數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

潘璐璐

[摘 ? 要]高中數(shù)學(xué)教師不僅僅是要學(xué)生掌握必要的、重要的數(shù)學(xué)知識(shí)和概念，更應(yīng)在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生掌握研究和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想方法，為學(xué)生的后續(xù)發(fā)展打下基礎(chǔ)。其中數(shù)形結(jié)合是很重要的一種數(shù)學(xué)研究思想，通過數(shù)與形的結(jié)合，把抽象的數(shù)學(xué)規(guī)律和概念，轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，便于學(xué)生理解和掌握。

[關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合;高中數(shù)學(xué);集合問題;運(yùn)用

當(dāng)前，我國(guó)的高考試題越來越開放，命題形式也呈現(xiàn)多樣化趨勢(shì)。如探究題、應(yīng)用題、情景題、開放題等占了更多的分值，這類題型考查的是學(xué)生的創(chuàng)新和應(yīng)用能力，考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和概念理解的深度和準(zhǔn)確度，考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，考查的是學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力，處處體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生能力的考查。這就要求教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)和運(yùn)用，從總體上梳理、把握各部分知識(shí)的本質(zhì)和相互聯(lián)系。數(shù)學(xué)思想方法有很多，其中數(shù)形結(jié)合是最基本、最重要的方法。通過設(shè)計(jì)數(shù)形結(jié)合題型，不僅考查了學(xué)生對(duì)基本的數(shù)學(xué)符號(hào)語言、數(shù)學(xué)圖形語言的理解，以及它們之間的互補(bǔ)、互譯、互化關(guān)系;還考查了學(xué)生的想象能力、構(gòu)圖能力、數(shù)形結(jié)合的綜合應(yīng)用能力，這最能體現(xiàn)出學(xué)生在解題中的思維過程和方法，學(xué)生是否運(yùn)用了數(shù)學(xué)的思維和方法。如今，數(shù)形結(jié)合是高考中必考內(nèi)容之一，學(xué)生只有通過數(shù)與形的互譯、互化、互補(bǔ)才能正確處理相關(guān)問題，得出合理、準(zhǔn)確的答案。

一、數(shù)形結(jié)合思想教與學(xué)的現(xiàn)狀

目前，大多數(shù)數(shù)學(xué)教師已深刻認(rèn)識(shí)到了數(shù)形結(jié)合思想方法的教育價(jià)值和重要作用，并且很多教師已經(jīng)深入?yún)⑴c到它的理論研究和實(shí)踐探索中。但教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，真正做到把數(shù)形結(jié)合思想落到實(shí)處的教師還是少數(shù)，更多的教師在教學(xué)過程中，并不能合理有效地布點(diǎn)，存在盲目性大、形式主義的現(xiàn)象，還做不到由淺入深、有計(jì)劃、有系統(tǒng)、有層次、有過程地實(shí)踐數(shù)形結(jié)合思想方法，甚至有些教師只是把這種思想方法當(dāng)作一種解題手段，在實(shí)踐操作中，蜻蜓點(diǎn)水，一帶而過，學(xué)生根本體會(huì)不到數(shù)形結(jié)合的真諦。具體表現(xiàn)如下：

（1）照本宣科，以教材為標(biāo)準(zhǔn)，只講教材中標(biāo)識(shí)出來的概念、定理、規(guī)律，不會(huì)補(bǔ)充、引伸、拓展。

（2）輕視數(shù)形變換的過程教學(xué)。教學(xué)中，對(duì)數(shù)形的互譯、互補(bǔ)過程講授過于簡(jiǎn)單，學(xué)生根本體會(huì)不到數(shù)形結(jié)合的重要意義和必要性。

（3）教師制圖能力差。有些教師作的圖形不規(guī)范，不準(zhǔn)確，不能表達(dá)要說明的主題。

（4）幾何語言訓(xùn)練不足。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生不能熟練地運(yùn)用幾何語言說明問題。

（5）教師和學(xué)生沒有構(gòu)圖意識(shí)。由于缺乏足夠的訓(xùn)練和重視，造成學(xué)生不能熟練運(yùn)用幾何構(gòu)圖來解決和說明問題。遇到問題，沒有構(gòu)圖的意識(shí)，分析問題的能力很差。

由上面的分析可以看出，數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中是多么重要，教師一定要重視和發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的積極作用，提升教學(xué)質(zhì)量和效果。

二、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

新課程標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)明確指出，讓學(xué)生獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)以及基本技能，理解數(shù)學(xué)的基本概念與結(jié)論本質(zhì)，同時(shí)了解數(shù)學(xué)概念與結(jié)論的產(chǎn)生背景，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中體會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法是現(xiàn)代高中數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)目標(biāo)。中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容在要求與處理上都力圖體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，但是一些學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的過程中，當(dāng)面對(duì)新的情景時(shí)就會(huì)不知所措，其主要的原因就是數(shù)學(xué)思想沒有被內(nèi)化。下面圍繞數(shù)形結(jié)合的思想，結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)案例，談?wù)勗诟咧袛?shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該怎樣讓學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的同時(shí)，還能夠從思維的高度培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想意識(shí)以及數(shù)學(xué)研究能力。

1.解決集合問題

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，在集合運(yùn)算中經(jīng)常需要借助數(shù)軸與venn圖來處理，這樣能夠使問題得到簡(jiǎn)化。在具體的教學(xué)過程中，需要讓學(xué)生先從字面上理解“交”“并”以及“補(bǔ)”的涵義，其次可以讓學(xué)習(xí)從venn圖上直觀感受“交”“并”以及“補(bǔ)”的涵義。在這樣的一種情況下，就能夠讓學(xué)生從不同的角度來體會(huì)集合的運(yùn)算，從而進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的滲透，通過以下這個(gè)數(shù)學(xué)案例就能夠說明。

問題：某個(gè)班里面總共有30名同學(xué)，在這30名同學(xué)中有15人是喜歡籃球運(yùn)動(dòng)的，有10人喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)，有8人對(duì)這兩項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)都不喜歡，請(qǐng)問喜愛籃球但是不喜歡乒乓球的人有多少？

分析：在解答這道問題的過程中，可以先將題目中的文字語言轉(zhuǎn)換成集合語言，假設(shè)U是全班的總?cè)藬?shù)，而A、B是分別表示喜歡籃球與乒乓球的學(xué)生，再利用Venn圖就能夠非常直觀地解答出來。

具體的解答步驟如下：先假設(shè)喜愛籃球同時(shí)又喜歡乒乓球的人是X，因此就可以得到喜愛籃球但是不喜歡乒乓球的人有15-X，同時(shí)也能夠得到喜愛乒乓球但是不喜歡籃球的人就是10-X，最后結(jié)合他們班的總?cè)藬?shù)30，就能夠輕易得到X=3，同時(shí)也就能夠得到喜愛籃球但是不喜愛乒乓球的人有12人。

在本次解答過程中，教師讓學(xué)生們先將問題的文字語言轉(zhuǎn)換成集合語言，之后在借助Venn圖來進(jìn)行分析，這樣就能夠充分體現(xiàn)Venn圖的簡(jiǎn)捷與直觀，進(jìn)而能夠在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想的滲透。

2.解決方程與不等式的問題

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，在解決方程問題的過程中，可以將方程中根的問題當(dāng)成是兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，而在處理不等式的時(shí)候，可以先從題目中的條件與結(jié)論開始，結(jié)合函數(shù)進(jìn)行分析，從圖形上找出解題的思路，如教學(xué)案例：

問題：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有幾個(gè)？

分析：學(xué)生需要進(jìn)行的活動(dòng)是，讓學(xué)生考慮方程f（x）=0的根，是否可以直接求解？而教師需進(jìn)行的活動(dòng)是，應(yīng)該要考慮哪個(gè)數(shù)學(xué)定理，是否還有其他的求解方法？之后就可以進(jìn)行師生互動(dòng)。

在解答的過程中，主要有兩種不同的解答方法。第一種方法是，先運(yùn)用零點(diǎn)存在定理，從而可以估算出零點(diǎn)存在的區(qū)間是（0，1），然后就可以用復(fù)合函數(shù)的方法分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性，這樣就能夠得到在定義域上是增函數(shù)，并且這個(gè)方程存在的零點(diǎn)只有一個(gè)。第二種方法是，先分析這道題想要考查是哪方面的知識(shí)，從表面上看，這道題是考查零點(diǎn)問題，其實(shí)是考查函數(shù)的單調(diào)性，這樣在解題的過程中就會(huì)運(yùn)用到冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，可以先令f（x）=0，這樣就能夠畫出相應(yīng)的圖，通過該圖就能夠輕松地發(fā)現(xiàn)其零點(diǎn)只有一個(gè)。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要讓學(xué)生由“數(shù)”直接想到“形”，對(duì)學(xué)生來說是有一定困難的，而學(xué)生之所以在學(xué)習(xí)的過程中明白數(shù)學(xué)的理論知識(shí)，但是在實(shí)際應(yīng)用的過程中卻不會(huì)運(yùn)用，其主要的原因就是學(xué)生缺少體驗(yàn)。因此教師在教學(xué)的過程中，要先讓學(xué)生自己去探索、體驗(yàn)，要讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)—形—數(shù)”的思維過程，比如這道考題，就是要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到在解決方程問題時(shí)可以轉(zhuǎn)換成函數(shù)的交叉點(diǎn)問題，從圖形中發(fā)現(xiàn)問題的答案，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合思想在解答問題中的好處。

“數(shù)相結(jié)合”其實(shí)就是數(shù)量與圖形之間對(duì)應(yīng)的關(guān)系，在數(shù)學(xué)中需要將數(shù)學(xué)語言與圖形結(jié)合起來，要讓學(xué)生將抽象思維與形象思維結(jié)合起來，讓學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，能夠?qū)?shù)與形進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換。通過應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想來解答數(shù)學(xué)問題，能夠使數(shù)學(xué)中一些非常抽象的問題變得直觀化，同時(shí)也能夠?qū)⒁恍?fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，最終就能夠找到一種非常有效的解題方法，起到事半功倍的效果。

高中數(shù)學(xué)是學(xué)生真正接觸數(shù)學(xué)本質(zhì)的開始，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中會(huì)遇到許多從未見過的難題，許多數(shù)學(xué)問題都比較抽象。因此教師應(yīng)該在具體的教學(xué)過程中，逐步滲透數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)的過程中感悟數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生逐漸形成數(shù)形結(jié)合的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，讓這種學(xué)習(xí)習(xí)慣成為學(xué)生分析與解決數(shù)學(xué)問題的一個(gè)有力工具，這樣就能夠真正地達(dá)到現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)。

責(zé)任編輯 ? 潘中原