研習(xí)代數(shù)式，感受數(shù)學(xué)思想及方法

賈蕓蕓

把握數(shù)學(xué)思想方法有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)的深刻理解和掌握，從而更加靈活地運用數(shù)學(xué)知識解答相關(guān)問題，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和應(yīng)用能力.在解題中常常需要求代數(shù)式的值，在求代數(shù)式值的過程中，常常滲透多種數(shù)學(xué)思想方法.本文通過一些具體例子，對代數(shù)式這一章所涉及的數(shù)學(xué)思想及方法作一個總結(jié)，與同學(xué)們一起感受數(shù)學(xué)思想方法在代數(shù)式化簡、求值問題中的威力.同時讓同學(xué)們體會一下什么是思想，什么是數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)思想及方法對數(shù)學(xué)研究意味著什么.

1. 感受用字母表示數(shù)的思想

用字母表示數(shù)的思想，是基本的數(shù)學(xué)思想之一.字母表示數(shù)是代數(shù)的基本特征，也是代數(shù)式產(chǎn)生的根本，它能將一些基本的數(shù)量關(guān)系簡明地表示出來，而且能給運算帶來方便.求代數(shù)式的值就是反過來把代數(shù)式中的字母用數(shù)替換，再按它的運算關(guān)系計算出結(jié)果，通過求代數(shù)式的值可以更好地感受到字母表示數(shù)的意義.課本中的文字表述題、實際應(yīng)用題都體現(xiàn)了這種思想.

例1 （2014·四川樂山）蘋果的單價為a元/千克，香蕉的單價為b元/千克，買2千克蘋果和3千克香蕉共需_______元.

【考點】列代數(shù)式.

【分析】用單價乘數(shù)量得出買2千克蘋果和3千克香蕉的總價，再相加即可.

解：單價為a元的蘋果2千克用去2a元，單價為b元的香蕉3千克用去3b元，共用去：（2a+3b）元.

從特殊的、具體的、確定的數(shù)到一般的、抽象的字母或者含有字母的代數(shù)式，這是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一大飛躍.用字母表示數(shù)掌握的好壞直接關(guān)系到列代數(shù)式、代數(shù)式的運算、列方程解應(yīng)用題等內(nèi)容的學(xué)習(xí).

2. 感受整體（換元）思想

在研究問題的過程中，不是從問題的某個局部入手，而是將問題看作一個完整的整體，把注意力和著眼點放在問題的整體結(jié)構(gòu)上，通過研究整體形式、整體結(jié)構(gòu)或整體處理，達(dá)到簡潔地解決問題的目的，這就是整體思想.

例2 （1） 當(dāng)代數(shù)式5a+3b的值為6時，求代數(shù)式2（a+b）+4（2a+b）+2的值.

（2） 已知t=-，求代數(shù)式2（t2-t-1）-（t2-t-1）+3（t2-t-1）的值.

【考點】代數(shù)式求值.

【分析】第（1）題將所求的代數(shù)式先去括號化簡為2（5a+3b）+2，再將已知的值5a+3b作為一個整體代入. 第（2）題把（t2-t-1）當(dāng)作一個整體進(jìn)行合并同類項，化簡為4（t2-t-1），然后再代入求值顯然簡潔了許多.這兩題都滲透了“整體”和“換元”的思想.

解：（1） 2（a+b）+4（2a+b）+2=2（5a+3b）+2，把5a+3b=6代入得：2（5a+3b）+2=2×6+2=14.

（2） 原式=4（t2-t-1）.把t=-代入得：4（t2-t-1）=-1.

以上兩小題均采用了整體代入的思想，作為整體思想，對于剛進(jìn)入中學(xué)的七年級學(xué)生而言是一個新接觸的內(nèi)容，所以這里是個難點，平時要多練習(xí)、多思考、多總結(jié).

3. 感受歸納思想

求代數(shù)式的值問題有些沒有直接給出代數(shù)式，而是只給出一些有規(guī)律的數(shù)、式子或圖形，讓我們?nèi)デ蠛艽髷?shù)值時的對應(yīng)值，就需要我們根據(jù)具體的數(shù)、式或圖歸納出它的規(guī)律，并用代數(shù)式表示，然后再歸納求值.

例3 （2014·湖南婁底）如圖是一組有規(guī)律的圖案，第1個圖案由4個▲組成，第2個圖案由7個▲組成，第3個圖案由10個▲組成，第4個圖案由13個▲組成，…，則第2 015個圖案由_______個▲組成.

【考點】規(guī)律型：圖形的變化類，代數(shù)式求值.

【分析】仔細(xì)觀察圖形，結(jié)合大三角形每條邊上的三角形的個數(shù)與圖形的序列數(shù)之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)圖形的變化規(guī)律，利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求解即可.

解：觀察發(fā)現(xiàn)：

第一個圖形有3×2-3+1=4（個）三角形；

第二個圖形有3×3-3+1=7（個）三角形；

第一個圖形有3×4-3+1=10（個）三角形；

…

第n個圖形有3（n+1）-3+1=3n+1（個）三角形；

所以第2 015個圖形有3×2 015+1=6 046（個）三角形.

故答案為：6 046.

通過這一思維過程感受“從具體到抽象，由特殊到一般”的不完全歸納的思想方法.利用歸納出的規(guī)律求出當(dāng)n=2015時代數(shù)式3n+1的值.

4. 感受數(shù)形結(jié)合的思想

“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)中最重要也是最基本的思想方法之一，是解決許多數(shù)學(xué)問題的有效思想，本章有很多內(nèi)容都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

例4 （2014·貴州六盤水）如圖是一個運算程序的示意圖，若開始輸入x的值為81，則第2 014次輸出的結(jié)果為（ ）.

A. 1 B. 27 C. 9 D. 1

【考點】代數(shù)式求值、圖表型.

【分析】根據(jù)運算程序進(jìn)行計算，然后得到規(guī)律.從第4次開始，偶數(shù)次運算輸出的結(jié)果是1，奇數(shù)次運算輸出的結(jié)果是3，然后解答即可.

解：第1次，×81=27，

第2次，×27=9，

第3次，×9=3，

第4次，×3=1，

第5次，1+2=3，

第6次，×3=1，…

依此類推，偶數(shù)次運算輸出的結(jié)果是1，奇數(shù)次運算輸出的結(jié)果是3，∵2014是偶數(shù)，∴第2014次輸出的結(jié)果為1. 故選D.

數(shù)形結(jié)合思想就是根據(jù)題設(shè)條件求解目標(biāo)，將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的圖形聯(lián)系起來，發(fā)揮形象思維與抽象思維各自的優(yōu)勢，利用圖形特點和數(shù)的轉(zhuǎn)化去解決問題.它是一種重要的思想方法，本題程序問題體現(xiàn)了這種方法.

5. 感受分類討論思想

分類討論思想體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不同階段，剛開始學(xué)習(xí)有理數(shù)和實數(shù)時就涉及分類討論單位問題.在學(xué)習(xí)“代數(shù)式”中也涉及分類討論.

例5 某地出租車司機(jī)收費標(biāo)準(zhǔn)如下：3公里以內(nèi)（含3公里）收費10元，超過3公里的部分每公里收費2元（不足1公里以1公里計算）.若乘坐n公里（n為整數(shù)），請用代數(shù)式表示應(yīng)付多少車費？

【考點】列代數(shù)式.

【分析】根據(jù)題意當(dāng)n小于或等于3時車費始終等于10元，當(dāng)n大于3時車費為10+2（n-3），本題要進(jìn)行分類討論.

解：當(dāng)0

當(dāng)n>3時，車費=10+2（n-3）=（2n+4）（元）.

以上是“代數(shù)式”這一章的內(nèi)容中所涉及的部分?jǐn)?shù)學(xué)思想，貫穿整章和整套教材的數(shù)學(xué)思想遠(yuǎn)不止這些，希望同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)中能善于思考，善于總結(jié)，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ).

（作者單位：江蘇省淮安外國語學(xué)校）