代換法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

沈小芳

摘 要： 代換法就是利用靈活多變的方式，簡化復(fù)雜難題的典型性解題方法，在高中數(shù)學(xué)解題中靈活運(yùn)用代換法，可有效提高學(xué)生的解題效率和解題能力.

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué) 解題 代換法 應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中必須培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，利用某種方式簡化解題過程，幫助學(xué)生理解題意，分解題干，從而簡化難題.代換法又被稱為變量替換法，其應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)解題中，不僅能夠?qū)?fù)雜難度較大的題目化簡成為簡單的題目，而且對于提高學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生思維能力也具有重要的作用.

一、代換法概述

代換法是一種數(shù)學(xué)解題思路，在數(shù)學(xué)解題過程中有很多比較復(fù)雜的或者存在兩個(gè)及兩個(gè)以上未知條件的數(shù)學(xué)題，解題時(shí)根據(jù)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，適時(shí)地轉(zhuǎn)化題目中的數(shù)量關(guān)系，通過各個(gè)變量間條件轉(zhuǎn)換，把一種問題轉(zhuǎn)化為另一種問題，從而簡化整個(gè)解題過程.代換法的方法有很多，比如函數(shù)代換、等量及不等量代換、變量代換、三角函數(shù)代換，等等，在數(shù)學(xué)解題時(shí)，如果能靈活運(yùn)用代換法，則不僅能有效鍛煉學(xué)生的思維敏捷性，而且能有效提高學(xué)生的思維能力.下面就以實(shí)際的例子分析各種代換法在高中數(shù)學(xué)解題思路中的靈活應(yīng)用.

二、代換法在高中數(shù)學(xué)解題中的靈活應(yīng)用

1.三角代換的解題思路

2.變量代換解題方法

在高中數(shù)學(xué)中很多函數(shù)體都是在已知函數(shù)相關(guān)等式的前提下，求相關(guān)的函數(shù)值，如果函數(shù)值比較復(fù)雜時(shí)，學(xué)生往往會被題目復(fù)雜的表面所困，實(shí)際上解答此類問題可以用變量代替法簡化函數(shù)等式，使復(fù)雜的函數(shù)得到簡化，從而使學(xué)生輕而易舉地解出函數(shù)值，掌握解題思路，同時(shí)訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維能力.比如下面有一個(gè)不同的已知函數(shù)等式，我們就可以利用變量進(jìn)簡化的方式進(jìn)行解題，具體步驟如下.

已知函數(shù)值f′（1nx）=1-x，求f（x）的值.解這道題時(shí)首先可以假設(shè)t=1nx，然后把t代入已知函數(shù)中，即f′（t）=1-x，簡化到這一步，相比很多學(xué)生就會解這道題了.求出x的值，再將其帶入原等式中，最后就可以得出f（x）的值.

再如，已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，同時(shí)f（x-2）=-f（x），f（1）=-1.

請問：（1）請求證：f（x+2）=f（x-2）；

（2）請計(jì)算出f（2005）的值.

（1）解析：通過上述分析可以得知，因?yàn)閒（x-2）=-f（x），所以可以得知，f（x）=-f（x-2），然后可以采用變量代換法將x變換為x+2，代入f（x）=-f（x-2）中可以得到f（x+2）=-f（x），因此f（x+2）=f（x-2）.

（2）解析：通過（1）我們可以得知f（x+2）=f（x-2），然后由f（x+2）=f（x-2）可以采用代換法將x變換成為x-2代入其中，最后可以得到：f（x-2+2）=f（x-2-2），f（x）=f（x-4）.

因此f（2005）=f（2001）=…=f（1）=-1.

3.概率中等量代換的運(yùn)用

在高中數(shù)學(xué)中概率的學(xué)習(xí)對學(xué)生來說也是比較頭痛的事情，概率的學(xué)習(xí)需要學(xué)生具備較強(qiáng)的分析能力、概括能力及簡化步驟的能力.高中階段的概率問題一般是古典概型，這類題的解題過程主要求一次實(shí)驗(yàn)中所有可能的結(jié)果數(shù)目，以及某個(gè)事件所包含的結(jié)果數(shù)目，涉及的內(nèi)容一般為排列、組合知識.在解題過程中同樣要把復(fù)雜的問題簡單化，然后一步一步地解答.比如有這樣一道題：一個(gè)袋子中有8個(gè)紅球、4個(gè)白球，這些球除了顏色不同，其他都一樣.如果從袋子中任意拿出5個(gè)球，那么拿出紅球的概率為多少？

題中指出這些球除了顏色相同以外，其他沒什么區(qū)別，但是在解題過程中運(yùn)用了組合的形式，也就是說解題時(shí)把這些球是當(dāng)做區(qū)別來計(jì)算的，這樣算肯定是有一定道理的.我們先來看一個(gè)例子：某家商場進(jìn)行大型促銷活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則是，有一個(gè)盒子，里面放10個(gè)不同號碼的乒乓球，10個(gè)乒乓球中有8個(gè)白色，2個(gè)黃色，顧客可以一次摸2個(gè)球，如果摸出的兩個(gè)球都是黃色，就中了一等獎(jiǎng)，這里我們分析計(jì)算的是顧客參加活動(dòng)的一等獎(jiǎng)的概率有多大.

4.比值代換

三、結(jié)語

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，代換法是一種比較常用的解題方法，它不僅能簡化解題過程，而且能幫助學(xué)生的分析解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，靈活運(yùn)用多種不同形式的代換法能將復(fù)雜而繁瑣的數(shù)學(xué)題簡化計(jì)算，收到奇妙的效果，使學(xué)生不再畏懼?jǐn)?shù)學(xué)計(jì)算.因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一定要綜合運(yùn)用歸納、猜想、假設(shè)、數(shù)形結(jié)合及等量轉(zhuǎn)化等相關(guān)的數(shù)學(xué)方式解決疑難問題，簡化數(shù)學(xué)解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

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