平移

司友軍

二次函數(shù)圖像與圖形變換關(guān)系是初中階段二次函數(shù)學(xué)習(xí)的重點內(nèi)容，也是難點內(nèi)容.學(xué)習(xí)研究二次函數(shù)離不開對其圖像的研究，我們采用從特殊到一般的探究方法，用描點法畫出二次函數(shù)y=ax2的圖像，分析得出所具有的性質(zhì)，再探究y=ax2+k圖像、y=a（x+h）2圖像，直到y(tǒng)=a（x+h）2+k圖像，理解它們的相互關(guān)系，最終得到二次函數(shù)y=a（x+h）2+k圖像和性質(zhì).這里我們探求的法寶就是平移.

一、 解讀

（一） 提出問題：（隨機(jī)舉例）

問題1：用描點法畫出二次函數(shù)y=2x2、y=2x2+1、y=2（x-1）2的圖像.

解：列表：

問題2：當(dāng)自變量x取同一數(shù)值時，相應(yīng)函數(shù)的函數(shù)值y1與y，y2與y之間有什么關(guān)系？反映在圖像上，相應(yīng)的兩個點之間的位置又有什么關(guān)系？

解：反映在圖像上，函數(shù)y=2x2+1的圖像上的點可以看成是將函數(shù)y=2x2的圖像上的對應(yīng)點向上平移一個單位得到的；函數(shù)y=2（x-1）2的圖像上的點可以看作是函數(shù)y=2x2的圖像上的點向右平移1個單位得到的.

問題3：二次函數(shù)y=2x2、y1=2x2+1、y2=2（x-1）2的圖像、開口方向、開口大小是否相同？

解：二次函數(shù)y1=2x2+1與y2=2（x-1）2的圖像都可以看成是y=2x2圖像平移得到的，因此它們的開口大小、開口方向完全相同.

（二） 歸納結(jié)論：

1. 圖像的平移規(guī)律

2. 二次函數(shù)y=a（x+h）2+k圖像可以看成是y=ax2圖像平移得到的，因此探求函數(shù)y=a（x+h）2+k的圖像性質(zhì)就從函數(shù)y=ax2圖像性質(zhì)中類比得到.

（三） 基本解題策略

“點動成線”，拋物線是由無數(shù)個點構(gòu)成的，所以拋物線平移過程中，圖像上的每一個點同時都在作相應(yīng)一致的平移，而拋物線上最特殊的點是頂點，因此在問題解答中，我們常常借助轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為頂點的平移，往往起到事半功倍的效果.

二、 典型例題

1. 拋物線的平移

例1 拋物線y=-x2+bx+c的圖像如圖1所示，若將其向左平移2個單位，再向下平移3個單位，則平移后的解析式為__________________.

【解析】由圖像可知，對稱軸為x=1，經(jīng)過點（3，0），

設(shè)y=-（x-1）2+h，把點（3，0）代入關(guān)系式，得h=4.

所以原圖像的解析式為y=-（x-1）2+4.

然后向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得y=-（x-1+2）2+4-3，即y=-x2-2x.

【點評】拋物線的平移關(guān)鍵是抓住頂點的平移，在確定函數(shù)解析式時一般采用頂點式，然后“左加右減，上加下減”.

2. 拋物線的逆向平移

例2 把二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得的圖像的解析式是y=x2-4x+5，則a+b+c=________.

【解析】拋物線y=ax2+bx+c先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到y(tǒng)=x2-4x+5，可以轉(zhuǎn)化為拋物線y=x2-4x+5先向左平移3個單位，再向上平移2個單位，得到y(tǒng)=ax2+bx+c.

由y=x2-4x+5=（x-2）2+1，向左平移3個單位，再向上平移2個單位，得到y(tǒng)=（x-2+3）2+1+2，即y=（x+1）2+3，即y=x2+2x+4，則a+b+c=7.

【點評】通常拋物線的逆向平移先轉(zhuǎn)化為正向平移，萬萬不可直接套用“左加右減，上加下減”.另外，二次函數(shù)的一般式經(jīng)過配方轉(zhuǎn)化為頂點式，頂點式轉(zhuǎn)化為一般式，同學(xué)們要能熟練掌握.

3. 坐標(biāo)軸的平移

例3 在平面直角坐標(biāo)系中，如果拋物線y=2x2不動，而把x軸、y軸分別向上、向右平移2個單位，那么在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式是（ ）.

A. y=2（x-2）2+2 B. y=2（x+2）2-2

C. y=2（x-2）2-2 D. y=2（x+2）2+2

【解析】把x軸、y軸分別向上、向右平移2個單位，相當(dāng)于把函數(shù)向下、向左平移2個單位，即y=2（x+2）2-2，因此選B.

【點評】根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的相對關(guān)系，將坐標(biāo)軸的平移轉(zhuǎn)化成我們熟悉的拋物線的平移，從而解決問題，這里體現(xiàn)了最基本的轉(zhuǎn)化思想.

4. 平移性質(zhì)的應(yīng)用

例4 如圖2，拋物線y=x2與直線y=x交于點A，沿直線y=x平移拋物線，使得平移后的拋物線頂點恰好為A點，則平移后拋物線的解析式是（ ）.

A. y=（x+1）2-1 B. y=（x+1）2+1

C. y=（x-1）2+1 D. y=（x-1）2-1

【解析】由y=x2，y=x，得出A點的坐標(biāo)是（1，1），所以平移后以A點為頂點的解析式為y=（x-1）2+1.因此選C.

【點評】平移不改變拋物線的開口方向和開口大小，所以平移前后二次函數(shù)的二次項系數(shù)相同.

5. 平移的簡單應(yīng)用

例5 已知拋物線與x軸交于點A（1，0），B（3，0）且過點C（0，-3）.

（1） 求拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)；

（2） 請你寫出一種平移的方法，使平移后拋物線的頂點落在直線y=-x上，并寫出平移后拋物線的解析式.

【解析】（1） ∵拋物線與x軸交于點A（1，0），B（3，0），可設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）（x-3），把C（0，-3）代入得3a=-3，解得a=-1，故拋物線解析式為y=-（x-1）（x-3），即y=-x2+4x-3，∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，∴頂點坐標(biāo)為（2，1）.

（2） 根據(jù)題意，平移后拋物線的頂點落在直線y=-x上任意一點即可，所以不妨取點（0，0）為其頂點，此時，拋物線的頂點就從點（2，1）平移到點（0，0），因此平移過程是：先向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到的拋物線的解析式為y=-x2.

【點評】①根據(jù)已知點坐標(biāo)的特點，利用待定系數(shù)法設(shè)交點式求函數(shù)關(guān)系式較為簡便.②這是一個開放性問題，頂點落在直線y=-x上即可，所以在解答時，盡可能選擇相對簡單的點來計算.

6. 拋物線與幾何變換

例6 在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，下列4個函數(shù)：①y=2（x+1）2-1，②y=2x2+3，③y=-2x2-1，④y= x2-1，其圖像不可能由函數(shù)y=2x2+1的圖像通過平移變換、軸對稱變換得到的函數(shù)是________.（填序號）

【解析】只有當(dāng)二次函數(shù)的二次項系數(shù)的絕對值相等時拋物線的形狀、大小才完全相同.在④中，y= x2-1二次項系數(shù)的絕對值不等于2，所以它的圖像不可能由函數(shù)y=2x2+1的圖像通過平移變換、軸對稱變換得到.因此填④.

【點評】二次函數(shù)的二次項系數(shù)的絕對值相等，則拋物線的形狀、大小相同，所對應(yīng)的拋物線一定可以通過平移變換或軸對稱變換或旋轉(zhuǎn)變換得到.

7. 平移的綜合應(yīng)用

例7 如圖4，點A，B的坐標(biāo)分別為（1， 4）和（4， 4），拋物線y=a（x-m）2+n的頂點在線段AB上運動，與x軸交于C、D兩點（C在D的左側(cè)），點C的橫坐標(biāo)最小值為-3，則點D的橫坐標(biāo)最大值為（ ）.

A. -3 B. 1 C. 5 D. 8

【解析】因為點C的最小值（-3，0）是拋物線在點A處獲得的，此時拋物線的對稱軸為直線x=1，所以點D的坐標(biāo)為（5，0），當(dāng)拋物線頂點由A點向右移動到B點時，共移動了3個單位，此時D點的坐標(biāo)就是（8，0）.

因此點D的橫坐標(biāo)最大值為8，選D.

【點評】拋物線平移，則拋物線上所有的點都在作相同的平移.

例8 （2015年·湖南岳陽）如圖5，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，頂點C的縱坐標(biāo)為-2，現(xiàn)將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線y=a1x2+b1x+c1，則下列結(jié)論：①b>0，②a-b+c<0，③陰影部分的面積為4，④若c=-1，則b2=4a，其中正確的是________.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

【解析】①∵拋物線開口向上，∴a>0，

又∵對稱軸為x=- >0，∴b<0，

∴結(jié)論①不正確；

②依據(jù)拋物線y=ax2+bx+c的圖像，可得x=-1時，y>0，即a-b+c>0，∴結(jié)論②不正確；

③陰影部分是一個平行四邊形，∵拋物線向右平移了2個單位，∴平行四邊形的底是2，又∵函數(shù)y=ax2+bx+c的最小值是y=-2，∴平行四邊形的高是2，∴陰影部分的面積是：2×2=4，∴結(jié)論③正確；

④∵函數(shù)的最小值是 =-2，又∵c=-1，∴b2=4a，∴結(jié)論④正確.

綜上，結(jié)論正確的是：③④.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，考查了二次函數(shù)的圖像與幾何變換綜合應(yīng)用，要熟練掌握.

小試身手

1. （2015·山東濟(jì)南）如圖6，拋物線y=

-2x2+8x-6與x軸交于點A、B，把拋物線在x軸及其上方的部分記作C1，將C1向右平移得C2，C2與x軸交于點B，D.若直線y=x+m與C1、C2共有3個不同的交點，則m的取值范圍是（ ）.

A. -2

C. -3

2. （2013·廣東佛山）如圖7（1），已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（0，3），B（3，0），C（4，3） .

（1） 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2） 求拋物線的頂點坐標(biāo)和對稱軸；

（3） 把拋物線向上平移，使得頂點落在x軸上，直接寫出兩條拋物線、對稱軸和y軸圍成的圖形的面積S（圖7（2）中陰影部分）.

答案：

1. D 2. （1） y=x2-4x+3；（2） （2，-1），直線x=2；（3）S=2.

（作者單位：江蘇省泗陽縣實驗初級中學(xué)）