感悟“二元一次方程組”中的數(shù)學(xué)思想

仲玲玲

數(shù)學(xué)思想是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，是將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)能力的橋梁. 在二元一次方程組及其解法中，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，下面結(jié)合例題一起感受數(shù)學(xué)思想的無窮魅力.

一、 “消元”思想

消元思想是解方程組的基本思想，其實(shí)質(zhì)就是由構(gòu)成方程組的多個(gè)方程經(jīng)過變形、代換、加減運(yùn)算等，最終得到一個(gè)一元一次方程，解出一個(gè)未知數(shù)，再逐漸解出其他未知數(shù)，從而得到方程組的解. 深刻領(lǐng)會(huì)這一思想是靈活、簡(jiǎn)捷的解方程組的關(guān)鍵.

例1 求二元一次方程組

（1） x+2y=1，

3x-2y=11.

（2） x+y=34，

x=2y+1.的解.

【解析】（1） x+2y=1，①

3x-2y=11.②

根據(jù)方程組中y的系數(shù)互為相反數(shù)，

用加減消元法求解即可，①+②得，4x=12消去了未知數(shù)y， 解得x=3.

把x=3代入①得，3+2y=1，解得y=-1.

∴方程組的解是 x=3，

y=-1.

（2） x+y=34，①

x=2y+1.②

方程②中x恰好用y的代數(shù)式表示，

所以可將x=2y+1代入到方①中，

得到2y+1+y=34，從而消去了x，解得y=11.

把y=11代入②得，x=23，

∴方程組的解是x=23，

y=11.

【感悟】本題考查的是二元一次方程組的解法，當(dāng)方程組中一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)較小且可以由另一個(gè)未知數(shù)的整系數(shù)代數(shù)式表示出來時(shí)通常用代入消元法解比較簡(jiǎn)便，當(dāng)某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時(shí)用加減消元法解較簡(jiǎn)單.

二、 “轉(zhuǎn)化”的思想

轉(zhuǎn)化思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決問題的一種方法. 一般總是將復(fù)雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題；將難解的問題通過變換換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題；將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題. 解二元一次方程組中就滲透著這一類重要思想方法.

例2 已知x-3y+7z=0，

x-2y+4z=0.（xyz≠0）

則x∶y∶z=______.

【解析】此方程組中含有三個(gè)未知數(shù)，只有兩個(gè)方程，是一個(gè)不定方程組，要直接解出三個(gè)未知數(shù)值，無法實(shí)現(xiàn). 我們可以化“未知”為“已知”把它轉(zhuǎn)化成關(guān)于x、y的二元一次方程組，字母z看作“已知數(shù)”來解決該問題.

解：x-3y+7z=0，①

x-2y+4z=0.②

由②-①得：y-3z=0，

∴y=3z，

把y=3z代入②，

解得：x=2z，

∴x∶y∶z=2∶3∶1.

【感悟】本題借助了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，化未知為已知，化三元為二元，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單等一系列轉(zhuǎn)化方法，從而很簡(jiǎn)捷的把問題解決，由此，我們可以發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化是一種重要的思想方法，尤其把生疏化成熟悉，復(fù)雜化成簡(jiǎn)單，抽象化成直觀，含糊化成明朗等一系列轉(zhuǎn)化，是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，甚至在生活中都要經(jīng)常使用的一種思維方法，這也是辯證唯物主義的基本觀點(diǎn).

總之，數(shù)學(xué)的精神和本質(zhì)在于它的思想和方法，讓我們一起感悟思想，體驗(yàn)思想，應(yīng)用思想，提升解題的思維層次，最后讓我們都能形成自覺應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決問題的意識(shí).