有理數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法

許峰

同學(xué)們剛進(jìn)七年級就學(xué)習(xí)到有理數(shù)，擴(kuò)充了數(shù)系，開拓了自己的知識視野.有理數(shù)中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，所謂的數(shù)學(xué)思想，是指人們對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，它直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動，所謂的數(shù)學(xué)方法，是指某一數(shù)學(xué)活動的途徑、程序、手段，它具有過程性、層次性、可操作性等特點(diǎn). 數(shù)學(xué)思想方法是以具體數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，又高于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種指導(dǎo)思想和普遍適用的方法.

一、 數(shù)形結(jié)合思想

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休. ”“數(shù)”與“形”反映了事物兩個方面的屬性. 數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系. 數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.

例1 在數(shù)軸上，點(diǎn)A（表示整數(shù)a）在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B（表示整數(shù)b）在原點(diǎn)的右側(cè). 若a-b=2013，且AO=2BO，則a+b的值為_______.

【分析】根據(jù)已知條件可以得到a<0

解：如圖，a<0

a=-2b②，由①②，解得b=671，

∴a+b=-2b+b=-b=-671.

故答案是：-671.

【點(diǎn)評】教材引入數(shù)軸后，就為數(shù)形結(jié)合思想奠定了基礎(chǔ). 如有理數(shù)的大小比較、相反數(shù)和絕對值的幾何意義，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法可起到事半功倍的效果. 數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便能迎刃而解，且解法簡捷.

二、 歸納思想

所謂歸納推理，就是根據(jù)一類事物的部分對象具有的某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理（簡稱“歸納”）. 歸納是從特殊到一般的過程，它屬于合情推理.

例2 觀察下列按順序排列的等式：a1=1-，a2=-，a3=-，a4=-，…，試猜想第n個等式（n為正整數(shù)）：an=_______.

【分析】根據(jù)題意可知a1=1-，a2=-，a3=-，…，故an=-.

解：通過分析數(shù)據(jù)可知第n個等式為：an=-.

故答案為：-.

例3 下表中的數(shù)是按一定規(guī)律填寫的，表中a的值應(yīng)是_______.

【分析】根據(jù)第一行第3個數(shù)是前兩個數(shù)之和，進(jìn)而得出答案.

解：根據(jù)題意可得出：a=13+8=21.

故答案為：21.

三、 建模思想

數(shù)學(xué)模型指那些反映了特定問題或特定具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，是相應(yīng)系統(tǒng)中各變量及其相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá). 數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型來解決問題的方法. 數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法.

例4 郵遞員騎車從郵局出發(fā)，先向南騎行2 km到達(dá)A村，繼續(xù)向南騎行3 km到達(dá)B村，然后向北騎行9 km到達(dá)C村，最后回到郵局.

（1） 以郵局為原點(diǎn)，以向北方向?yàn)檎较?，? cm表示1 km，畫出數(shù)軸，并在該數(shù)軸上表示出A、B、C三個村莊的位置；

（2） C村離A村有多遠(yuǎn)？

（3） 郵遞員一共騎了多少千米？

【分析】本題通過建立數(shù)軸，幫助理解題意，C村與A村的距離一目了然，郵遞員的路程是無方向的，指OA+AB+BC+OC的長.

解：（1） 依題意得，數(shù)軸為：

（2） 依題意得：C點(diǎn)與A點(diǎn)的距離為：2+4=6（km）.

（3） 一共騎了18 km.

四、 算法思想

所謂算法思想，就是按照一定的步驟，一步一步地解決問題的程序化的思想.機(jī)械式地按照某種確定的步驟行事，通過一系列小的簡單計(jì)算操作完成復(fù)雜計(jì)算的過程，這就是 “算法”過程. 算法是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分，算法的意義決定了算法具有機(jī)械化和程序化的特點(diǎn)，算法的核心思想就是運(yùn)用程序化解決問題（正是由于算法這一特點(diǎn)，才使其理論在計(jì)算機(jī)上得到具體實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用）.新課程非常注重學(xué)生算法思想的培養(yǎng)，高中還將“算法初步”列為必修內(nèi)容，當(dāng)然，中小學(xué)數(shù)學(xué)算法與真正意義上的算法還有一定的區(qū)別，但算法思想指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)程序化訓(xùn)練有利于學(xué)生數(shù)學(xué)基本能力的培養(yǎng)，在中小學(xué)教材中，體現(xiàn)算法（解決問題的程序化）的知識點(diǎn)非常普遍.

例5 計(jì)算：

（1）

-÷

-+（-2）2×（-14）；

（2） -2-[15+（1-0.6÷3）×（-25）].

【分析】在做有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，嚴(yán)格注意運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，最后加減. 如果有括號，先進(jìn)行括號內(nèi)的運(yùn)算. 運(yùn)算律的合理運(yùn)用可以簡化運(yùn)算. 有多重括號時(shí)，要根據(jù)具體情況，從外到內(nèi)或從內(nèi)到外去掉括號. 乘法對加法和減法具有分配律，但除法對加法或減法不具有分配律.

解：（1）

-÷

-+（-2）2×（-14）

=

-×（-6）+4×（-14）

=×（-6）-×（-6）+（-56）

=-3+2-56

=-57；

（2） -2-[15+（1-0.6÷3）×（-25）]

=-2-[15+（1-0.2）×（-25）]

=-2-[15+0.8×（-25）]

=-2-[15-20]

=-2-（-5）

=3.

五、 符號化思想

符號化思想主要表現(xiàn)在以下兩方面：1. 用符號化的語言（包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號）來描述數(shù)學(xué)的內(nèi)容，這就是符號化思想. 2. 符號化思想主要指人們有意識地、普遍地運(yùn)用符號去表述研究的對象. 數(shù)學(xué)離不開符號，數(shù)學(xué)處處要用到符號. 英國著名數(shù)學(xué)家羅素說過：“什么是數(shù)學(xué)？ 數(shù)學(xué)就是符號加邏輯. ”

例6 一運(yùn)動員某次跳水的最高點(diǎn)離跳臺2 m，記作+2 m，則水面離跳臺10 m可以記作（ ）.

A. -10 m B. -12 m

C. +10 m D. +12 m

【分析】首先審清題意，明確“正”和“負(fù)”所表示的意義；再根據(jù)題意作答.

解：跳水的最高點(diǎn)離跳臺2 m，記作+2 m，則水面離跳臺10 m可以記作-10 m. 故選A.

例7 未來三年，國家將投入8 450億元用于緩解群眾“看病難、看病貴”的問題. 將8 450億元用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）.

A. 0.845×104億元

B. 8.45×103億元

C. 8.45×104億元

D. 84.5×102億元

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示為a×10n的形式，其中1≤a<10，n為整數(shù). 確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同. 當(dāng)原數(shù)絕對值>1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時(shí)，n是負(fù)數(shù).

解：將8 450億元用科學(xué)記數(shù)法表示為8.45×103億元. 故選B.

六、 分類討論思想

在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會有多種情況，對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合求解，這就是分類討論法. 分類討論是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想.

分類討論的一般步驟是：明確討論對象，確定對象的全體→確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行分類→逐步進(jìn)行討論，獲取階段性結(jié)果→歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論.

分類討論應(yīng)遵循的原則：分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏，不重復(fù)，分層次，不越級討論. 這一點(diǎn)，我們在學(xué)習(xí)有理數(shù)分類時(shí)可以體會到.

例8 已知x-1=2，求x.

【分析】根據(jù)絕對值的運(yùn)算法則可知，絕對值等于2的數(shù)有兩個，分別是+2或-2.

解：由題得：x-1=2，x=3，

或x-1=-2，x=-1，

所以x的值是-2或-1.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆外國語學(xué)校）