學(xué)好“二元一次方程組”的幾點認識

顏世波

二元一次方程組是同學(xué)們學(xué)習(xí)一元一次方程的再提升，要掌握二元一次方程組的解法及應(yīng)用，務(wù)必要掌握以下幾個要點：

一、 二元一次方程組的概念

1. 二元一次方程的定義

定義：含有兩個未知數(shù)（形如和），并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程.

【注解】

（1） 方程中的“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù)；

（2） “未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項“單項式”的次數(shù)是1.

（3） 二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.

例1 方程中：①2-y3=1；②2x+y=3；③5（x+y）=7（x-y）；④1x+y=4中是二元一次方程的有______. （填寫序號即可）

【分析】①和③方程中只含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是“1”的整式方程；而②和④中雖然也含有兩個未知數(shù)，但是左邊的代數(shù)式不是整式，所以不是二元一次方程.

【答案】①和③方程是二元一次方程.

【點評】此題主要考查了二元一次方程的概念.

2. 二元一次方程的解

定義：適合二元一次方程的一對未知數(shù)的值叫做這個二元一次方程的一個解.

【注解】二元一次方程的每一個解，都是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值，要用大括號聯(lián)立起來，即二元一次方程的解通常表示為x=a，

y=b.的形式.

例2 下列各組數(shù)中，不是方程3x-2y-1=0的解是（ ）.

A. x=1，y =1

B. x=2，y=52

C. x=0，y=-12

D. x=2，y=1

【分析】分別把A、B、C、D四個答案代入到方程3x-2y-1=0中，如果左≠右，那么這個答案成立.

【答案】選D.

【點評】本題考查了二元一次方程解的情況及解成立的條件.

3. 二元一次方程組的定義

定義：含有兩個未知數(shù)（形如x和y）的兩個一次方程所組成的方程組叫做二元一次方程組. 此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數(shù).例如二元一次方程組3x+4y=5，

x=2.

【注解】（1） 二元一次方程組的一般形式為（a，b，d，e不能同時為0）.

（2） 如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數(shù)，那么它們組成一個二元一次方程組.

（3） 其中符號“{”表示同時滿足，相當于“且”的意思.

例3 下列方程組中，不是二元一次方程組的為（ ）.

（1） x+y=2，

2x-2=3.

（2） x+y=4，

xy=3.

（3） 3x+y=5，

x-3y=4.

（4） 12x+y=0，

3x-2y=1.

（5） y=1，

x=2.

A. （1）（2）

B. （2）（5）

C. （3）（5）

D. （2）（4）

【分析】（1）、（3）、（5）方程組中含有兩個未知數(shù)，并且每個方程中未知數(shù)的次數(shù)都是“1”，而（2）和（4）雖然方程組中都含有兩個未知數(shù)，但（2）中的第二個方程的次數(shù)是“2”，（4）中第二個方程是一個分式方程，所以也不是二元一次方程組.

【答案】D.

【點評】本題考查的是對二元一次方程組定義的理解.

4. 二元一次方程組的解

定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

【注解】（1） 方程組中每個未知數(shù)的值應(yīng)同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.

（2） 方程組的解要用大括號聯(lián)立；

（3） 一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組2x+y=5，

2x+y=6.無解，而方程組x+y=-1，

2x+2y=-2.的解有無數(shù)個.

例4 既是方程2x+3y=6，又是方程3x+2y=-1的解是（ ）.

A. x=3，

y=-2.

B. x=-3，

y=4.

C. x=3，

y=2.

D. x=-3，

y=2.

【分析】可以將A、B、C、D四個答案分別代入到方程2x+3y=6和方程3x+2y=-1中，如果每個方程都成立，則就是兩個方程的解.

【答案】B.

【點評】本題考查了二元一次方程組的定義，所以檢驗是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.

二、 二元一次方程組的解法

二元一次方程組的解法思想

1. 用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：

（1） 從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的方程進行變形，用含有x（或y）的代數(shù)式表示y（或x），即變成y=ax+b（或x=ay+b）的形式；

（2） 將y=ax+b（或x=ay+b）入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去x（或y），得到一個關(guān)于y（或x）的一元一次方程；

（3） 解這個一元一次方程，求出y（或x）的值；

（4） 把x（或y）的值代入y=ax+b（或x=ay+b）中，求x（或y）的值；

（5） 用“{”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解.

【注解】（1） 用代入法解二元一次方程組時，應(yīng)先觀察各項系數(shù)的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；

（2） 變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；

（3） 要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法.如將某個未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個整體用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運算簡便，提高運算速度及準確率.

例5 用代入消元法解方程2x+3y=40，①

x-y=-5.②

【分析】（1） 從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的方程進行變形，用含有x（或y）的代數(shù)式表示x（或y），即變成y=ax+b（或x=ay+b）的形式；

（2） 將y=ax+b（或x=ay+b）入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去x（或y），得到一個關(guān)于x（或y）的一元一次方程.

解：由②，得

y=x+5，③

將③代入①，得

2x+3（x+5）=40，

解這個一元一次方程，得

x=5，

將=5代入③，得

y=10.

∴原方程組的解是x=5，

y=10.

【點評】本題主要考查如何用代入法解二元一次方程組，最重要的是從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的方程進行變形.

2. 用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：

（1） 根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等的形式；

（2） 根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數(shù)，得到一個一元 一次方程；

（3） 解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；

（4） 把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值.

（5） 將兩個未知數(shù)的值用“{”聯(lián)立在一起即可.

【注解】當方程組中有一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或同一個未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時，用加減消元法較簡單.

例6 用加減消元法解方程組：2x+3y=40，①

x-y=-5.②

【分析】（1） 根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等的形式；

（2） 根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數(shù)，得到一個一元 一次方程；

解：由②×3，得

3x-3y=-15，③

①+③，得

5x=25，

解這個方程得

x=5，

將=5代入到②中得

y=10.

∴原方程組的解是x=5，

y=10.

【點評】本題主要考查如何用加減法解二元一次方程組，最重要的是從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的項，然后利用加減消元法消掉未知數(shù)，使方程組變成一元一次方程來解.

三、 用方程組解決實際問題

【注解】1. 解實際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；

2. “設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；

3. 一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組.

例7 某紙品加工廠為了制作甲、乙兩種無蓋的長方體小盒（如圖），利用邊角料裁出正方形和長方形兩種硬紙片，長方形的寬與正方形的邊長相等. 規(guī)格150張正方形硬紙片和300張長方形硬紙片全部用于制作這兩種小盒，可以做成甲、乙兩種小盒各多少個？

【分析】甲種紙盒用正方形紙片1張，長方形紙片4張；乙種紙盒用正方形紙片2張，長方形紙片3張.

解：設(shè)可供制作甲種紙盒x個，乙種紙盒y個.

根據(jù)題意，得x+2y=150，

4x+3y=300.

解這個方程組，得x=30，

y=60.

答：可供制作甲種紙盒30個，乙種紙盒60個.

【點評】列方程組解決實際問題和列一元一次方程解決實際問題是一樣的，要注重：1. 審題；2. 找題目中的相等關(guān)系；3. 設(shè)相應(yīng)的未知數(shù)；4. 列方程組；5. 解方程組；6. 檢驗；7. 寫出答案.