正弦型“和角”公式逆運(yùn)算在物理計(jì)算中的典型運(yùn)用

李文科

1 直角支架兩端連接小球，繞固定軸O在豎直平面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動，系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒定律，系統(tǒng)重力勢能減少量最大時(shí)，系統(tǒng)動能增加量最大

例1 一質(zhì)量不計(jì)的直角形支架兩端分別連接質(zhì)量為m和2m的小球A和B.支架的兩直角邊長度分別為2L和L，支架可繞固定軸O在豎直平面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動，如圖1所示.開始時(shí)OA邊處于水平位置，由靜止釋放，則

A.A球的最大速度為2gL

B.A球速度最大時(shí)，兩小球的總重力勢能最小

C.A、B兩球的最大速度之比為2∶1

D.A球速度最大時(shí)，兩直角邊與豎直方向的夾角為45°

解析 直角支架繞固定軸O在豎直平面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動，A、B兩球瞬時(shí)角速度ω總相同，線速度v=ω·r，即v∝r，選項(xiàng)C正確；支架系統(tǒng)只有重力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，所以系統(tǒng)重力勢能減少最大時(shí)，系統(tǒng)動能增加量最大.設(shè)支架系統(tǒng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ時(shí)，如圖2所示，此位置時(shí)系統(tǒng)重力勢能減少量為

ΔEp↓=mg·2Lsinθ-2mg·L（1-cosθ），

即ΔEp↓=2mgL（sinθ+cosθ-1），

根據(jù)正弦型“和角”公式的逆運(yùn)算，

ΔEp↓=2mgL·[2（12sinθ+12cosθ）-1]，

即 ΔEp↓=2mgL·[2（cos45°sinθ+sin45°cosθ）-1]=2mgL·[2sin（θ+45°）-1].

由此可以看出當(dāng)θ=45°時(shí)，系統(tǒng)重力勢能減少量ΔEp↓取得最大值，為ΔEpmax↓=2（2-1）mgL；那么系統(tǒng)動能增加量最大，且相等

ΔEk↑=12·2mv2B+12m（2vB）2=3mv2B

=ΔEpmax↓=2（2-1）mgL，

得vB=2（2-1）3gL，

vA=22（2-1）3gL.

所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B、D正確.

析評 系統(tǒng)機(jī)械能守恒，列出方程，符合正弦型和角公式，系統(tǒng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°重力勢能減少最多，系統(tǒng)動能增加最大，即按正弦函數(shù)“和角”公式運(yùn)算處理是解決問題的關(guān)鍵所在.

2 慣性系中加速運(yùn)動的乒乓球的加速度按正弦型和角公式化簡，得到慣性系球拍與水平面的夾角（傾角）

例2 （2012年重慶）某校舉行托乒乓球跑步比賽，賽道為水平直道，比賽距離為s.比賽時(shí)，某同學(xué)將球置于球拍中心，以大小為a的加速度從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動，當(dāng)速度達(dá)到v0時(shí)，再以v0做勻速直線運(yùn)動跑至終點(diǎn).整個(gè)過程中球一直保持在球拍中心不動.比賽中，該同學(xué)在勻速直線運(yùn)動階段保持球拍的傾角為θ0，如圖3所示.設(shè)球在運(yùn)動中受到的空氣阻力大小與其速度大小成正比，方向與運(yùn)動方向相反，不計(jì)球與球拍之間的摩擦，球的質(zhì)量為m，重力加速度為g.求：（1）求空氣阻力大小與球速大小的比例系數(shù)k；

（2）求在加速跑階段球拍傾角θ隨速度v變化的關(guān)系式；

（3）整個(gè)勻速跑階段，若該同學(xué)速度仍為v0，而球拍的傾角比θ0大了β并保持不變，不計(jì)球在球拍上的移動引起的空氣阻力變化，為保證到達(dá)終點(diǎn)前球不從球拍上距離中心為r的下邊緣掉落，求β應(yīng)滿足的條件.

解析 （1）如圖4所示，球拍在勻速運(yùn)動階段有kv0=mgtanθ0，得比例系數(shù)k=mgtanθ0v0.

（2）如圖5所示，球拍在加速階段，取相同加速度的物體為非慣性參考系，加上慣性力f*=ma，空氣阻力Ff′=kv，則Ff′+f*=mgtanθ，即kv+ma=mgtanθ，即

v=1k（mgtanθ-ma），

由比例系數(shù)k=mgtanθ0v0得v=v0（gtanθ-a）gtanθ0.

（3）球拍傾角為θ0+β，以速度v0勻速跑階段，乒乓球在球拍這個(gè)慣性系中沿球拍表面向下做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，球拍沿比賽軌道以速度v0勻速運(yùn)動到終點(diǎn)時(shí)，乒乓球在球拍上運(yùn)動位移x≤r，需要時(shí)間t=sv0-v02a.在球拍參考系中，乒乓球運(yùn)動的加速度

a′=gsin（θ0+β）-kv0-cos（θ0+β）m，

由比例系數(shù)k=mgtanθ0v0，

得a′=gsin（θ0+β）-gtanθ0cos（θ0+β）；

整理得a′=g1+tan2θ0（11+tan2θ0sin（θ0+β）-tanθ01+tan2θ0cos（θ0+β）

=g1+tan2θ0sin（θ0+β-α）.

如圖7所示，角α=arctan（tanθ0）=θ0，

所以a′=g1+tan2θ0sinβ，

即在球拍上乒乓球的位移x=12a′t2≤r，

即12g1+tan2θ0sinβ（sv0-v02a）2≤r，

sinβ≤2rv20g（sv0-v02a）21+tan2θ0=2rcosθ0g（sv0-v02a）2.

析評 乒乓球的加速度的表達(dá)式是關(guān)于球拍傾角增量的函數(shù)，就表達(dá)式進(jìn)行化簡，來確定球拍傾角的具體值，得到加速度的具體值是題設(shè)的絕妙之處，也是解題的最佳方法.

3 沿斜面向上運(yùn)動的小木塊的加速度a=-g（sinθ+μcosθ），位移x=v202a存在極小值

例3 如圖8所示，木板與水平地面間的夾角θ可以隨意改變，當(dāng)θ=30°時(shí)，可視為質(zhì)點(diǎn)的一小木塊恰好能沿著木板勻速下滑.若讓該小木塊從木板的底端每次都以v0的速度沿木板向上運(yùn)動，隨著θ的改變，小木塊沿木板滑行的距離將發(fā)生變化，重力加速度為g.

（1）求小木塊與木板間的動摩擦因數(shù)μ；

（2）當(dāng)θ角滿足什么條件時(shí)，小木塊沿木板滑行的距離最小，并求出此最小值.

解析 （1）由平衡態(tài)知μ=tan30°=33；

（2）根據(jù)牛頓第二定律，當(dāng)小木塊向上運(yùn)動時(shí)，加速度為

a=-g（sinθ+μcosθ），

由公式2ax=v2-v20，

知小木塊上滑的位移 x=v202a=v202g（sinθ+μcosθ）；

即 x=v202g（sinθ+μcosθ）

=v202g1+μ2（11+μ2sinθ+μ1+μ2cosθ），

又μ=tan30°，

因此x=v202g1+μ2sin（θ+30°），

所以xmin=v202g1+μ2=3v204g.

析評 此情況下，小木塊沿斜面向上運(yùn)動的加速度存在極大值，與動摩擦因數(shù)μ有關(guān)，位移與加速度有關(guān)，可見位移大小由動摩擦因數(shù)μ決定.

物理學(xué)家費(fèi)米曾經(jīng)說過這樣一段話：“計(jì)算的途徑有兩種，第一種，是我愿意采用的，即一副清晰的圖像；第二種，是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)架構(gòu).”