基于同構(gòu)的觀(guān)點(diǎn)看復(fù)數(shù)與矩陣

陳俊斌

同構(gòu)是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念，若兩代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)，則其上的對(duì)象會(huì)有相同的屬性和性質(zhì)，對(duì)某個(gè)系統(tǒng)成立的命題在另一個(gè)系統(tǒng)上也就成立.因此，如果在某個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)了一個(gè)對(duì)象結(jié)構(gòu)同構(gòu)于某個(gè)結(jié)構(gòu)，且對(duì)于該系統(tǒng)已經(jīng)得到許多結(jié)論，那么這些結(jié)論就可以應(yīng)用到另一領(lǐng)域.

高中數(shù)學(xué)新課程選修系列中增加了“矩陣與變換”的內(nèi)容，本文將證明復(fù)數(shù)系統(tǒng)與某類(lèi)矩陣系統(tǒng)同構(gòu)，從而可以從矩陣與變換的觀(guān)點(diǎn)看復(fù)數(shù)，另外，把矩陣與變換的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成學(xué)生熟悉的復(fù)數(shù)問(wèn)題，再?gòu)膹?fù)數(shù)的某些運(yùn)算性質(zhì)猜測(cè)相應(yīng)的矩陣與行列式運(yùn)算性質(zhì)，還可從復(fù)數(shù)的分類(lèi)看該類(lèi)矩陣結(jié)構(gòu)中矩陣的分類(lèi)，旨在提供矩陣方面與復(fù)數(shù)的一種視角，同時(shí)也能加強(qiáng)這兩部分知識(shí)間的聯(lián)系.

1.3兩代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)

2.從矩陣與變換的觀(guān)點(diǎn)看復(fù)數(shù)

高中數(shù)學(xué)新課程選修系列中矩陣與變換知識(shí)的出現(xiàn)，使相關(guān)知識(shí)逐漸為人們所熟悉.而在復(fù)數(shù)的教學(xué)實(shí)踐中，虛數(shù)單位的理解是個(gè)難點(diǎn)，因此，從矩陣也變換的觀(guān)點(diǎn)看復(fù)數(shù)，既能加強(qiáng)這兩部分知識(shí)的聯(lián)系，又能加深學(xué)生對(duì)虛數(shù)單位數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

4.共軛復(fù)數(shù)運(yùn)算與矩陣行列式運(yùn)算

合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)等推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程.在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng).由于矩陣與復(fù)數(shù)系統(tǒng)的同構(gòu)，使得它們具體相似的性質(zhì)，因此可以采用類(lèi)比的方法推測(cè)它們可能具有的性質(zhì).

5.從復(fù)數(shù)分類(lèi)看部分矩陣的分類(lèi)

對(duì)任一a+bi∈C■，根據(jù)a、b的不同取值情況，可將復(fù)數(shù)分為四大類(lèi)：①零（a=0，b=0）；②非零實(shí)數(shù)（a≠0，b=0）；③純虛數(shù)（a=0，b≠0）；④非實(shí)數(shù)且非純虛數(shù)（a≠0，b≠0）.由對(duì)應(yīng)法則（Ⅰ）有，上述四類(lèi)復(fù)數(shù)分別對(duì)于矩陣0 00 0，a 00 a，0 -bb 0，a -bb a（a≠0，b≠0），亦即我們也可將C■中矩陣細(xì)分為上述四大類(lèi)，而由矩陣知識(shí)我們可知四大類(lèi)分別為零矩陣、對(duì)稱(chēng)矩陣、反對(duì)稱(chēng)矩陣、“第四類(lèi)矩陣”（a≠0，b≠0）（指C■中除前三類(lèi)外的）.事實(shí)上，對(duì)任一方陣A，我們有A=B+C，其中B為對(duì)稱(chēng)矩陣，C為反對(duì)稱(chēng)矩陣，對(duì)應(yīng)在C■中，即如下運(yùn)算：a -ba a=a 00 a+0 -bb 0.應(yīng)用對(duì)應(yīng)法則（Ⅰ）則可得，任一復(fù)數(shù)（非實(shí)數(shù)的）復(fù)數(shù)可唯一地表示為一個(gè)實(shí)數(shù)與一個(gè)純虛數(shù)的和.

數(shù)學(xué)中看似兩個(gè)不相關(guān)的領(lǐng)域——復(fù)數(shù)和矩陣，經(jīng)抽象概括后，可得到相同的數(shù)學(xué)理論，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的不同分支和不同內(nèi)容之間的聯(lián)系.應(yīng)用同構(gòu)的觀(guān)點(diǎn)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高解決問(wèn)題的能力.