盤點(diǎn)中考中的二次函數(shù)系數(shù)與圖像的關(guān)系

李建婷

二次函數(shù)是初中階段學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，在中考命題中，由二次函數(shù)的圖像確定其待定系數(shù)及系數(shù)組成的代數(shù)式的符號(hào)，或由二次函數(shù)的系數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)圖像等都是考試熱點(diǎn).命題常以客觀題形式出現(xiàn)，這類考題不僅能較為全面地考查同學(xué)們對(duì)知識(shí)的理解掌握情況，還考查同學(xué)們運(yùn)用知識(shí)分析問題解決問題的能力.

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與系數(shù)的關(guān)系：

（1） 開口方向：二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，a越大，開口越小.

（2） 對(duì)稱軸：一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置.當(dāng)a與b同號(hào)（即ab>0）時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a與b異號(hào)（即ab<0）時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè).簡(jiǎn)單說(shuō)：“左同右異”.

（3） 與y軸的關(guān)系：常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn).拋物線與y軸交于（0，c），當(dāng)c>0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在正半軸上；當(dāng)c<0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上；當(dāng)c=0時(shí)，拋物線恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn).

（4） 與x軸的關(guān)系：拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由Δ決定.當(dāng)Δ=b2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ=b2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn).

（5） 確定am2+bm+c的符號(hào)：關(guān)鍵是拋物線上橫坐標(biāo)為m的點(diǎn)P的位置情況.當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，am2+bm+c>0；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，am2+bm+c<0；當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，am2+bm+c=0.

一、 由二次函數(shù)的圖像考查系數(shù)及系數(shù)組成的代數(shù)式的符號(hào)

例1 （2015·廣東深圳）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1所示，下列說(shuō)法：①a>0；②b>0；③c<0；④b2-4ac>0，正確的個(gè)數(shù)是（ ）.

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

【解析】∵拋物線的開口向下，∴a<0，故說(shuō)法①錯(cuò)誤；

∵拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴- >0， 即b>0，故說(shuō)法②正確；

∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，∴c>0，故說(shuō)法③錯(cuò)誤；

∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2-4ac>0，故說(shuō)法④正確.

綜上所述，正確的說(shuō)法是②④.因此選B.

二、 由二次函數(shù)的圖像考查點(diǎn)與對(duì)稱軸的關(guān)系

例2 （2015·湖北恩施）如圖2是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像的一部分，圖像過(guò)點(diǎn)A（-3，0），對(duì)稱軸為直線x=-1，給出四個(gè)結(jié)論：①b2>4ac；②2a+b=0；③a+b+c>0；④若點(diǎn)B- ，y1、C- ，y2為函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，則y1

A. ②④ B. ①④

C. ①③ D. ②③

【解析】∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴b2-4ac>0，即b2>4ac，故①正確；

∵對(duì)稱軸為直線x=-1，

∴x=- =-1，

∴2a-b=0，故②錯(cuò)誤；

∵圖像過(guò)點(diǎn)A（-3，0），對(duì)稱軸為直線x=-1，

∴圖像與x軸的另一交點(diǎn)為（1，0），

即當(dāng)x=1時(shí)，y=0，

∴a+b+c=0，故③錯(cuò)誤；

由圖像可知：拋物線開口向下，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)有最大值，點(diǎn)B- ，y1、C- ，y2為函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)且C點(diǎn)距離對(duì)稱軸較近，∴y1

【點(diǎn)評(píng)】此題考查二次函數(shù)對(duì)稱軸的性質(zhì)，解答本題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)根的判別式，會(huì)利用對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理.

三、 由二次函數(shù)的圖像考查系數(shù)符號(hào)及其與二次方程之間的關(guān)系

例3 （2015·廣西南寧）如圖3，已知經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸是直線x=-1，下列結(jié)論中：①ab>0；②a+b+c>0；③當(dāng)-2

A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)

【解析】∵拋物線的開口向上，

∴a>0，

∵對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，

∴- <0，∴b>0，

∴ab>0，故①正確；

觀察圖像知：當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c>0，故②正確；

∵拋物線的對(duì)稱軸為x=-1，與x軸交于（0，0），∴另一個(gè)交點(diǎn)為（-2，0），

∴當(dāng)-2

因此選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖像與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱軸的范圍確定2a與b的符號(hào)，以及二次函數(shù)與二次方程之間的轉(zhuǎn)換.

四、 考查由二次函數(shù)的系數(shù)確定圖像中的定點(diǎn)

例4 （2014·甘肅白銀）二次函數(shù)y=x2+bx+c，若b+c=0，則它的圖像一定過(guò)點(diǎn)（ ）.

A. （-1，-1） B. （1，-1）

C. （-1，1） D. （1，1）

【解析】由b+c=0，得c=-b，代入二次函數(shù)，變形得y=x2+b（x-1），若圖像一定過(guò)某點(diǎn)，則與b無(wú)關(guān)，當(dāng)x=1時(shí)，二次函數(shù)為y=x2，與b無(wú)關(guān)，此時(shí)y=1，因此它的圖像一定過(guò)點(diǎn)（1，1）.選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，在這里求定點(diǎn)問題，應(yīng)把b當(dāng)作變量，令其系數(shù)為0進(jìn)行求解.

五、 考查由二次函數(shù)的系數(shù)符號(hào)確定相關(guān)的圖像

例5 （2015·遼寧錦州）在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+2與二次函數(shù)y=x2+a的圖像可能是（ ）.

【解析】根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式可得直線與y軸的交點(diǎn)為（0，2），拋物線的開口向上.

解法一：從解析式的系數(shù)入手：

①若a<0，拋物線的頂點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，直線經(jīng)過(guò)一、二、四象限；

②若a>0，拋物線的頂點(diǎn)在y軸正半軸上，直線經(jīng)過(guò)一、二、三象限.

因此選C.

解法二：從函數(shù)圖像入手：

選項(xiàng)B中的圖像拋物線開口向下，產(chǎn)生錯(cuò)誤，排除B；選項(xiàng)D中的圖像，直線與y軸交點(diǎn)在負(fù)半軸上，產(chǎn)生錯(cuò)誤，排除D；選項(xiàng)A中的圖像，因?yàn)橹本€上升，所以a>0，但是拋物線的頂點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，所以a<0，產(chǎn)生矛盾，排除A.

因此選C.

【點(diǎn)評(píng)】與二次函數(shù)相關(guān)的圖像的確定，一般采用以下兩種方法：（1） 從函數(shù)關(guān)系式入手，確定其中一個(gè)關(guān)系式系數(shù)符號(hào)，當(dāng)它的正負(fù)不確定時(shí)，要進(jìn)行分類討論，或逐一比較各個(gè)關(guān)系式中相同的系數(shù)，判斷其在同一坐標(biāo)系中是否矛盾；（2） 從圖像入手，依據(jù)在同一坐標(biāo)系中各個(gè)圖像的位置，判斷各個(gè)關(guān)系式中相同的系數(shù)符號(hào)是否矛盾.即由數(shù)找形或由形定數(shù).

六、 由圖表構(gòu)建圖像考查二次函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用

例6 （2014·山東泰安）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）中的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

下列結(jié)論：①ac<0；②當(dāng)x>1時(shí)，y的值隨x值的增大而減??；③3是方程ax2+（b-1）·x+c=0的一個(gè)根；④當(dāng)-10.其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）.

A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)

【解析】由圖表中數(shù)據(jù)描出圖像（如圖4），可得出：拋物線開口向下，∴a<0，

又x=0時(shí)，y=3，∴c=3>0，

∴ac<0，故①正確；

∵拋物線開口向下，且對(duì)稱軸為x= =1.5，∴當(dāng)x>1.5時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，故②錯(cuò)誤；

∵當(dāng)x=3時(shí)，y=3，∴9a+3b+c=3，

∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，

∴3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一個(gè)根，故③正確；

∵當(dāng)x=-1時(shí)，ax2+bx+c=-1，

∴當(dāng)x=-1時(shí)，ax2+（b-1）x+c=0，

∵當(dāng)x=3時(shí)，ax2+（b-1）x+c=0，且函數(shù)有最大值，

∴當(dāng)-10，故④正確.

因此選B.

【點(diǎn)評(píng)】數(shù)形結(jié)合是研究二次函數(shù)最常用的方法，把圖表信息轉(zhuǎn)化為圖像信息能更直觀地發(fā)現(xiàn)其所具有的性質(zhì)，更好地分析解決問題.

小試身手

1. 拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x=-1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（-3，0）和（-2，0）之間，其部分圖像如圖5，則下列結(jié)論：①4ac-b2<0；②2a-b=0；③a+b+c<0；④點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2）在拋物線上，若x1

A. 1個(gè) B. 2個(gè)

C. 3個(gè) D. 4個(gè)

2. 如圖6，拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是x=-1，且過(guò)點(diǎn) ，0，有下列結(jié)論：①abc>0；②a-2b+4c=0；③25a-10b+4c=0；④3b+2c>0；⑤a-b≥m（am-b）.其中所有正確的結(jié)論是________.（填寫正確結(jié)論的序號(hào)）

答案：

1. C 2. ①③⑤

（作者單位：江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校）