破繭成蝶

潘霞

課本的習(xí)題是整個教材的重要組成部分，是經(jīng)過專家們精心挑選的，具有針對性、基礎(chǔ)性和代表性.近年來，各地的中考數(shù)學(xué)試題蘊藏著習(xí)題影子，這對我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到了很好的導(dǎo)向作用.大家可以對習(xí)題進行充分探究，挖掘習(xí)題的潛在價值，通過少量習(xí)題的練習(xí)總結(jié)出解決一類題型的方法，提煉出解題策略和思想方法，從而啟發(fā)思維，提高解題能力.本文以書中一道習(xí)題為例，看看它是怎樣慢慢蛻變成一道中考題的.

一、 原題（蘇科版教材九下第86頁習(xí)題6.7）

如圖，某一時刻，旗桿AB的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墻上.設(shè)旗桿AB在地面上的影長BC為20 m，墻面上的影長CD為4 m.同一時刻，豎立于地面長1 m的標桿的影長為0.8 m，求旗桿的高度.

【分析】這是一個實際問題，首先要將問題中的立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形，旗桿看成線段AB，落在地上的影子看成線段BC，落在墻上的影子看成線段CD，太陽光線為AD，則本題轉(zhuǎn)化成四邊形ABCD.我們知道，在平行光線的照射下，在同一時刻，不同物體的物高與影長成比例.利用“平行投影的性質(zhì)”，我們可以解決一些實際問題.但是此題多了一堵墻，使得旗桿的影子部分落在墻上，“平行投影的性質(zhì)”不能直接應(yīng)用，我們可以轉(zhuǎn)化成沒有墻的情況，讓旗桿影子全部落在地上，再利用平行投影的性質(zhì)，問題便得以解決.如果沒有墻壁，影子會落在哪兒？我們嘗試著讓旗桿的影子“穿過”墻壁，作出圖形.

方法一：如圖1，分別延長AD、BC，相交于點E，根據(jù)題意，得： = ，

∴CE=0.8×4=3.2（m），

∴BE=BC+CE=20+3.2=23.2（m）.

由△ECD∽△EBA，得 = ，

∴AB= =29（m）.（也可以再次利用“平行投影的性質(zhì)”求出AB的長度）

【分析】當(dāng)然我們也可以先求出影子BC所對應(yīng)的旗桿長度，再利用平行四邊形的性質(zhì)得到剩余部分旗桿長，那么兩者之和即為旗桿高度.

方法二：過點C作CF∥DA，交AB于點F.

方法三：過點D作DG⊥AB，垂足為點G.（同學(xué)們可以自己完成解題過程）

【點評】三種方法有個共同點，都是想方設(shè)法往平行投影的基本圖形上轉(zhuǎn)化，要么根據(jù)物高找影長，要么根據(jù)影長求物高.

二、 蛻皮成蛹

變式：如果旗桿AB的影子恰好落在地面和一斜坡上，如圖2，此時測得地面上影長BC為16 m，坡面上的影長CD為4 m，已知斜坡與地面的夾角為45°，同一時刻，一根長為1 m的標桿影長為0.8 m，求旗桿的高度.

【分析】影子落在墻上的情況我們已經(jīng)會處理，落在坡上又該如何解呢？這道題目與我們的習(xí)題之間又可以進行怎樣的轉(zhuǎn)化呢？試想：如果我們能將落在斜坡的影子轉(zhuǎn)化成豎直的影子，那么問題便迎刃而解.沿著這個思路，我們將落在斜坡的影子CD放在等腰直角△CDE中，轉(zhuǎn)化成DE（如圖3），相當(dāng)于影子落在了墻上，巧妙地與習(xí)題產(chǎn)生了聯(lián)系.

解：如圖4，過點D作DE⊥BC，與BC的延長線相交于點E，過點D作DF⊥AB，

由題意易知Rt△AFD，等腰直角△CED，∠DCE=45°，DF=BE，BF=DE.

在Rt△CED中，設(shè)CE=x，則DE=x，

則根據(jù)勾股定理得：CE=DE=4（m），

∴FD=BE=BC+CE=16+4=20（m）.

由“平行投影的性質(zhì)”得：

= ，即 = ，

∴AF= =25（m），

∴AB=AF+FB=25+4=29（m）.

【點評】巧妙地利用轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題.

【試一試】如果我們把斜坡與地面的夾角為45°改成斜坡與地面的夾角為30°，聰明的同學(xué)，你能算出旗桿的高度嗎？

（參考答案：20+ +2 （m））

三、 破繭成蝶

（2015·浙江湖州模擬）如圖5，坡面CD的坡比（即坡面的垂直高度和水平高度之比）為1∶ ，坡頂?shù)钠降谺C上有一棵小樹AB，當(dāng)太陽光線與水平線夾角成60°時，測得小樹在坡頂平地上的樹影BC=3米，斜坡上的樹影CD= 米，則小樹AB的高是________.

【分析】根據(jù)題設(shè)條件，畫出與實際圖形相似的平面圖形，如圖6，類似于變式，遇到不能解決的問題時，我們總嘗試著將其與已經(jīng)解決的問題建立聯(lián)系，利用“平行投影的性質(zhì)”解決問題，要么根據(jù)物高找影長，要么根據(jù)影長求物高.在太陽光的照射下，小樹AB的頂端點A的影子落在點D處，畫出全部影長DF，DF對應(yīng)的物高應(yīng)該有AF那么高，再算出BF即CE的長，小樹的高度便可求出.

解：如圖7，由題意易知

Rt△AFD，Rt△CED，∠ADF=60°，F(xiàn)E=BC=3（米），BF=CE.

在Rt△CED中，設(shè)CE=x，

由坡面CD的坡比為1∶ ，得：

DE= x，

由勾股定理得：CE= （米），則DE= （米），∴FD=FE+ED=3+ = （米）.

在Rt△AFD中，∠ADF=60°，

則∠A=30°，∴AD=9（米），

根據(jù)勾股定理：AF= （米），

∴AB=4 （米）.

（你還有其它解法嗎？）

【點評】解決此類問題，首先通過理解題意，畫出符合題意的平面圖形，求樹高要找影長，但找影長并不是簡單的影長疊加，而應(yīng)把影子轉(zhuǎn)化到同一平面，轉(zhuǎn)化后借助勾股定理或特殊三角形求出影長，再利用“平行投影的性質(zhì)”求出相應(yīng)的物高.

四、 翩翩起舞

不知道同學(xué)們讀完前面內(nèi)容后有沒有受到啟發(fā)，接下來看你們的！

數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們想利用樹影測量樹高.課外活動時他們在陽光下測得一根長為1米的竹竿的影子是0.9米，但當(dāng)他們馬上測量樹高時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的臺階上，且影子的末端剛好落在最后一級臺階的上端C處.同學(xué)們認為繼續(xù)量也可以求出樹高，他們測得落在地面的影長為1.1米，臺階總的高度為1.0米，臺階水平總寬度為1.6米（每級臺階的寬度相同）.則樹高為________米.（假設(shè)兩次測量時太陽光線是平行的）

（參考答案：4米）

我們的思維成長猶如破繭成蝶，是一個漫長的蛻變過程，本文只是舉了一個微不足道的例子，只想用來引發(fā)同學(xué)們的思考，希望同學(xué)們能有所啟發(fā)，多對習(xí)題進行深度思考、挖掘，在做習(xí)題時要不斷總結(jié)，善于找到問題的共性，提煉出一類問題的解法，長此以往，思維成長，解題能力將會大大提高，面對復(fù)雜的問題便胸有成竹，猶如破繭后的蝴蝶翩翩起舞.

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)白塔中學(xué)）