例談高中生物學(xué)中“表達(dá)式數(shù)學(xué)模型”的構(gòu)建與分析

羅雪飛

摘 要 通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行分析與應(yīng)用，有助于提高學(xué)生對圖表等數(shù)學(xué)形式的分析能力，促進(jìn)學(xué)生知識的綜合與深化。

關(guān)鍵詞 模型構(gòu)建 表達(dá)式數(shù)學(xué)模型 指數(shù)增長

中圖分類號 G633.91 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 B

表達(dá)式數(shù)學(xué)模型最典型的例子是浙科版必修三“種群的增長方式”中“指數(shù)增長”這一內(nèi)容的模型教學(xué)。通過“種群的特征”一節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生知道出生率和死亡率直接決定種群個體數(shù)量大小，年齡結(jié)構(gòu)（指各個年齡組個體數(shù)量在種群中所占的比例關(guān)系）預(yù)測未來種群個體數(shù)量，性別比率對種群個體數(shù)量有一定的影響，那么種群數(shù)量在怎樣的條件下會出現(xiàn)指數(shù)增長呢？

1 構(gòu)建表達(dá)式

教師播放細(xì)菌分裂的錄像或演示細(xì)菌分裂的計算機(jī)模擬動畫，學(xué)生基于已有的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行演算。教師提示：在自然界中細(xì)菌無處不在，某些細(xì)菌的大量繁殖會導(dǎo)致疾病。假如現(xiàn)有一種細(xì)菌，在適宜的溫度、濕度等環(huán)境下，每20 min左右分裂繁殖一代。引導(dǎo)學(xué)生思考：細(xì)菌的繁殖方式是怎樣的？72 h后，由一個細(xì)菌分裂產(chǎn)生的后代數(shù)量是多少？n代后細(xì)菌數(shù)量是多少？

細(xì)菌的繁殖方式為二分裂。細(xì)菌每20 min分裂繁殖一代，72 h后將由1個細(xì)菌變成2216個，n代細(xì)菌數(shù)量為2n個。

以上種群是個例，其他生物種群的起始數(shù)量不一定是1，下一代也不一定是上一代的2倍，而且繁殖周期通常要長，那么，如何建構(gòu)適用于更多種群的一般表達(dá)式？

教師給出任務(wù)：已知食物、空間充足，某種群的起始數(shù)量為N0，t為時間，Nt表示t年后該種群的數(shù)量。假設(shè)種群數(shù)量每年以一定的倍數(shù)增長，第二年是第一年的λ倍。你能建構(gòu)出這個種群增長的數(shù)學(xué)表達(dá)式嗎？請試試看吧。

Nt=N0λt。

N0為起始數(shù)量，t為時間，Nt表示t年后人口的數(shù)量，λ為年均增長倍數(shù)。

2 表達(dá)式成立的條件

種群數(shù)量的增長受多種因素的影響。氣候是對種群影響最強(qiáng)烈的外源性因素，特別是極端的溫度和濕度。如連續(xù)幾天的38℃高溫?？梢砸鹧料x種群數(shù)量的急劇下降。食物不足時，種群內(nèi)部會發(fā)生激烈斗爭，使很多個體不能存活或不能生殖。病原物和寄生物的致病力和傳播速度是隨著種群密度的增加而增加的。種群密度越大，移殖增長的作用也越強(qiáng)，對種群數(shù)量調(diào)節(jié)起著重要作用。動物的領(lǐng)域行為對種群密度也具有明顯的調(diào)節(jié)作用。嚙齒動物在種群密度過大時，會引起雌鼠排卵功能減退，容易流產(chǎn)，母鼠泌乳過程受到抑制，對仔鼠照顧不良、行為反常、好斗等。這些生理變化會使鼠的生殖力下降、死亡率增加和遷出率上升，因而導(dǎo)致種群數(shù)量迅速下降。種群數(shù)量增長要符合上述表達(dá)式模型，必須是在資源無限、空間無限和不受其他生物制約的理想條件下。

3 模型的分析

在上述理想條件下，種群會呈指數(shù)增長。指數(shù)增長的特點(diǎn)是：起始增長很慢，但隨著種群基數(shù)的加大，增長會越來越快，每單位時間都按種群的一定百分?jǐn)?shù)或倍數(shù)增長，其增長勢頭強(qiáng)大。將表達(dá)式數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為曲線型數(shù)學(xué)模型將有利于對模型的分析。

以橫坐標(biāo)為時間，縱坐標(biāo)為種群數(shù)量，指數(shù)增長曲線很像英文字母J，又稱“J”形增長曲線，如圖1所示。

種群增長速率=（現(xiàn)有個體數(shù)-原有個體數(shù)）/增長時間（有單位，如個/年）。

種群增長率=（現(xiàn)有個體數(shù)-原有個體數(shù)）/原有個體數(shù)×100（無單位）。

指數(shù)增長的種群增長速率、增長率分別如何變化？

以上述表達(dá)式為例：

Nt=N0λt

N0為起始數(shù)量，t為時間，Nt表示t年后人口的數(shù)量，λ為年均增長倍數(shù)。

種群年增長速率=Nt—Nt-1=N0λt-N0λt-1=N0λt-1（λ-1）

種群年增長率=（Nt—Nt-1）/Nt-1=（N0λt-N0λt-1）/ N0λt-1=（λ-1）

如果把以上表達(dá)式轉(zhuǎn)化成曲線圖，則可以更直觀地感受到種群指數(shù)增長的特點(diǎn)，如圖2所示。

4 模型的應(yīng)用

生態(tài)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，東方田鼠種群遷入初期種群數(shù)量很少，一個月內(nèi)隨著水稻和蘆葦?shù)茸魑锓N植面積的不斷擴(kuò)大而迅速增長。為研究東方田鼠的種群數(shù)量的變化規(guī)律，生態(tài)學(xué)家構(gòu)建了表達(dá)式數(shù)學(xué)模型：Nt=N0λt，該數(shù)學(xué)表達(dá)式成立的前提條件是什么？從環(huán)境容納量的角度思考，提出兩項(xiàng)控制東方田鼠數(shù)量的有效措施。

題中的情況應(yīng)該屬于物種入侵，典型的J型增長曲線，那么相對應(yīng)的假設(shè)就是東方田鼠生存的空間和食物是足夠的，且當(dāng)?shù)氐臍夂蜻m宜，缺少天敵。第二問也就迎刃而解了。

高中生物學(xué)教材中，這種表達(dá)式數(shù)學(xué)模型涉及到的知識點(diǎn)有很多。脫氧核苷酸序列與遺傳信息的多樣性，堿基與氨基酸對應(yīng)關(guān)系，調(diào)查人群中的遺傳病，用數(shù)學(xué)方法討論基因頻率的變化，探究自然選擇對種群基因頻率的影響等。教師把數(shù)學(xué)的思維引入到生物學(xué)科，不僅能讓學(xué)生感受到生物學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)，也能讓學(xué)生感受到不同學(xué)科知識時間的交叉與融合。

不難想象，地球上哪怕有一種生物按指數(shù)增長無限增長下去，這種生物最終就會把其他生物從地球上排擠掉，同時自己也走向毀滅。即使在有限時間內(nèi)實(shí)現(xiàn)指數(shù)增長也常常會造成種群“爆炸”或“害蟲猖獗”的毀滅性后果。