高中數(shù)學(xué)關(guān)于探索型問題的幾點(diǎn)思考

劉同仁

摘 要： 高中數(shù)學(xué)中的探索型問題又叫開放型題，是新課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)背景下數(shù)學(xué)高考的熱點(diǎn)之一，所占比例呈逐年上升趨勢(shì)，這使此種題目受關(guān)注程度大幅提高.探索型問題因?yàn)闆]有完備的條件或者沒有確定結(jié)論，命題形式比較新穎，自由度較大，需要對(duì)題目里給出的各個(gè)信息認(rèn)真觀察、分析、概括、猜想，得出相應(yīng)的結(jié)論并給出正確的證明，解決這類問題，涉及的知識(shí)面廣，對(duì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題的能力有較高要求.本文針對(duì)這類題目給出了簡(jiǎn)要說明，不足之處，敬請(qǐng)各位指教.

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué) 探索型問題 解決方法

通常情況下，有些題目只有已知，然而無確定結(jié)果，有的無明確結(jié)論，要靠解題的人運(yùn)用查看、研究、總結(jié)出結(jié)果；又或知道了題目的確定結(jié)果，可是已知不充分或不知道，要靠探索人覓求充足的已知條件再給出合理解釋，這樣的題目被稱做開放型問題.已知不充分及沒有明確結(jié)果是這種題目的普遍特點(diǎn).探索型問題在數(shù)學(xué)高考試題里比重較大，而且呈現(xiàn)出上升的勢(shì)頭，使此種題目日益受到重視.因?yàn)樘剿髦兴碱}目自身的特點(diǎn)，解答這類題目，涉及的知識(shí)面廣泛，對(duì)考生通過數(shù)學(xué)思維方式考慮問題、處理問題的能力有較高需求.伴隨提高學(xué)生能力的思想在我國的大力推進(jìn)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)水平成為教學(xué)的重點(diǎn)，從而開放型題目就成為增強(qiáng)考生的開創(chuàng)意識(shí)，提升數(shù)學(xué)思想水平、理解題目及處理題目水平的理想題目.在考試?yán)锲毡榇嬖诘拈_放型題目，從出題特征的角度，可分為條件探索型、結(jié)果探索型、存在性探索型、完全探索型等，下面對(duì)這幾種題目分別作分析.

一、條件探索型問題

此種題目的特點(diǎn)就是對(duì)某個(gè)明確的結(jié)果來說，已知不確定需要研究，或者已知的增加或減少需要明確，抑或是需要確定已知是否正確.解答此種題目的方式就是從結(jié)果入手探尋已知，先找出使結(jié)果正確必須具備的前提，然后經(jīng)過驗(yàn)證尋求使結(jié)果正確的具有充分性的理由.這種探索型的問題，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常見，是深入開展探索型問題學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)高中生探究意識(shí)、創(chuàng)新能力的有效途徑與載體.

例1：若函數(shù)f（x）=αsin（-x）-bcos（x-），（ab≠0）為奇函數(shù)，（a，b）可以為（？搖？搖）.這道題目就是典型的條件探索型問題，它的結(jié)論明確即函數(shù)是奇函數(shù)，需要找出使得結(jié)論成立的充分條件，我們可以把題設(shè)和結(jié)論都看作已知條件，用演繹推理的方法找出題目需要的條件.

【解析】由奇函數(shù)的定義列出關(guān)系式，展開整理可得a=b，（ab≠0），因此有序數(shù)對(duì)可以是（1，1）（2，2）…只要滿足a=b，（ab≠0）的都是正確答案.由于奇函數(shù)的特殊性質(zhì)，這道題又能以賦值之方法處理，即f（0）=0.

本題主要運(yùn)用奇函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)和差角的正余弦公式，通過計(jì)算和驗(yàn)證，找出問題的答案，這就是條件探索型題目的常用解決方法.

二、結(jié)論探索型問題

這類題目的特點(diǎn)是已知確定但是無結(jié)果，或者是結(jié)果是否正確要求答題人判斷.處理此種題目的方式就是通過研究結(jié)果，然后對(duì)結(jié)果進(jìn)行證明.也就是解決問題時(shí)通常以特例情況為切入點(diǎn)，運(yùn)用查看、研究、整理、辨析等手段先猜想出一個(gè)結(jié)論，然后進(jìn)行普遍情況的研究和論證.

例2：已知函數(shù)f（x）=x++αlnx（x>0），（1）若f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，確定α的范圍；（2）如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上有意義，并且在該區(qū)間內(nèi)任取的兩個(gè)數(shù)x、x以下不等式[f（x）+f（x）]≥f（）都成立，就說函數(shù)y=f（x）是區(qū)間D上的“凹函數(shù)”.當(dāng)a≤0時(shí)，試分析f（x）是不是“凹函數(shù)”，就你的分析給出證明.這道題目就是結(jié)論探索型問題，它的條件很明確，給出了凹函數(shù)的定義，需要解題者探索結(jié)論，我們可以通過分析、計(jì)算、歸納，判斷等手段找出結(jié)論并加以證明.

【解析】（1）由題意可得，要使函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞增，必須使導(dǎo)函數(shù)大于零在指定區(qū)間恒成立，通過整理可以找出a要滿足的關(guān)系.a需大于其最大值，由單調(diào)性可知其最大值為零，所以a≥0；（2）證明：由題目中給出的已知條件及均值定理相關(guān)知識(shí)可以得出滿足凹函數(shù)定義的關(guān)系式，由題可得此函數(shù)是凹函數(shù).

這類結(jié)論探索型題目，需要解題者能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，從題目的情境中研究探索結(jié)論，對(duì)于培養(yǎng)高中生思維的靈活性大有裨益.

三、探究是否存在題型

這類題目的特點(diǎn)是以結(jié)果存在為前提，判斷尋求的結(jié)果存在與否.

例3：假設(shè)A是x=1上一動(dòng)點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)A且和x軸互相垂直，l與x軸的交點(diǎn)為D，M為直線l上一點(diǎn)，并且|DM|=m|DA|（m>0，且m≠1）.A點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為C.（1）求C的方程，指出C是哪類圓錐曲線，求焦點(diǎn)；（2）經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)并且斜率是k的直線和C相交于點(diǎn)P，Q，當(dāng)中點(diǎn)P位于第一象限，且在y軸的投影是點(diǎn)N，直線QN與C相交于H.能否有m，能對(duì)所有的k>0，全有PQ⊥PH？如果有，求出m；如果沒有，說出原因.這道題目要找m的值是否存在，我們可以先假設(shè)有這樣的m，然后通過一系列計(jì)算推理，得出要找的結(jié)論.

【解析】（1）根據(jù)題設(shè)分析關(guān)系，列出方程計(jì)算整理得到A點(diǎn)橫坐標(biāo)及縱坐標(biāo)的表達(dá)式，因?yàn)锳點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，把它代入單位圓方程可得要求C的方程得到點(diǎn)M所滿足關(guān)系式，從而根據(jù)所學(xué)知識(shí)對(duì)它的軌跡進(jìn)行具體描述.

（2）解法1：設(shè)出直線QN的斜截式方程，把它代入曲線C化簡(jiǎn)得出一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)題目找出這個(gè)方程的解，并根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系整理可得點(diǎn)H橫坐標(biāo).因?yàn)辄c(diǎn)H在直線QN上，所以列出關(guān)系式，得到對(duì)應(yīng)向量坐標(biāo)，再利用向量垂直數(shù)量積是0得到的值，所以存在m，能使在它相應(yīng)的圓錐曲線上，對(duì)所有的k>0，全有PQ⊥PH.

解法2：由于P，H這兩個(gè)點(diǎn)都在曲線C上，因此它們都滿足曲線方程.兩個(gè)式子相減可以得出坐標(biāo)間的關(guān)系式，根據(jù)題目已知條件，依據(jù)點(diǎn)P在第一象限可以得出，該點(diǎn)H也落于第一象限內(nèi)，而且P，H這兩個(gè)點(diǎn)并不重合，于是可得，再根據(jù)兩直線平行斜率相等，垂直斜率之積等于-1可以通過計(jì)算得出m的值，所以存在m，能使在它相應(yīng)的圓錐曲線x=1上，對(duì)所有的k>0，全有PQ⊥PH.

這道題目考點(diǎn)是求軌跡、直線和橢圓的相互位置及兩條直線互相垂直或兩個(gè)向量互相垂直的充分必要條件，這種存在性的問題，得出的結(jié)果有兩個(gè)可能性：假如具有存在性，要給出合理解釋；假如不具備存在性，找出相矛盾的例子解釋即可.

四、全開放探索型問題

條件和結(jié)論都不完備或都不確定的是全開放型問題，解決這種問題的方法也是開放型的，解題者對(duì)題目開展非常詳細(xì)具體的分析探索，才可以找出解答題目的方案.

例4：α、β為不重合的兩個(gè)平面，m、n為平面α和平面β以外的兩條不重合的直線，根據(jù)以下四個(gè)條件：①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α，拿其中的3個(gè)當(dāng)成已知條件，剩下的一個(gè)當(dāng)成問題的結(jié)果，找出正確的答案寫在橫線上.這道題提供了四個(gè)題設(shè)，題目讓當(dāng)中的3個(gè)作為已知，剩下的一個(gè)作為結(jié)果，我們可以采用列舉的方法找出所有可能性一一檢驗(yàn).

【解析】根據(jù)題目要求能夠得出全部四個(gè)命題，根據(jù)所學(xué)立體幾何知識(shí)可以得出，其中哪些是正確的，哪些是不正確的.只要寫出正確答案之一，此題就獲得了完美解答.

這道題的已知及結(jié)果均不確定，因此該題目是一個(gè)已知和結(jié)果都不確定的完全探索型問題，它可以構(gòu)成的命題不止一個(gè)，正確答案也不唯一，解題者只需找出一個(gè)符合題意的結(jié)論就可以.這種題目的處理方法也存在不確定因素.

探索型問題沒有完備的條件或確定的結(jié)論，它的這一特征決定了在解決這類問題時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)知知識(shí)的掌握，數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，以及創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維都有較高的要求.在解決這類題目時(shí)常用下列方法：直擊目標(biāo)；特殊值判斷；猜想證明；數(shù)形結(jié)合……要正確解決探索性問題，不僅需要在平時(shí)的學(xué)習(xí)中注重基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，還要注重方法的總結(jié)及能力的培養(yǎng).

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