聚焦數(shù)形尋突破建立模型巧解題

張偉俊

一、 試題呈現(xiàn)

（2015·江蘇常州）如圖1，在⊙O的內接四邊形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，點C為弧BD的中點，則AC的長是________.

二、 解法探究

本題以圓為載體，隱含角平分線、等腰三角形等基本圖形.根據(jù)已知條件易得AC平分∠BAD，BC=DC，∠BCD=120°等結論.要求AC的長，很多同學感到束手無策，其主要原因在于無法應用已知條件實現(xiàn)角度、線段之間的相互轉化.

1. 巧借幾何直觀，聯(lián)想已有模型

【思路突破】根據(jù)“點C為弧BD的中點”可知：AC平分∠BAD，且BC=DC.由此可以聯(lián)想到：點C到AB、AD兩邊的距離相等，進而想到過點C分別向AB、AD邊作垂線，構造全等三角形和直角三角形解決問題.

【解題過程】如圖2，過點C分別向AB、AD邊作垂線，垂足分別為P、Q.

【模型建構】通過以上的探究，我們可以進一步提煉關于角平分線的一個幾何模型，即以角平分線上的一點為圓心畫圓與角的兩邊相交于四點的幾何模型.如圖3，AP平分∠MAN，C為AP上的一點，以C為圓心畫⊙C，分別交AM于點B、D，交AN于點E、F.連接CB、CD、CE、CF，過點C分別向AM、AN邊作垂線，垂足分別為G、H.由此可得：△ACG≌△ACH，△CBG≌△CDG≌△CEH≌△CFH，△ACB≌△ACE，△ACD≌△ACF. 上述的全等三角形你能證明嗎？由此你能得到哪些結論呢？

2. 抓住數(shù)量關系，建構幾何模型

【思路突破】根據(jù)“點C為弧BD的中點”可知BC=DC，由此想到：連接BD，形成等腰三角形BCD.又由“四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形”得到∠BCD=120°，從而可得到△BCD的三邊之比為1∶1∶.于是產(chǎn)生建立⊙O的內接四邊形ABCD的四條邊以及兩條對角線之間的數(shù)量關系的想法.

【解題過程】如圖4，連接BD交AC于點E.∵點C為弧BD的中點，∴弧BC=弧DC，

【模型建構】根據(jù)以上探究發(fā)現(xiàn)，圓內接四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.這個結論能否推廣到任意的圓內接四邊形呢？如圖6，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AB·CD+BC·AD=AC·BD還成立嗎？受到上述探究的啟發(fā)，我們嘗試借助三角形相似來解決.在AC上取一點E，使∠EDC=∠ADB.

由①+②得AB·CD+BC·AD=BD·CE+BD·AE=BD·（CE+AE）=AC·BD.從而說明在一般情況下“圓內接四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積”也是成立的.事實上，這個結論就是數(shù)學上著名的托勒密定理.

（作者單位：江蘇省常州市武進區(qū)湖塘實驗中學）