逆向思維與數(shù)學(xué)解題

劉丹丹

摘 要： 數(shù)學(xué)解題的過(guò)程即思維的過(guò)程，而逆向思維是數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要組成部分，也是進(jìn)行思維訓(xùn)練的載體.逆向思維通常包括逆轉(zhuǎn)運(yùn)算、逆轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)、逆轉(zhuǎn)主元、逆轉(zhuǎn)角度等，在數(shù)學(xué)解題中合理應(yīng)用逆向思維，往往能夠突破常規(guī)的束縛，產(chǎn)生出奇制勝的效果.

關(guān)鍵詞： 逆向思維 數(shù)學(xué)解題 思維

逆向思維是指與常規(guī)正向思維方向相反的思維過(guò)程，即通常所說(shuō)的“倒著想”或“反過(guò)來(lái)想一想”，是一種創(chuàng)造性的思維方式，體現(xiàn)了思維的靈活性、敏捷性.

1.逆轉(zhuǎn)運(yùn)算，提高解題技巧

數(shù)學(xué)中有眾多定理、公式，并且形式多樣，若能對(duì)其作恰當(dāng)?shù)淖冃位蚰嬗霉降饶孓D(zhuǎn)運(yùn)算，則不僅有利于深入領(lǐng)會(huì)知識(shí)，而且能達(dá)到解題靈活、迅速，提高解題技巧的目的.

2.逆轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)，尋找解題方法

數(shù)學(xué)解題中，有些題目結(jié)構(gòu)甚為復(fù)雜，直接求解很難（解題繁瑣、思路難覓、解題很慢），倘若作逆向思考，可運(yùn)用關(guān)系映射和反演對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行逆轉(zhuǎn)，從問(wèn)題結(jié)構(gòu)的調(diào)整、簡(jiǎn)單化中去打開思路，尋找到解決問(wèn)題的方法，從而使解題過(guò)程化繁為簡(jiǎn)，化難為易，變慢為快.

3.逆轉(zhuǎn)主元，探索解題途徑

數(shù)學(xué)中部分問(wèn)題構(gòu)思巧妙，若按常規(guī)思路，思考集中在某些顯然的“主元”上，往往陷入僵局.這時(shí)不妨調(diào)換“主”與“客”的地位，即變“主元”為“客元”，“客元”為“主元”，往往能取得不錯(cuò)的效果.

4.逆轉(zhuǎn)角度，另辟解題捷徑

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，說(shuō)明從不同角度出發(fā)，看到的事物就不同.同理，在數(shù)學(xué)解題中，也不能局限于單方面考慮問(wèn)題，多方面、多角度分析才能認(rèn)清問(wèn)題的本源，開辟新的解題捷徑.尤其是人們思維的習(xí)慣大多是正面的、順向的，而部分題目順向難以認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)，此時(shí)不妨逆轉(zhuǎn)思考的角度，轉(zhuǎn)換思維的切入點(diǎn)，也許會(huì)柳暗花明，收獲意外的驚喜.

例6：整數(shù)1，2，…，n的排列滿足：每個(gè)數(shù)大于它之前的所有的數(shù)或者小于它之前的所有的數(shù).試問(wèn)有多少個(gè)這樣的排列？（1989年加拿大競(jìng)賽題）

對(duì)比上述兩種解法，雖順向思維也可解答該題，但轉(zhuǎn)變分析的角度后，能更清晰地反映問(wèn)題的本質(zhì)，即序列長(zhǎng)度每增加1排列個(gè)數(shù)就變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，也充分挖掘了題目中所滲透的遞歸思想，而這恰恰是順向思維缺失的.多角度分析問(wèn)題，在解題的同時(shí)達(dá)到鍛煉思維的目的，不僅有利于今后的數(shù)學(xué)解題，還能培養(yǎng)計(jì)算機(jī)編程中所需的思維方法.

波利亞說(shuō)：“解題的成功靠正確的思路選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘.”逆向思維與數(shù)學(xué)解題關(guān)系密切，當(dāng)順向思維面臨困境甚至是絕境時(shí)，逆向思維往往出奇制勝，別開生面.正確而巧妙地利用逆向思維，常常使人茅塞頓開，突破思維定勢(shì)，探測(cè)某些問(wèn)題的解題方向，找到解題捷徑，使思維進(jìn)入新的境界.

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