“等可能條件下的概率”錯題歸因

徐永軍

概率問題在每年中考中都占有不可忽略的地位，但是不少同學在計算概率時常會犯一些錯誤，導(dǎo)致失分，令人痛心.下面就同學們在概率問題中出現(xiàn)的一些常見錯誤舉例加以分析.

易錯點1 對等可能性理解不透徹

例1 判斷下列各試驗的結(jié)果哪些具有等可能性.

（1） 拋擲一枚均勻的正方體骰子，面朝上的點數(shù)是奇數(shù)與面朝上的點數(shù)是偶數(shù)的結(jié)果；

（2） 拋擲一顆圖釘，頂尖朝上朝下的結(jié)果；

（3） 一只不透明的袋中裝有3個紅球和5個藍球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出一個球，出現(xiàn)紅球和藍球的結(jié)果.

【錯解】（1）（2）（3）的實驗結(jié)果都具有等可能性.

【正解】（1）的實驗結(jié)果具有等可能性，（2）（3）兩個實驗結(jié)果不具有等可能性.

【錯解辨析】拋擲一枚均勻的正方體骰子，面朝上的點數(shù)是奇數(shù)和偶數(shù)各有3種等可能的結(jié)果，所以試驗（1）的結(jié)果具有等可能性.因為圖釘不均勻，在拋擲中釘尖朝上朝下的機會不均等，所以試驗（2）的結(jié)果不具有等可能性.錯解認為拋擲的圖釘只有釘尖朝上或朝下兩種結(jié)果，所以試驗的結(jié)果具有等可能性.從一只裝有3個紅球和5個藍球的袋子中任意摸出一個球有8種等可能的結(jié)果，而從中摸出紅球和藍球的結(jié)果出現(xiàn)的機會不均等，所以這個試驗的結(jié)果不具有等可能性.錯解認為袋中有兩種顏色的球，所以摸到每種顏色的球的機會是均等的，所以這個試驗的結(jié)果具有等可能性.

易錯點2 求概率時忽略等可能的條件

例2 已知甲袋中有2個紅球，1個白球，乙袋中有1個紅球，1個白球，從甲、乙兩袋中各摸出一個球，摸出的兩個球都是紅球的概率是多少？（兩種球只有顏色不同）

【錯解】用樹狀圖列出所有可能的結(jié)果如圖1-1所示.從樹狀圖可以看出一共有4種等可能的結(jié)果，其中兩個球都是紅球的結(jié)果有1種，所以摸出的兩個球都是紅球的概率為 .

【正解】分別用白、紅1、紅2表示甲袋中的3個球，用樹狀圖列出所有可能的結(jié)果如圖1-2所示，從樹狀圖可以看出一共有6種等可能的結(jié)果，其中兩個球都是紅球的結(jié)果有2種，所以摸出的兩個球都是紅球的概率為 = .

【錯解辨析】甲袋中有2個紅球，1個白球，故摸出紅球和白球的可能性不相同.錯解認為只有兩種顏色的球，摸出紅球和白球的可能性相同，從而造成解題錯誤.應(yīng)將甲袋中的兩個紅球編號，編號為紅1，紅2，這樣摸出白球、紅球1、紅球2才是等可能的.利用表格或樹狀圖求概率直觀形象，但是有時由于考慮問題不全面，常會出現(xiàn)遺漏，造成解題錯誤，因此在列表或畫樹狀圖時，一定要全面考慮，將所有可能出現(xiàn)的結(jié)果都列出來，做到不重不漏.

易錯點3 審題不清

例3 不透明的口袋里裝有白、黃、藍三種顏色的乒乓球（除顏色外其余都相同），其中白球有2個，黃球有1個，現(xiàn)從中任意摸出一個是白球的概率為 .

（1） 試求袋中藍球的個數(shù)；

（2） 第一次任意摸一個球（不放回），第二次再摸一個球，請用畫樹狀圖或列表法，求兩次摸到的球都是白球的概率.

【錯解】（1） 設(shè)藍球有x個，

由題意得 = ，解之得x=1.

經(jīng)檢驗，x=1是原方程的解，所以藍球有1個.

（2） 畫樹狀圖如圖2-1所示.

故兩次摸到的球都是白球的概率= = .

【正解】（1） 設(shè)藍球有x個，

由題意得 = ，解之得x=1.

經(jīng)檢驗，x=1是原方程的解，所以藍球有1個.

（2） 畫樹狀圖如圖2-2所示.

故兩次摸到的球都是白球的概率= = .

【錯解辨析】題目中明確要求“第一次任意摸一球（不放回）”就意味著第二次不可能摸到第一次已摸出的球.所以認真審題是解題的關(guān)鍵，忽略任意一個小的細節(jié)都會帶來整個題目的錯解.

易錯點4 不能正確理解幾何概型

例4 如圖3所示是一個可以自由轉(zhuǎn)動的均勻轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被等分成4個扇形，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，計算轉(zhuǎn)盤停止后指針指向紅色區(qū)域的概率.（若指針指向分界線則重轉(zhuǎn)）

【錯解】由題意可知，紅色區(qū)域占一份，黃、白、綠色區(qū)域共占三份，所以P（指針指向紅色區(qū)域）= .

【正解】轉(zhuǎn)盤被等分成4個扇形，其中紅色扇形有1個，因為轉(zhuǎn)盤停止后指針指向每個扇形的可能性都相同，所以P（指針指向紅色區(qū)域）= .

【錯解辨析】錯解的原因是把幾何概型的意義理解成事件發(fā)生所占面積與所剩面積的比值.只有正確理解幾何概型的意義，才能正確利用幾何度量求概率.有時由于對幾何概型理解不透徹，易出現(xiàn)用某一事件發(fā)生所占線段的長度或圖形的面積與所剩長度或面積的比來求概率，從而造成解題錯誤.

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣實驗初級中學）