一道2014年高考題的推廣

燕貴堂

摘 ? ?要： 本文對(duì)2014年江西高考理科20題進(jìn)行了推廣， 得到了圓錐曲線又一組和諧優(yōu)美的性質(zhì).

關(guān)鍵詞： 高考 ? ?圓錐曲線 ? ?切線性質(zhì) ? ?推廣

1.題目及解答

如圖，已知雙曲線C： -y =1（a>0）的右焦點(diǎn)F，點(diǎn)A，B分別在C的兩條漸近線上，AF⊥x軸，AB⊥OB，BF∥OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

圖1

（Ⅰ）求雙曲線C的方程;

（Ⅱ）過C上一點(diǎn)P（x ，y ）（y ≠0）的直線l： -y y=1與直線AF相交于點(diǎn)M，與直線x= 相交于點(diǎn)N，證明點(diǎn)P在C上移動(dòng)時(shí)， 恒為定值，并求此定值.

解：（Ⅰ）A（c， ），B（t，- ）

∴ × =-1且 = ，即t= ，a= ，即 -y =1.

（Ⅱ）A（2， ），l： -y y=1，F(xiàn)（2，0），M（2， ），N（ ， ）

∴ = = =

= · = .

評(píng)析：這是2014年江西高考理科20題，考查雙曲線的幾何性質(zhì)、直線方程、兩直線的位置關(guān)系、直線與雙曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等解析幾何基本思想方法，以及運(yùn)算求解能力、分析解決問題的能力.

2.推廣

仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)，直線l： -y y=1就是雙曲線在點(diǎn)C： -y =1在點(diǎn)P（x ，y ）（y ≠0）處的切線，直線x= 就是雙曲線C相應(yīng)于右焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線，而定值 正好是雙曲線C的離心率.于是我們要問：上述結(jié)論是否具有一般性呢？回答是肯定的.

定理1 （如圖2）過雙曲線C： - =1（a>0，b>0）上任一點(diǎn)P（x ，y ）（y ≠0）作雙曲線的切線l，過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)F作直線m垂直于x軸，相應(yīng)于F的準(zhǔn)線為n，l與m、n分別交于M、N兩點(diǎn)，則 =e（e為雙曲線的離心率）.

證明：直線l，m，n的方程分別為

圖2

l：b x x-a y y=a b ? ? ①

m：x=c（c= ） ? ?②

n：x= ? ? ③

∵y ≠0，將②代入①解得y= ，從而得M（c， ）.

同樣將③代入①得N（ ， ）.

∴|MF|=

|NF|=

∵b x ?-a y ?=a b ，c -a =b ，代入化簡得|NF|=

∴ = =e

由于圓錐曲線有統(tǒng)一的定義（第二定義），因此我們有理由猜想橢圓、拋物線也有類似性質(zhì)，經(jīng)過探究得到定理2、定理3.

定理2（如圖3）過橢圓C： =1（a>b>0）上任一點(diǎn)P（x ，y ）（y ≠0）作橢圓的切線，過橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)F作直線m垂直于x軸，相應(yīng)于F的準(zhǔn)線為n，l與m、n分別交于M、N兩點(diǎn)，則 =e（e為橢圓的離心率）.

定理2的證明與定理1完全類似，這里從略.

圖3

定理3（如圖4）過拋物線C：y =2px（p>0）上任一點(diǎn)P（x ，y ）（y ≠0）作拋物線的切線l，過拋物線C的焦點(diǎn)F作直線m垂直于x軸，準(zhǔn)線為n，l與m、n分別交于M、N兩點(diǎn)，則|MF|=|NF|（即 =1）.

圖4

證明：直線l，m，n的方程分別為

l：y y=p（x+x ） ? ? ?①

m：x= ? ? ②

n：x=- ? ? ③

∵y ≠0，將②代入①解得y= ，從而得M（ ， ）.

同樣將③代入①得N（- ， ）.

∴|MF|=

|NF|=

∵y ?=2px ，代入化簡得|NF|=

∴|MF|=|NF|

3.反思

在高考復(fù)習(xí)中，在課堂上適當(dāng)引入一些高考試題，對(duì)其進(jìn)行一番探索是一件非常有意義的事情，或一題多解，從考查學(xué)生知識(shí)與能力的角度，開發(fā)試題的教學(xué)功效;或追根索源，尋找命題的背景材料，追蹤命題人思想的足跡;或變式推廣，從特殊到一般、從一題到一類，發(fā)掘隱藏在試題中的更多優(yōu)美的性質(zhì).這樣不僅能增強(qiáng)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新意識(shí)，還能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.