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    掌握好有理數(shù)的相關(guān)概念是學(xué)好初中數(shù)學(xué)的基石

    2015-09-10 07:22:44張強(qiáng)勝
    初中生世界·七年級(jí) 2015年10期
    關(guān)鍵詞:正數(shù)負(fù)數(shù)正整數(shù)

    張強(qiáng)勝

    概念一:正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念

    (1) 像3、1.5、584等大于0的數(shù),叫作正數(shù),在小學(xué)學(xué)過的數(shù),除0以外都是正數(shù),正數(shù)比0大.

    (2) 像-3、-1.5、-584等在正數(shù)前面加“-”(讀作負(fù))號(hào)的數(shù),叫作負(fù)數(shù). 負(fù)數(shù)比0小.

    (3) 0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù),0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界.

    【注意】①正數(shù)和負(fù)數(shù)是根據(jù)實(shí)際需要而產(chǎn)生的,隨著社會(huì)的發(fā)展,小學(xué)學(xué)過的自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)已不能滿足實(shí)際的需要,比如一些有相反意義的量:收入100元和支出100元、零上6 ℃和零下6 ℃等,它們不但意義相反,而且表示一定的數(shù)量,怎樣表示它們呢?我們把一種意義的量規(guī)定為正的,把另一種和它意義相反的量規(guī)定為負(fù)的,這樣就產(chǎn)生了正數(shù)和負(fù)數(shù).

    用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時(shí),哪種意義為正,是可以任意選擇的,但習(xí)慣地把“前進(jìn)、上升、收入、零上溫度”等規(guī)定為正,而把“后退、下降、支出、零下溫度”等規(guī)定為負(fù).

    ②為了強(qiáng)調(diào),正數(shù)前面有時(shí)也可以加上“+”(讀作正)號(hào).

    例如:3、1.5也可以寫作+3、+1.5.

    ③對(duì)于正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念,不能簡單理解為:帶“+”號(hào)的數(shù)是正數(shù),帶“-”號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù).

    例如:-a一定是負(fù)數(shù)嗎?答案是不一定,因?yàn)樽帜竌可以表示任意的數(shù).若a表示的是正數(shù)3,則-a是負(fù)數(shù)-3;若a表示的是0,則-a仍是0;當(dāng)a表示負(fù)數(shù)-2時(shí),-a就不是負(fù)數(shù)了(此時(shí)-a是正數(shù)2).

    【應(yīng)用】若把向北走7 km記為-7 km,則+10 km表示的含義是( ).

    A. 向北走10 km B. 向西走10 km

    C. 向東走10 km D. 向南走10 km

    【思路點(diǎn)撥】“正”和“負(fù)”相對(duì),-7 km表示向北走7 km,則+10 km表示向南走10 km.

    【答案】D.

    【總結(jié)】在一對(duì)具有相反意義的量中,若先規(guī)定一個(gè)為正,則另一個(gè)就用負(fù)表示;若先規(guī)定一個(gè)為負(fù),則另一個(gè)就用正表示.

    概念二:有理數(shù)和無理數(shù)的有關(guān)概念

    (1) 有理數(shù):我們把能夠?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)形式(m、n是整數(shù),n≠0)的數(shù)叫作有理數(shù).

    【注意】①“分?jǐn)?shù)形式”,整數(shù)也可以看作是分母為1的分?jǐn)?shù)形式,這時(shí)的分?jǐn)?shù)形式包括整數(shù).

    但是本節(jié)中的分?jǐn)?shù)不包括分母是1的分?jǐn)?shù).

    ②因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)與有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以互化,上述小數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)來表示,所以我們把有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都看作分?jǐn)?shù).

    ③“0”既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù),但“0”是整數(shù).

    ④整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù). 例如:1、2、3、0、-1、-2、-3等.

    ⑤分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù),例如: 0.6、-0.6等.

    (2) 無理數(shù):無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù).

    【注意】①無理數(shù)應(yīng)該滿足的條件:是小數(shù)、是不循環(huán)的、是無限的.

    ②小數(shù)的范圍大,小數(shù)中既有有理數(shù)也有無理數(shù),其中有限小數(shù)都是有理數(shù),而無限小數(shù)又分為兩類:其中循環(huán)的還是有理數(shù),不循環(huán)的才是無理數(shù).

    ③無理數(shù)常見形式:(1) 含有π,也就是3.141 592 6……這類的,只要和π有關(guān)系的基本上都是無理數(shù)(計(jì)算結(jié)果π不能消失). (2) 描述型的,如“面積是2的正方形的邊長”.(3) 構(gòu)造的無限不循環(huán)小數(shù):如0.101 001 000 100 001……,它有規(guī)律,但是這個(gè)規(guī)律是不循環(huán)的,每次都多一個(gè)0,它是無限不循環(huán)小數(shù),當(dāng)然是無理數(shù). 但是無限循環(huán)小數(shù)不是無理數(shù).

    (3) 有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)別:①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時(shí),有理數(shù)能寫成整數(shù)、有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù),比如4=4.0,=0.8,=0.333 33……. 而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù),比如1.414 213 562……. 根據(jù)這一點(diǎn),人們把無理數(shù)定義為無限不循環(huán)小數(shù).

    ②無理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式.

    【注意】有理數(shù)≠無理數(shù).

    【應(yīng)用】請(qǐng)把下列各數(shù)填入它所屬于的集合的大括號(hào)里. 1, 0.070 8, -700, -3.88, 0, 3.141 592 65.

    正整數(shù)集合:{ …}

    負(fù)整數(shù)集合:{ …}

    整數(shù)集合:{ …}

    正分?jǐn)?shù)集合:{ …}

    負(fù)分?jǐn)?shù)集合:{ …}

    分?jǐn)?shù)集合:{ …}

    【思路點(diǎn)撥】這種關(guān)于有理數(shù)的分類問題,關(guān)鍵是要掌握各種數(shù)的概念. 小學(xué)時(shí)所學(xué)的自然數(shù)就是正整數(shù)和零,進(jìn)入中學(xué),出現(xiàn)了負(fù)整數(shù),而整數(shù)的范圍就擴(kuò)大到了正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù). 有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式,因此,它們都是分?jǐn)?shù).

    【解析】正整數(shù):1;

    負(fù)整數(shù):-700;

    整數(shù):1,0,-700;

    正分?jǐn)?shù):0.070 8,3.141 592 65;

    負(fù)分?jǐn)?shù):-3.88;

    分?jǐn)?shù):0.070 8,3.141 592 65,-3.88.

    【總結(jié)升華】有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù),分?jǐn)?shù)包含有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù),但須注意的是,不是所有的小數(shù)都是分?jǐn)?shù),比如π等無限不循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù). 所以,我們也不能說小學(xué)學(xué)過的所有數(shù)都是有理數(shù),還有一部分?jǐn)?shù)是無理數(shù).

    概念三:數(shù)軸的概念

    (1) 規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫作數(shù)軸

    【注意】①數(shù)軸的定義包含三層含義:數(shù)軸是一條直線,可以向兩端無限延伸;數(shù)軸有三要素——原點(diǎn)、正方向、單位長度,三者缺一不可;原點(diǎn)的選定、正方向的取向、單位長度大小的確定,都是根據(jù)實(shí)際需要“規(guī)定”的(通常取向右為正方向).

    ②在確定單位長度時(shí),根據(jù)實(shí)際情況,有時(shí)也可以每隔兩個(gè)(或更多的)單位長度取一點(diǎn),從原點(diǎn)向右,依次表示為2,4,

    6,……;從原點(diǎn)向左,依次表示為-2,-4,-6,…….

    (2) 數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)、無理數(shù)的關(guān)系

    所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來,反過來,不能說數(shù)軸上所有的點(diǎn)都表示有理數(shù).

    【要點(diǎn)詮釋】正有理數(shù)可以用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示,負(fù)有理數(shù)可以用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示,零用原點(diǎn)表示.

    (3) 利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

    在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大. 正數(shù)都大于0;負(fù)數(shù)都小于0;正數(shù)大于一切負(fù)數(shù).

    【應(yīng)用】數(shù)軸上有一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是5.5,那么這個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)是_________.

    【思路點(diǎn)撥】到原點(diǎn)的距離等于5.5 的點(diǎn)既可以在原點(diǎn)左邊,也可以在原點(diǎn)右邊,因此這樣的點(diǎn)有兩個(gè).

    【解析】5.5或-5.5.

    【總結(jié)】與數(shù)軸相關(guān)的問題還有數(shù)軸的畫法以及借助數(shù)軸來比較有理數(shù)的大小.

    概念四:絕對(duì)值的概念

    (1) 絕對(duì)值的幾何定義:一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離,數(shù)a的絕對(duì)值記作a.

    (2) 絕對(duì)值的代數(shù)定義:一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身;一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);0的絕對(duì)值是0.

    概念五:相反數(shù)的概念

    (1) 相反數(shù)的幾何定義:在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩旁,到原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù),叫作互為相反數(shù).

    (2) 相反數(shù)的代數(shù)定義:只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)(除了符號(hào)不同以外完全相同),我們說其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù),0的相反數(shù)是0.

    【注意】①“只”字是說僅僅是符號(hào)不同,其他部分完全相同;②相反數(shù)是數(shù),不是量;③相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的.

    (3) 相反數(shù)的表示方法

    一般地,數(shù)a的相反數(shù)是-a. 這里a表示任意的一個(gè)數(shù),可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或者0.

    (4) 多重符號(hào)的化簡

    把多重符號(hào)化成單一符號(hào),如果是正號(hào),則可以省略不寫,實(shí)際上多重符號(hào)的化簡是由“-”的個(gè)數(shù)來定,若“-”的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí),化簡結(jié)果為正,如-{-[-(-4)]}=4;若“-”的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí),化簡結(jié)果為負(fù),如-{+[-(-4)]}=-4 .

    ①在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“+”號(hào),仍然與原數(shù)相同,如+5=5,+(-5)=-5.

    ②在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“-”號(hào),就成為原數(shù)的相反數(shù). 如-(-3)就是-3的相反數(shù),因此,-(-3)=3.

    (5) 兩個(gè)負(fù)數(shù)大小的比較

    因?yàn)閮蓚€(gè)負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系是:絕對(duì)值較大的負(fù)數(shù)一定在絕對(duì)值較小的負(fù)數(shù)的左邊,所以,兩個(gè)負(fù)數(shù),絕對(duì)值大的反而小. 比較兩個(gè)負(fù)數(shù)大小的方法是:①先分別求出這兩個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值;②比較這兩個(gè)絕對(duì)值的大小;③根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù),絕對(duì)值大的反而小”做出正確的判斷.

    (6) 有理數(shù)大小的比較法則

    正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù),兩個(gè)負(fù)數(shù),絕對(duì)值大的反而小.

    【應(yīng)用】(1) 數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為-3,那么與A相距1個(gè)單位長度的點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)是_________.

    (2) 3的相反數(shù)是_________,-3與_________互為相反數(shù).

    (3) -m的相反數(shù)是______,-m+1的相反數(shù)是______,m+1的相反數(shù)是________.

    (4) 0的相反數(shù)是_________.

    (5) 已知a=9,那么a的相反數(shù)是_______.已知a=-9,則a的相反數(shù)是_______.

    【思路點(diǎn)撥】(1) 代數(shù)意義:只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù),特別地,0的相反數(shù)是0. 相反數(shù)必須成對(duì)出現(xiàn),不能單獨(dú)存在. 例如+5和-5互為相反數(shù),或者說+5是-5的相反數(shù),-5是+5的相反數(shù),而單獨(dú)的一個(gè)數(shù)不能說是相反數(shù). 另外,定義中的“只有”指除符號(hào)以外,兩個(gè)數(shù)完全相同,注意應(yīng)與“只要符號(hào)不同”區(qū)分開. 例如,+3與-3互為相反數(shù),而+3與-2雖然符號(hào)不同,但它們不是相反數(shù).

    (2) 幾何意義:一對(duì)相反數(shù)在數(shù)軸上應(yīng)分別位于原點(diǎn)兩側(cè),并且到原點(diǎn)的距離相等. 這兩點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的.

    (3) 求任意一個(gè)數(shù)的相反數(shù),只要在這個(gè)數(shù)的前面添上“-”號(hào)即可. 一般地,數(shù)a的相反數(shù)是-a;這里以a表示任意一個(gè)數(shù),可以為正數(shù)、0、負(fù)數(shù),也可以是任意一個(gè)代數(shù)式. 注意-a不一定是負(fù)數(shù).

    【解析】(1) -4或-2;(2) -3,3;(3) m,-(-m+1),-(m+1);(4) 0;(5) -9, 9.

    【總結(jié)升華】求相反數(shù)時(shí),要緊緊抓住“只有符號(hào)不同”這一條件,即“符號(hào)不同而數(shù)字相同”的兩個(gè)數(shù).

    (作者單位:江蘇省連云港市贛榆外國語學(xué)校)

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