立足例題拓展提升學(xué)習(xí)能力

薛小霞

圓是平面幾何圖形中最完美的圖形，它既具有軸對稱性，又具有任意角度的旋轉(zhuǎn)對稱性.本章“對稱圖形——圓”就是在直線型圖形有關(guān)性質(zhì)和判定的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探索“最完美”曲線型圖形——圓的有關(guān)性質(zhì).下面就本章的兩個(gè)重點(diǎn)——圓周角定理以及直線與圓的位置關(guān)系作一定的例題拓展.

1. 圓周角、圓心角是本章中最基本、最常見的角.

圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半，同弧或等弧所對的圓周角相等.

例1 （2014·湖北宜昌）如圖1，點(diǎn)A、B、C、D都在⊙O上，AC、BD相交于點(diǎn)E，則與∠ABD相等的是（ ）.

A. ∠ACD B. ∠ADB

C. ∠AED D. ∠ACB

【解析】∵⊙O中，圓周角∠ABD所對弧是弧AD，而弧AD所對的圓周角還有∠ACD，∴選項(xiàng)A正確.

例2 （2013·江蘇無錫）如圖2，A、B、C是⊙O上的三點(diǎn)且∠ABC=70°，則∠AOC的度數(shù)是（ ）.

A. 35° B. 140°

C. 70° D. 70°或140°

【解析】∵⊙O中，∠ABC、∠AOC分別是弧AC所對的圓周角、圓心角，∴∠AOC=2∠ABC，∴選項(xiàng)B正確.

變式1 （2014·江西南昌）如圖3，A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，則∠B的度數(shù)為（ ）.

A. 40° B. 45° C. 50° D. 55°

【解析】∵⊙O中，圓周角∠B所對弧是弧AC，∴要用圓周角定理必須找弧AC所對的圓周角或圓心角，∴連接OC，則∠AOC就是弧AC所對的圓心角.

∵AO∥DC，∴∠ODC=∠AOD=70°，

∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC=70°，

∴∠DOC=40°，∴∠AOC=110°，

∴∠B=55°. ∴選項(xiàng)D正確.

【點(diǎn)評】以上三題考查圓周角定理，同學(xué)們要注意掌握同弧或等弧所對的圓周角相等且等于它所對弧上圓心角度數(shù)的一半.中考中圓周角定理經(jīng)常出現(xiàn)，但單獨(dú)考查它的題目不多，大多隱含在其他知識點(diǎn)中.

變式2 （2013·湖南張家界）如圖4，⊙O的直徑AB與弦CD垂直且∠BAC=40°，則∠BOD=________.

【解析】∵⊙O中，∠BAC是弧BC所對的圓周角，而∠BOD是弧BD所對的圓心角，由垂徑定理可得弧BC、弧BD是等弧，∴∠BOD=2∠BAC，∴∠BOD=80°.

變式練習(xí) （2014·內(nèi)蒙古赤峰）如圖5，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點(diǎn)，CD⊥AB，若∠DAB=65°，則∠BOC是（ ）.

A. 25° B. 50°

C. 130° D. 155°

變式3 （2013·江蘇南通）如圖6，Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，BC為直徑，AB=4，AC=3，D是弧AB的中點(diǎn)，CD與AB的交點(diǎn)為E，則CE∶DE等于（ ）.

A. 4 B. 3.5 C. 3 D. 2.5

【解析】Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，BC為直徑，AB=4，AC=3，可知Rt△ABC斜邊（⊙O的直徑）為5. D是弧AB的中點(diǎn)，可知“弧AD”、“弧BD”是等弧. 問題“CE∶DE”提醒我們要找含CE、DE在內(nèi)的相似三角形.

【點(diǎn)評】本章的知識覆蓋面較大，這就要同學(xué)們不僅能掌握圓的基本知識，還能綜合運(yùn)用圓與直線型圖形的知識解決相關(guān)問題.對于這一類綜合性比較強(qiáng)的數(shù)學(xué)問題，同學(xué)們要抓住已知條件進(jìn)行聯(lián)想，得到一些結(jié)論，同時(shí)也要把未知向已知轉(zhuǎn)化，這樣就能一步步突破.

2. 直線與圓的位置關(guān)系有3種.

設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則

直線與圓相交？圳0≤d

直線與圓相切？圳d=r，

直線與圓相離？圳d>r.

其中，相切是3種位置關(guān)系中最特殊的一種，下面就切線的性質(zhì)和判定作進(jìn)一步學(xué)習(xí)與拓展.

【解析】連接OA，∵PA是⊙O的切線，我們可得△OAP是直角三角形，由勾股定理得OA=10 cm，

∴⊙O的周長為2πr=20π，

∴選項(xiàng)C正確.

【點(diǎn)評】運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或說理的常見輔助線是連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題.

例4 如圖9，AD平分∠BAC，P是AD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，以P為圓心，PE長為半徑畫圓，請判斷AB與⊙P的位置關(guān)系并說明理由.

【解析】AB與⊙P相切.

例5 （2013·山東菏澤）如圖11，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線，交BA的延長線于點(diǎn)D，取CD的中點(diǎn)E，AE的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)P.試說明：AP是⊙O的切線.

【解析】如圖12，由于A在圓上，那么我們可以連接OA，說明∠OAP=90°，即OA⊥AP，則AP是⊙O的切線.

理由：連接AC、AO，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC=90°，∠CAD=90°，

∵在△ADC中，∠CAD=90°，E為CD的中點(diǎn)，

∴AE=CE，∴∠EAC=∠ECA，

∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，

∴∠EAC+∠OAC=∠ECA+∠OCA，即∠OAE=∠OCE.

∵CD是⊙O的切線，

∴OC⊥CD，即∠OCE=90°，

∴∠OAE=90°，即OA⊥AP且AP過半徑OA外端A，

∴AP是⊙O的切線.

【點(diǎn)評】例4、例5都是考查圓的切線，但思路完全不同.例5：已知直線和圓的交點(diǎn)A，則連接圓心和交點(diǎn)，說明“垂直”即可；例4：沒有直線和圓的交點(diǎn)，則要過圓心作此直線的垂線段，說明這條垂線段的長（即圓心到這條直線的距離d）等于這個(gè)圓的半徑r.

變式4 （2015·遼寧大連）如圖13，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB.過點(diǎn)D作AC的垂線，與AC的延長線相交于E，與AB的延長線相交于點(diǎn)F.試說明：EF與⊙O相切.

【解析】如圖14，由于點(diǎn)D在⊙O上，要說明EF與⊙O相切，只要連接OD，說明OD⊥EF即可.

變式練習(xí) （2015·江蘇泰州）如圖15，△ABC 中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，與CA的延長線相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.試說明：DF是⊙O的切線.

圓是中心對稱圖形、軸對稱圖形，圓還具有繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與它自身重合的性質(zhì).利用圓的這些性質(zhì)，可以得到本章很多的結(jié)論，本文重點(diǎn)研究了“圓周角定理”和“直線與圓的位置關(guān)系——相切”兩個(gè)重要的結(jié)論，同學(xué)們只有熟練掌握了這些基本的性質(zhì)，才能靈活運(yùn)用它們解決圓的性質(zhì)及其他知識的綜合題.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）