一道自主招生題目的六種不同解法

相新蕾　周革潤　石磊

題目 在真空中，質(zhì)量為m1和m2的兩個(gè)小球，只受萬有引力作用，某個(gè)時(shí)刻，兩球相距l(xiāng)0，m1的速度為v0，方向指向m2，m2的速度為v0，速度垂直于兩球球心連線，問當(dāng)速度v0滿足什么關(guān)系時(shí)，兩個(gè)小球的間距可以為無窮遠(yuǎn).

解法一 把兩小球視為一系統(tǒng)，只有引力做功所以機(jī)械能守恒，是動(dòng)能轉(zhuǎn)化為引力勢能的過程，引力勢能由-Gm1m2l0增加到0；又因?yàn)橄到y(tǒng)只受內(nèi)力（引力），所以動(dòng)量守恒，因此相距無窮遠(yuǎn)時(shí)兩球速度不會(huì)變?yōu)榱悖磩?dòng)能不會(huì)完全轉(zhuǎn)化為勢能，當(dāng)兩球共速時(shí)系統(tǒng)損失的動(dòng)能最大（類比完全非彈性碰撞），如果在這種條件下?lián)p失的動(dòng)能恰能等于相距無窮遠(yuǎn)系統(tǒng)需要增加的勢能，即找到了該題目速度的臨界值.

根據(jù)動(dòng)量守恒有

m10+m20=（m1+m2），

v=m21+m22m1+m2v0，

根據(jù)機(jī)械能守恒有

-Gm1m2l0+m12v20+m22v20=0+m1+m22v2，

聯(lián)立可解得v0≥2Gml0.

解法二 從能量的角度分析，兩小球從當(dāng)前位置到間距無窮遠(yuǎn)處是動(dòng)能逐漸轉(zhuǎn)化為引力勢能的過程，但是兩小球動(dòng)能不會(huì)最終全部轉(zhuǎn)化為勢能，因?yàn)閮尚∏蛳嗷プ饔眠^程中只受到內(nèi)力，不受外力，所以質(zhì)心應(yīng)該做勻速直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)心動(dòng)能不會(huì)減少，始終為m1+m22v2c.

c=m10+m20m1+m2，

vc=m21v20+m20v20m1+m2

=m21+m22m1+m2v0，

根據(jù)機(jī)械能守恒有

-Gm1m2l0+m12v20+m22v20=0+m1+m22v2c，

聯(lián)立可解得v0≥2Gml0.

解法三 該方法是由解法二衍生而來，選擇質(zhì)心參考系，只有引力做功，機(jī)械能守恒.

根據(jù)柯尼希定理可知，初狀態(tài)兩小球在質(zhì)心參考系中的動(dòng)能之和：

Ek′=Ek-Ec=m12v20+m22v20-m1+m22v2c，

末狀態(tài)兩小球在質(zhì)心參考系中的動(dòng)能之和變?yōu)榱?，根?jù)機(jī)械能守恒有

-Gm1m2l0+Ek′=0+0，

聯(lián)立可解得v0≥2Gml0.

解法四 選擇m1為參考系，則在該非慣性系下m2的初速度大小v=2v0，受到引力F和慣性力F慣的作用，圖2所示.

對(duì)于保守力F所做的功有

WF=-ΔEp=-Gm1m2l0，

慣性力 F慣=m2a1=m2Gm1m2l2m1=Gm22l2

=m2m1F，

慣性力所做的功WF慣=m2m1WF=-Gm22l0.

以m1為參考系，由于慣性力做功，所以機(jī)械能不守恒，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系下的動(dòng)能定理有

WF+WF慣=0-m22v2，

聯(lián)立可解得v0≥2Gml0.

解法五 仍然選擇m1為參考系，在解法三的基礎(chǔ)上，把引力F和慣性力F慣等效為新的力F′，則有

F′=F+F慣=Gm1m2l2+Gm22l2=Gm1（m2+m22m1）l2，

令M=m2+m22m1，則F′=Gm1Ml2.

F′的形式和F的形式完全相同，可等效一保守力，即把第二個(gè)小球視為質(zhì)量為M的小球，只受一個(gè)保守力的作用，因此機(jī)械能守恒.等效質(zhì)量M是由于力而引進(jìn)的，對(duì)求第二個(gè)小球的勢能時(shí)有效，而求其動(dòng)能時(shí)無效，根據(jù)機(jī)械能守恒有

-Gm1Ml0+m2v22=0+0，

聯(lián)立可解得v0≥2Gml0.

解法六 仍以小球1為參考系，根據(jù)約化質(zhì)量定義：μ=m1m2m1+m2，此時(shí)不需要引進(jìn)慣性力，則系統(tǒng)的動(dòng)能為μ2v2，v為小球2相對(duì)于小球1的相對(duì)速度，v=2v0，

根據(jù)機(jī)械能守恒-Gm1m2l0+μ2v2=0.

以上六種解法都能得到v0的臨界值，v0應(yīng)不小于該臨界值，即

v0≥G（m1+m2）l0，

若m1=m2=m，則v0≥2Gml0.

方法一從動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒出發(fā)，方法二從能量轉(zhuǎn)化的角度出發(fā)，是學(xué)生最容易想到的兩種方法，但是要注意動(dòng)能并不會(huì)全部轉(zhuǎn)化為勢能，這兩種方法從不同側(cè)面給予了解釋；方法三采用質(zhì)心參考系，后三種方法都采用非慣性系，其中方法四根據(jù)動(dòng)能定理，方法五利用等效力解決了非慣性力做功，從而滿足機(jī)械能守恒，方法六通過約化質(zhì)量避免了慣性力.