)位置將出現(xiàn)較大的誤差(峰起)[1]。當(dāng)選取的項(xiàng)數(shù)越多，在所合成的波形中出現(xiàn)的峰起越靠近原信號(hào)的不連續(xù)點(diǎn)。當(dāng)選取的項(xiàng)數(shù)很大時(shí)，該峰起值趨于一個(gè)常數(shù)，大約等于總跳變值的9%，這種現(xiàn)象稱為吉布斯效應(yīng)。

1.2 吉布斯效應(yīng)的實(shí)例

(1)周期信號(hào)的合成與分解

周期信號(hào)在滿足狄利克雷條件時(shí)，可分解為直流和不同頻率的正弦信號(hào)分量之和。若f(t)的周期為T1，角頻率ω1=2π/T1，頻率f1=1/T1，則周期函數(shù)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)如式(1)所示：

若取傅里葉級(jí)數(shù)的前2N+1項(xiàng)來逼近周期函數(shù)f(t)，則傅里葉級(jí)數(shù)如式(2)：

這樣通過有限項(xiàng)傅里葉級(jí)數(shù)的和來逼近原信號(hào)，必然存在誤差。通過計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)，改變諧波分量的項(xiàng)數(shù)，可以演示信號(hào)分析中的吉布斯現(xiàn)象[2，3，4]。

(2)FIR濾波器設(shè)計(jì)

在利用窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)，由于用有限長(zhǎng)的序列代替無限長(zhǎng)單位取樣序列，這種截?cái)嘟苿?shì)必帶來誤差，表現(xiàn)在頻域就是Gibbs效應(yīng)，這種吉布斯效應(yīng)是由于對(duì)單位取樣序列直接截?cái)嗨鸬腫5]。在頻譜跳變點(diǎn)所產(chǎn)生的泄漏效應(yīng)致使主瓣能量的丟失，使低頻段出現(xiàn)了高頻段的濾波結(jié)果。這種效應(yīng)會(huì)引起通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)的波動(dòng)性，尤其是使阻帶的衰減變小，從而導(dǎo)致技術(shù)實(shí)現(xiàn)上的困難。

2 吉布斯效應(yīng)的仿真

2.1 周期信號(hào)的合成

不失一般性，以周期性方波為例進(jìn)行說明，設(shè)周期T=2π，幅度為1，具有奇對(duì)稱特性，其傅里葉級(jí)數(shù)展開式為：

利用MATLAB語言編寫程序?qū)崿F(xiàn)各次諧波合成情況，從而演示吉布斯效應(yīng)。k分別取1，2，3，5，10，50項(xiàng)，其仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 周期方波吉布斯效應(yīng)仿真結(jié)果

從仿真結(jié)果不難看成，周期方波合成時(shí)有如下顯著特點(diǎn)：(1)隨著所取項(xiàng)數(shù)的增加，合成的波形越逼近原始方波信號(hào)。(2)當(dāng)所取項(xiàng)數(shù)增大時(shí)，合成波形的峰起向方波間斷點(diǎn)靠近，然而峰起值并未明顯減小，峰起所包圍的面積減少，MATLAB仿真可清楚地展現(xiàn)此Gibbs效應(yīng)。(3)信號(hào)的低頻分量對(duì)應(yīng)的幅度較大，在方波中居主體地位，主要影響波形的頂部；信號(hào)的高頻分量對(duì)應(yīng)的幅度偏小，主要對(duì)波形的細(xì)節(jié)和跳變沿影響較大。

2.2 FIR濾波器設(shè)計(jì)

圖2 濾波器設(shè)計(jì)中吉布斯效應(yīng)的仿真結(jié)果

通過MATLAB獲取峰起點(diǎn)坐標(biāo)可以計(jì)算出：當(dāng)N=6時(shí)，峰起總跳變幅度為(3.411-3.142)/3.142=8.56%，第一峰起到間斷點(diǎn)的距離4.913-4.091=0.822；當(dāng)N=30時(shí)，峰起總跳變幅度為(3.423-3.142)/3.142=8.94%，第一峰起到間斷點(diǎn)的距離4.913-4.751=0.162。

從仿真結(jié)果可以看出：(1)窗函數(shù)長(zhǎng)度N越大，通帶和阻帶內(nèi)波動(dòng)越快。(2)加大窗函數(shù)長(zhǎng)度，可以使濾波器過渡帶變窄，但帶內(nèi)波動(dòng)幅度并沒有明顯改善，加大N并非減少Gibbs效應(yīng)的有效方法。(3)減少吉布斯效應(yīng)影響的方法只能從窗函數(shù)的形狀角度考慮，如選擇能量更加集中的升余弦窗，然而這樣做通常要犧牲過渡帶寬度為代價(jià)。減小過渡帶寬度和增大阻滯衰減是一對(duì)矛盾，一般很難同時(shí)得到滿足，在實(shí)際的濾波器設(shè)計(jì)中，通常根據(jù)技術(shù)指標(biāo)在二者之間折中。

3 結(jié)束語

通過對(duì)信號(hào)處理中吉布斯現(xiàn)象的仿真分析，將抽象的現(xiàn)象變得具體而直觀，使學(xué)生很容易理解吉布斯效應(yīng)的成因及抑制措施，提高了學(xué)生對(duì)課程學(xué)習(xí)的積極性。計(jì)算機(jī)軟件輔助教學(xué)是科學(xué)技術(shù)發(fā)展的必然結(jié)果，可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的可視化，有助于提高教學(xué)質(zhì)量，是值得大力推廣的一種教學(xué)模式。

[1] 吳大正，楊林耀.信號(hào)與線性系統(tǒng)分析[M].第4版.北京：高等教育出版社，2005.

[2] 王懷興.基于LabVIEW的周期信號(hào)分解與合成實(shí)驗(yàn)研究[J].湖北第二師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，27(8)：52-53.

[3] 郝艷華.基于Matlab周期信號(hào)的分解與合成[J].計(jì)算機(jī)與現(xiàn)代化，2011(9)：156-158.

[4] 王宏偉，張文凱.MATLAB在信號(hào)分解與合成實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的應(yīng)用[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2013(22)：165-166.

[5] 高西全，丁玉美.數(shù)字信號(hào)處理[M].第3版.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2008.

Simulation Analysis of Gibbs Effects in the Course Teaching for Signal Processing

Wang Fengsui， Wang Guanling， Qu Chengming， Zhao Fa
Anhui Polytechnic University， Wuhu， 241000， China

In order to help the students intuitively understand Gibbs effects in signal processing， Gibbs effects appearing in signal decomposition and synthesis and filter design for signal processing were simulated by using MATLAB analysis software. The cause of Gibbs effects was analyzed and the methods for reducing the influence of Gibbs effects were discussed. Simulation results are able to more intuitively and profoundly understand the Gibbs effects. It plays an important role for signal analysis and system design.

Gibbs effects； signal synthesis； filter； simulation analysis

2014-07-16

王鳳隨，博士，講師。

安徽工程大學(xué)引進(jìn)人才科研啟動(dòng)基金(編號(hào)：2014YQQ006)；安徽省高等學(xué)校教學(xué)研究項(xiàng)目(編號(hào)：2012jyxm275)；安徽工程大學(xué)校級(jí)電子信息類專業(yè)拔尖人才培養(yǎng)模式創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)區(qū)項(xiàng)目、安徽工程大學(xué)2010電子信息工程校級(jí)特色專業(yè)建設(shè)項(xiàng)目。