化“斜”為“直”

楊石波

轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中應(yīng)用十分的廣泛，我們在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，從而使問題獲得解決，在解直角三角形時(shí)，許多問題中并不見直角三角形，而是通過構(gòu)造直角三角形，即化“斜”為“直”的方法，將問題轉(zhuǎn)化. 下面舉例予以說明.

例1 如圖1，在四邊形ABCD中，DC⊥BC，若AB=100，∠A=45°，∠ABD=75°，∠CBD=30°，求BC的長.

【分析】此題含有兩個(gè)三角形，其中一個(gè)不是直角三角形，可通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線（一般不破壞已知的特殊角），即過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，從而化“斜”為“直”，將條件集中到Rt△ABE中來解決.

解：過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，在Rt△ABE中，∠A=45°，AB=100，sin45°=，所以BE=100×sin45°=50，∠ABE=45°，∵∠ABD=75°，∴∠DBE=∠CBD=30°，又BD=BD，∴△BCD≌△BED，∴BC=BE=50.

例2 如圖2，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一點(diǎn)，且CD=3AD，求tan∠DBC的值.

【分析】要求的∠DBC在斜三角形中，而tan∠DBC的值不能從給定的直角三角形中得到，故需將其轉(zhuǎn)化到直角三角形中，作輔助線DE⊥BC，構(gòu)造Rt△DBE來求tan∠DBC的值.

在條件中沒有給出有關(guān)線段的長度，于是將已知條件中的CD=3AD中的AD用參數(shù)k來表示，并對其“設(shè)而不求”，這是一種常用的方法，這樣讓字母來參與運(yùn)算，應(yīng)用方便.

解：過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，并設(shè)AD=k，DC=3k，則AB=AC=4k，因?yàn)椤螦=90°，所以BC=AC=4k，又因?yàn)椤螩=45°，所以∠EDC=45°，DE=EC，在Rt△DEC中，sin45°=，所以DE=3k×sin45°=k，所以EC=DE=k，所以BE=BC-EC=4k-k=k，所以在Rt△DBE中，tan∠DBC==.

例3 已知，如圖3，某班數(shù)學(xué)興趣小組為了測量河兩岸建筑物AB和建筑物CD的水平距離AC，他們首先在A點(diǎn)處測得建筑物CD的頂部D點(diǎn)的仰角為25°，然后爬到建筑物AB的頂部B處測得建筑物CD的頂部D點(diǎn)的俯角為15°30′. 已知建筑物AB的高度為30米，求兩建筑物的水平距離AC. （精確到0.1米）

【分析】解題的關(guān)鍵是依據(jù)題意，通過作垂線構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，利用三角函數(shù)將有關(guān)數(shù)據(jù)有機(jī)地聯(lián)系起來.

解：如圖，過點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為H，設(shè)AC=x，

在Rt△ACD中，∠ACD=90°，∠DAC=25°，

所以CD=AC tan∠DAC=xtan25°，

在Rt△BDH中，∠BHD=90°.

∠BDH=15°30′，

所以BH=DHtan15°30′=AC tan15°30′=xtan15°30′，又因CD=AH，AH+HB=AB，

所以x（tan25°+tan15°30′）=30.

所以x=≈40.3（米）.

答：兩建筑物的水平距離AC為40.3米.

說明：解直角三角形的實(shí)際問題要注意兩個(gè)轉(zhuǎn)化：一是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，二是將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題. 此外掌握仰角、俯角的概念和一些特殊角的三角函數(shù)值也是解題的關(guān)鍵.

小試身手

要在寬為28 m的海堤公路的路邊安裝路燈. 路燈的燈臂長為3 m，且與燈柱成120°的角（如圖4所示），路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線與燈臂垂直. 當(dāng)燈罩的軸線通過公路路面的中線時(shí)，照明效果最理想. 問：應(yīng)設(shè)計(jì)多高的燈柱，才能取得最理想的照明效果？（精確到0. 01 m，≈1.732）

（作者單位：江蘇省泗洪縣第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）