如何幫助學(xué)生明白數(shù)學(xué)道理

王昔寒

小學(xué)數(shù)學(xué)的許多知識，如果學(xué)生不明白道理，知識就需要記住并不斷地重復(fù)。相反，如果學(xué)生明白了其中的道理，知識就不需要一遍一遍地重復(fù)記憶。筆者的教學(xué)體會是：幫助學(xué)生明白知識中蘊含的道理，是一件十分重要的事。下面，筆者將結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)實踐來談如何幫助學(xué)生明白數(shù)學(xué)道理。

一、體驗生活原型：為什么多減要加？

浙教版教材二年級下冊第102頁“簡便計算”一課，編排的是加減運算中遇到接近整十、整百數(shù)時的簡便計算（見圖1）。教材借助圖書室領(lǐng)取借書證這一情境開展問題探討：1.兩人一共領(lǐng)走幾本借書證？2.聰聰領(lǐng)走198本后，還剩幾本？從而引出算式“198+96 ”“406-198”進行算法大討論。教材選取了校園圖書室這一學(xué)生身邊的場景，將數(shù)學(xué)問題生活化。但多退少補（即多減要加，多加要減）的算理在此情境中卻很難滲透和消化。能不能找到一個既貼近學(xué)生生活、又符合計算算理的生活原型來替換它，實現(xiàn)兩全其美的效果呢？

圖1

蹲下身體站在學(xué)生的高度換位思考、用心搜尋，每一個數(shù)學(xué)知識的背后，一定能找到一個與之對應(yīng)的原始生活模型，因為數(shù)學(xué)本身源自生活。

活動1：領(lǐng)本子

師：這段時間我們一直都在學(xué)習(xí)三位數(shù)的加、減法，算術(shù)本成了我們的好朋友。王老師發(fā)現(xiàn)，很多小朋友的算術(shù)本都快用完了，看樣子該到總務(wù)處領(lǐng)本子去了。

師：如果要給我們班的小朋友每人發(fā)2本算術(shù)本，請拿出草稿本算一下，我們班一共該領(lǐng)多少本算術(shù)本？

生：要領(lǐng)98本。

師：總務(wù)處還剩下這樣兩捆算術(shù)本（課件出示下圖），你準備到哪一捆中去領(lǐng)？為什么？怎樣領(lǐng)？

生：我會從第二捆中領(lǐng)，解開繩子拿出2本就行了。這樣最簡便，不用一本一本地數(shù)了。

師：你的意思是領(lǐng)100退2。（板書：領(lǐng)100退2）

生：是的。

師：如果還要給我們?nèi)?9名同學(xué)每人領(lǐng)4本小字本，那么根據(jù)計算，一共需要領(lǐng)196本。先來看看總務(wù)處小字本的情況（課件出示下圖），你又打算怎樣領(lǐng)呢？

生：領(lǐng)走兩捆100本的小字本，然后退回4本。

師：也就是領(lǐng)200退4是嗎？（板書：領(lǐng)200退4）

生：是的。

……

通過“如何領(lǐng)本子”這一活動的探討，喚醒了學(xué)生的生活記憶，這一記憶恰恰是本課簡便計算的算理。有了這種數(shù)學(xué)與生活的對應(yīng)，算理成了一種常理。課堂中唯一需要補足的就是將這一生活常理符號化、數(shù)學(xué)化。即轉(zhuǎn)“‘領(lǐng)100退2’‘領(lǐng)200退4’”為“‘+100-2’和‘+200-4’”，最后抽象成“多加的要減”。

活動2：算剩余

師：總務(wù)處的李老師把小字本整理了一下，每100本扎成一捆。大家一起來看看現(xiàn)在總務(wù)處還有幾本小字本。 （課件出示）

生：還有403本。

師：聽說二（5）班同學(xué)馬上要領(lǐng)走196本。如果你是總務(wù)處的李老師，你準備怎么發(fā)這196本小字本？

生：先拿出兩捆，再從一捆中取回4本就行。

師：這種發(fā)本子的方法，如果用一個式子來表示，該怎么表示呢？

生：-200+4。

師：按照這樣的發(fā)法，那么剩下的本子就可以這樣來計算：

403-196

=403-200+4

=203+4

=207（本）

生：是的。

……

作業(yè)本問題，從領(lǐng)的角度看是“多加的要減”，從發(fā)的角度看卻是“多減的要加”?；顒又杏幸鈱W(xué)生的角色從“領(lǐng)本子的同學(xué)”轉(zhuǎn)換為“發(fā)本子的老師”，這一角色的轉(zhuǎn)換，促成了數(shù)學(xué)運算中加與減辯證關(guān)系的自然體驗，也實現(xiàn)了退與補算理的有效理解。

二、借助數(shù)軸分析：為什么是四舍五入？

北師大版教材五年級上冊中有“近似數(shù)”一課，了解近似數(shù)的產(chǎn)生、理解近似數(shù)的意義、學(xué)會近似數(shù)的取值是本課學(xué)習(xí)的三大重點。教學(xué)中，我組織學(xué)生從了解“本班人數(shù)”入手，隨后將統(tǒng)計范圍擴大到“全年級人數(shù)”“全校人數(shù)”“全區(qū)小學(xué)生人數(shù)”“全區(qū)學(xué)生人數(shù)”“全區(qū)人數(shù)”“全市人數(shù)”“全省人數(shù)”“全國人數(shù)”，將數(shù)的概念從“準確數(shù)”一步步向“近似數(shù)”逼近。在理解意義之后隨即展開探討：近似數(shù)是如何取值的？

“四舍五入法”是近似數(shù)取值的方法之一，“如果尾數(shù)最高位上的數(shù)比5小，就將尾數(shù)全部舍去，如果尾數(shù)最高位上的數(shù)是5或比5大，舍去尾數(shù)后要向前一位進1。”這一方法好記也好用，通常情況下，我們在介紹完四舍五入法之后便安排一定量的練習(xí)將這一技能加以鞏固。至于為什么要用四舍五入法來取值，往往成了近似數(shù)學(xué)習(xí)的“盲區(qū)”。

“知其然，更應(yīng)知其所以然”，理解方法產(chǎn)生的過程比運用方法更為重要。怎樣理解這“四舍五入”中的“所以然”呢？畫出線段圖，將各近似數(shù)對號入座，便能一目了然，看出其中的道理。

……

（一）推測

師：你們知道我們中國的總?cè)丝谑怯媚膫€近似數(shù)來表示的？

生：13億。

師：那你認為我們中國的總?cè)丝诳赡苁嵌嗌倌?？下面哪個數(shù)可以用來表示我國的總?cè)丝冢?/p>

14 3256 1785 ? ? 13 2367 8970 ? ? 12 9765 5645 ? ? 13 8740 7653 ? ? 12 1345 8903

生與同桌商議，逐一判斷。

（二）入圖

師：請將各數(shù)據(jù)填入線段圖中，觀察它們各自所處的位置，并討論：這個數(shù)更接近幾億？你剛才的判斷對了嗎？

生：將線段中的每一段再次平均分成10份，標出各數(shù)在線段上的相應(yīng)位置，并進行校對。

（三）判斷

師：下面這些數(shù)中，還有哪些數(shù)也接近13億？

13 1356 7651 ? ? ? ?12 1873 5543 ? ? ? ? 12 8321 0597

13 4999 9999 ? ? ? ?13 8399 7602 ? ? ? ? 12 6505 6781

12 7564 8892 ? ? ? ?13 3775 3824 ? ? ? ? 13 0563 8732

12 5000 0000

師：如果你對某個數(shù)的判斷有疑惑，可以將它填入線段圖中看一看。

生：將各數(shù)填入線段圖中逐一判斷。

（四）梳理

師：我們一起來觀察一下這些接近13億的數(shù)，從中你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：這些數(shù)都比12 5000 0000大，比13 5000 0000小。

師：12 5000 0000也是更接近13億的嗎？

生：不是，它的位置其實是在12億和13億的中點處，離12億和13億是一樣近的。

師：是的，數(shù)學(xué)上把這種正好處在等距離位置的數(shù)的取值規(guī)定為向較大數(shù)靠攏，即定它為接近13億。

師：你能用一個大括號將接近13億的數(shù)的范圍在線段圖上表示出來嗎？

生：畫出近似數(shù)13億的取值范圍。

（五）小結(jié)

師：在接近13億的所有數(shù)中，比12億大的這部分有什么特點？你能用一句話來概括嗎？比13億大的這部分呢？

生：……

師：如果你概括起來有困難，可以回頭看看我們所整理的這些數(shù)有什么特征。

師：綜合以上幾位同學(xué)的說法，我們是不是可以這樣來說：12億之后的尾數(shù)最高位是5、6、7、8、9的數(shù)，舍去尾數(shù)后要向億位進1，因為這些數(shù)更接近13億;13億之后的尾數(shù)最高位分別是0、1、2、3、4的數(shù)，舍去尾數(shù)后不用進1，它們的近似數(shù)仍然是13億。數(shù)學(xué)上把這種取近似數(shù)的方法叫作“四舍五入法”。

……

這個在線段圖上“畫理”的過程，將有助于學(xué)生在今后的取值判斷近似數(shù)時不再是對方法的機械套用，他們的頭腦中一定會將數(shù)及它在數(shù)直線中的位置建立形象的對應(yīng)，從而進行正確取值。

三、運用學(xué)具操作：為什么是長、寬、高相乘？

北師大版教材五年級下冊中有“長方體的體積”一課，大部分學(xué)生課前早就知道了長方體體積的計算方法，往往是上課伊始公式即出：長方體的體積=長×寬×高。至于為什么是“長×寬×高”的道理，往往被老師和同學(xué)所忽視，簡單機械地應(yīng)用公式去解決問題成了課堂的主題。這種速成的課堂，就如一碗方便面，雖然能填飽肚子，但卻少有營養(yǎng)價值。只有經(jīng)過精心烹煮的食材，才能散發(fā)誘人的香味。當(dāng)學(xué)生把計算公式脫口而出的那一剎那，就該即刻追問：為什么長方體的體積要用長×寬×高來計算？誰能說說其中的道理？顯然，其中的道理是很難說清楚的。特別是中后型的學(xué)生，空間想象的能力未必能跟上說理者的語言描述速度，得把道理依次清晰地擺出來。

師：為什么長方體的體積要用“長×寬×高”來計算？（生一臉茫然）

師：通過計算，這個長方體的體積是7×3×4=84立方厘米，這個84立方厘米也就是84個1立方厘米的小立方體組成的，你能用84個小立方體在白板上將這個長方體依次擺出來嗎？

生：可以。

師：大家能根據(jù)這個長方體圖，說說長方體的體積為什么要用“長×寬×高”來計算的道理嗎？

生1：長是7厘米，說明一行可以擺7個。

生2：寬是3厘米，說明底部一層可以擺3行。

師：那“長×寬”算出的結(jié)果表示的是什么？

生：底部一層可以擺的個數(shù)。

師：那接著為什么要乘高呢？

生：高是多少，就能擺幾層。

立體圖形的學(xué)習(xí)其實就是為了讓學(xué)生頭腦中對物體空間想象能力的達成，有了這樣一個擺的過程，長方體的體積計算原理就淋漓盡致地展現(xiàn)出來了，既說清了道理，又為空間能力的發(fā)展起到了指導(dǎo)作用。

作為滿腹經(jīng)綸的教師，面對嗷嗷待哺的學(xué)生兵團，數(shù)學(xué)中的很多理是說不清的，只有把理擺出來、畫出來、做出來，在事實、真相、經(jīng)驗面前，他們才能一一信服。那時，數(shù)學(xué)和生活也就融為一體。

（浙江省金華市環(huán)城小學(xué) ? 321000）