壓縮映射原理在數(shù)列極限中的應(yīng)用

李紅英

摘 要： 壓縮映射原理是泛函分析中最基本的存在性定理.本文通過對考研中數(shù)列極限的典型例題的解析，歸納總結(jié)出適合壓縮映射原理求極限數(shù)列的一般形式，展示壓縮映射原理在解決遞推數(shù)學(xué)列極限中的優(yōu)越性.

關(guān)鍵詞： 壓縮映射原理 極限 遞推數(shù)列

壓縮映射原理是著名的波蘭數(shù)學(xué)家Stefan Banach在1922年提出的，它是整個分析科學(xué)中最常用的存在性理論，應(yīng)用非常廣泛，如隱函數(shù)存在性定理、微分方程解的存在唯一性.這里我們主要研究壓縮映射原理在數(shù)列極限中的應(yīng)用.許多參考資料都講過這個方面的應(yīng)用，如文獻(xiàn)[1-3].在前人的基礎(chǔ)上，筆者結(jié)合自己的教學(xué)體會，系統(tǒng)歸納總結(jié)了壓縮映射原理在一類遞推數(shù)列極限中的應(yīng)用，進(jìn)一步展示其優(yōu)越性.

1.基本概念和定理

為了結(jié)構(gòu)的完整和敘述的方便，我們給出文獻(xiàn)中的幾個概念和定理.

定義1.1設(shè)（X，ρ）為一個度量空間，T是X到X的映射，若存在0<α<1，使得？坌x，y∈X，有ρ（Tx，Ty）≤αρ（x，y），則稱T是X到X的一個壓縮映射.

定理1.2（壓縮映射原理）設(shè)（X，ρ）為一個完備的距離空間，T是X到X的一個壓縮映射，則T在X上存在唯一的不動點，即存在唯一的x∈X，使得Tx=x.

事實上，這兩個結(jié)果在一般的實數(shù)R上也成立，有如下結(jié)果.

2.應(yīng)用

類型一：直接應(yīng)用定理型

下面我們看一道競賽試題.

由于壓縮映射原理在許多教材中沒有給出，但其實用性很強(qiáng)，因此在教學(xué)過程可以補(bǔ)充給出，讓學(xué)有余力的學(xué)生自己查閱相關(guān)文獻(xiàn).這類題目常見于考研試題和競賽試題，只要出現(xiàn)迭代數(shù)列形式，就可以嘗試?yán)脡嚎s映射原理來考慮，問題的關(guān)鍵是確定函數(shù)是否為壓縮函數(shù)，同時一定要注意函數(shù)的定義域.我們可以把這類問題歸結(jié)為如下形式.

類型二：先轉(zhuǎn)化再應(yīng)用型

這類問題中雖然沒有明顯的迭代條件，但可以先考慮通常的方法，如單調(diào)有界定理、柯西收斂逐準(zhǔn)則及夾逼定理等，也可以嘗試往壓縮映射原理條件上去湊，或許有意外的收獲.以上幾個例子都是數(shù)列極限中常見的典型例題，但幾乎所有的教學(xué)參考書籍都沒有提及利用壓縮映射原理解決該問題，事實上，利用該方法解決上述例題更簡潔.數(shù)學(xué)分析中很多問題的解決都得益于把已知條件往解決方法原理的條件上“湊”，這種“湊”是一種技巧、策略，它是解決數(shù)學(xué)分析中問題的常見策略，初學(xué)者需要仔細(xì)體會.

數(shù)列極限的求解方法多種多樣，每種方法都有其條件要求和適用范圍，需要靈活運用.壓縮映射原理也不例外，在應(yīng)用是時一定要注意條件的驗證，同時要注意其使用范圍.

參考文獻(xiàn)：

[1]徐新亞，夏海峰.數(shù)學(xué)分析選講[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2008（8）：9-17.

[2]陳守信.數(shù)學(xué)分析選講[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2009（9）：1-8.

[3]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題和方法（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2006（4）：32-60.

[4]張恭慶，林源渠.泛函分析講義（上冊）[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006（12）：4-8.

基金項目：貴州省教育廳自然科學(xué)基金資助（黔教科2010086）。