“結(jié)果相差0.5”，問(wèn)題出在哪里？

夏映雪 嚴(yán)育洪

“望”：病例觀察

在一節(jié)“釘子板上的多邊形”課上，教師發(fā)給每人一個(gè)釘子板作學(xué)具。一位學(xué)生在釘子板上圍出了這樣一個(gè)多邊形（如圖1）。

多邊形邊上的釘子數(shù)是9，多邊形內(nèi)的釘子數(shù)是18，代入皮克公式計(jì)算得到：9÷2+18-1=21.5。

而用長(zhǎng)和寬分別是8、7的長(zhǎng)方形面積減去三個(gè)外面的三角形的面積和，求得的實(shí)際面積是：8×7=56，8×6÷2+3×7÷2+0.5=35，56-35=21。

結(jié)果發(fā)生矛盾，相差0.5。上課教師看不出問(wèn)題出在哪里，只能尷尬地不了了之。

無(wú)獨(dú)有偶，又有一位學(xué)生找到了這樣一個(gè)反例（如圖2）：用皮克公式算得面積是5，而用數(shù)格法數(shù)得的實(shí)際面積是4.5。

對(duì)此，教師作了這樣的解釋?zhuān)骸斑@是凹多邊形，不適用這個(gè)規(guī)律?！?/p>

過(guò)了一會(huì)，有一位學(xué)生舉著自己的作業(yè)紙（如圖3），打斷教師接下來(lái)組織的教學(xué)活動(dòng)：“老師，您看這個(gè)凹多邊形是符合規(guī)律的?！?/p>

教師一看，果然如此，無(wú)言以對(duì)，只好說(shuō)：“凹多邊形不屬于我們要研究的，我們研究的是像這樣的凸多邊形?！苯處燀樖职堰@位學(xué)生畫(huà)的凹多邊形改成了凸多邊形（如圖4）。

在這節(jié)課接近尾聲時(shí)，教師出示多邊形（如圖5），讓學(xué)生用皮克定理計(jì)算面積后總結(jié)：“用皮克定理計(jì)算釘子板上的多邊形，比較方便?！边@時(shí)，筆者聽(tīng)到旁邊一位學(xué)生小聲嘀咕：“數(shù)方格也很方便?！?/p>

要下課了，教師問(wèn)學(xué)生是否有什么問(wèn)題。有一位學(xué)生提出：“當(dāng)a=1，S=n÷2；當(dāng)a=2，S=n÷2+1；當(dāng)a=3，S=n÷2+2……為什么多邊形內(nèi)釘子數(shù)多1，多邊形的面積也會(huì)多1？”教師沒(méi)料到學(xué)生會(huì)問(wèn)這個(gè)問(wèn)題，愣了一會(huì)答道：“這個(gè)，不是大家發(fā)現(xiàn)的規(guī)律么？！”

……

“問(wèn)”：病歷記錄

課后，上課教師對(duì)“結(jié)果相差0.5”始終感到不解：“這個(gè)0.5相差在哪里呢？”

其他教師也看不出所以然來(lái)，有的教師說(shuō)：“是不是哪里少算了啊？”

有的教師說(shuō)：“換一種方法，用數(shù)格法數(shù)數(shù)看?！弊罱K發(fā)現(xiàn)很難數(shù)出精確的結(jié)果。

還有的教師說(shuō)：“是不是這個(gè)釘子板做得有問(wèn)題，質(zhì)量不過(guò)關(guān)，不精細(xì)？”……

在一籌莫展中，筆者問(wèn)了上課教師另外一個(gè)問(wèn)題：“圖5的目的是什么？”

她胸有成竹地答道：“一是讓學(xué)生用一用規(guī)律，二是讓學(xué)生體會(huì)到皮克公式的優(yōu)越性?！?/p>

當(dāng)筆者把學(xué)生的嘀咕“數(shù)方格也很方便”告訴她時(shí)，她想一想后說(shuō)：“嗯，是感覺(jué)數(shù)方格也很方便，那為何還要搞一個(gè)皮克公式呢？”

筆者最后又問(wèn)了一個(gè)問(wèn)題：“多邊形內(nèi)釘子數(shù)多1，多邊形的面積也會(huì)多1，兩個(gè)‘1’意義相同嗎？”

她答道：“當(dāng)然不同，前一個(gè)‘1’表示一個(gè)釘子，后一個(gè)‘1’表示一個(gè)面積單位?！?/p>

“那為什么多邊形內(nèi)釘子數(shù)多1，多邊形的面積也會(huì)多1，你用‘這個(gè)，不是大家發(fā)現(xiàn)的規(guī)律么’來(lái)回答合適么？”筆者追問(wèn)。

“是啊，它只是數(shù)字比出來(lái)的，我也看不出來(lái)后一個(gè)‘1’多在哪里。”她深有同感。

……

“切”：病理診治

在2015年第5期《教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)）》中已經(jīng)說(shuō)過(guò)，“釘子板上的多邊形”是蘇教版教材修訂后新放入的規(guī)律探索類(lèi)教學(xué)內(nèi)容，加上它找的規(guī)律屬于事物本身存在的規(guī)律，有別于一些“人造”的“找規(guī)律”，更能引起學(xué)生的探究興趣，當(dāng)然也引起了許多教師研究課的興趣。在一個(gè)學(xué)期中，聽(tīng)了幾節(jié)這樣的課，產(chǎn)生了眾多如上述課例中的生成性問(wèn)題，讓教師不知所措。盤(pán)根究底，教師“不知所措”的背后是“不知所以”，“不知所以”的背后則暴露了教師對(duì)相關(guān)本體性知識(shí)的匱乏。所以，要讓教學(xué)服人，首先要知識(shí)尋根。

一是找到知識(shí)之源，解決學(xué)生關(guān)于“是什么”的困惑。在2015年第5期《教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)）》中，我們已經(jīng)知道“釘子板上的多邊形”的知識(shí)之源是“格點(diǎn)圖上的多邊形”，知道了這一知識(shí)原型，圖1中的“0.5之謎”也就昭然若揭：只需要把釘子板上圍的多邊形畫(huà)到點(diǎn)子圖上（如圖6），“相差的0.5” 一下子“原形畢露”——中間紅圈內(nèi)的點(diǎn)并不在多邊形邊上，多邊形邊上的釘子數(shù)是8而不是9。之所以會(huì)產(chǎn)生“一點(diǎn)之差”，就因?yàn)樵卺斪影迳嫌闷そ罨蛎€圍多邊形的不精確（圍在釘子旁而非壓在釘子上）誤導(dǎo)了學(xué)生。

那么，在教學(xué)中，“學(xué)科的數(shù)學(xué)”與“科學(xué)的數(shù)學(xué)”如何做到兩全其美，既能照顧到學(xué)生興趣又能照顧到知識(shí)本質(zhì)？有一種解決策略是注意研究背景的及時(shí)轉(zhuǎn)換：一是在課始，教師在將用釘子板圍多邊形引入后，及時(shí)把“釘子板”轉(zhuǎn)換成“點(diǎn)子圖”；二是在課終，教師介紹皮克定理的時(shí)候，及時(shí)把“點(diǎn)子圖”轉(zhuǎn)換成“格點(diǎn)圖”。

圖1的問(wèn)題解決了，圖2的問(wèn)題——“這是凹多邊形，不適用這個(gè)規(guī)律”，事實(shí)真的如那位教師所說(shuō)的嗎？盤(pán)根究底，這一問(wèn)題依然是關(guān)于“是什么”的問(wèn)題。

本課教學(xué)確實(shí)如教師所說(shuō)不研究凹多邊形，所以教師在提供研究素材時(shí)應(yīng)選擇凸多邊形。但是，在教師讓學(xué)生自主研究的過(guò)程中，學(xué)生思想并不會(huì)受教師意志而轉(zhuǎn)移，完全有可能畫(huà)出凹多邊形，甚至畫(huà)出像圖2這樣的“凹多邊形”。

根據(jù)凹多邊形的定義“把一個(gè)各邊不自交的多邊形任意一邊向兩方無(wú)限延長(zhǎng)成為一直線，如果多邊形的其他各邊不在此直線的同旁，那么這個(gè)多邊形就叫作凹多邊形”中的“各邊不自交”這一要求，不難看出，圖2并非我們所研究的凹多邊形，我們一般把它看作是組合圖形。

根據(jù)北京大學(xué)出版社出版的亨斯貝爾格所著《數(shù)學(xué)中的智巧》一書(shū)中對(duì)皮克公式的表述——“設(shè)Y是一個(gè)簡(jiǎn)單多邊形（即不自交的多邊形，又稱(chēng)佐敦多邊形，因?yàn)樽舳厍€定理可以用來(lái)證明這樣的多邊形能將平面分成兩個(gè)區(qū)域，即區(qū)內(nèi)和區(qū)外），其頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上。若q為多邊形Y內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)，p為多邊形Y邊上的格點(diǎn)數(shù)，則Y的面積=q+-1”。我們不難發(fā)現(xiàn)，皮克公式適用于簡(jiǎn)單多邊形（按凹凸性區(qū)分，簡(jiǎn)單多邊形分凸多邊形和凹多邊形），那也就是它不僅適用于凸多邊形，也適用于像圖3那樣的凹多邊形。

二是找到知識(shí)之理，解決學(xué)生關(guān)于“為什么”的困惑。上述課例中，學(xué)生的質(zhì)疑“為什么多邊形內(nèi)釘子數(shù)多1，多邊形的面積也會(huì)多1”，涉及知識(shí)“為什么是這樣”的問(wèn)題，只不過(guò)教師沒(méi)有意識(shí)到，或者意識(shí)到但因?yàn)橐膊恢?，或者知道但考慮到無(wú)法跟小學(xué)生講清楚而故意回避。然而，現(xiàn)在學(xué)生提出了，教師也就回避不了這一關(guān)鍵性問(wèn)題。實(shí)際上，這個(gè)問(wèn)題是許多學(xué)生都能想到的，只是沒(méi)有機(jī)會(huì)或沒(méi)有勇氣提出來(lái)罷了，因?yàn)槊恳粋€(gè)知識(shí)的學(xué)習(xí)都會(huì)圍繞“是什么”“為什么”“有什么用”這三大問(wèn)題，所以教師在備課的時(shí)候應(yīng)該想到這一問(wèn)題。

盡管這節(jié)課的教學(xué)要求只需要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用不完全歸納法“找”規(guī)律，充分經(jīng)歷“找”的過(guò)程，但因?yàn)椤罢摇钡降囊?guī)律更多的是基于現(xiàn)象“看”到的數(shù)字變化——“多邊形內(nèi)釘子數(shù)多1，多邊形也就多1個(gè)面積單位”，至于“為什么會(huì)這樣”，學(xué)生沒(méi)能“看”到，心存困惑也很自然。

那么，限于學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，在還無(wú)法證明給學(xué)生“看”的情況下，特別在有學(xué)生質(zhì)疑的時(shí)候，教師可以做些什么？

筆者認(rèn)為，教師可以在知識(shí)的關(guān)鍵處進(jìn)行啟發(fā)，一方面通過(guò)多媒體的動(dòng)態(tài)同步演示（如圖7），進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑蟹c滲透，讓學(xué)生“看”到隨著多邊形內(nèi)釘子數(shù)多1之后，多邊形多的1個(gè)面積單位在哪里，從而明白其中的奧秘，消除心頭的疑惑；另一方面，教師正好通過(guò)這一教學(xué)細(xì)節(jié)的變化設(shè)計(jì)，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲地由“a=1”這一教學(xué)環(huán)節(jié)過(guò)渡到“a=2、a=3……”等教學(xué)環(huán)節(jié)。

三是找到知識(shí)之用，解決學(xué)生關(guān)于“為了什么”的困惑。上述課例中，教師讓學(xué)生用皮克定理計(jì)算釘子板上的多邊形面積后的總結(jié)，其用意是想揭示皮克公式的優(yōu)越性，體現(xiàn)知識(shí)的“有什么用”。在與學(xué)生交談中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生普遍存在知識(shí)學(xué)習(xí)之后的困惑：以前已經(jīng)學(xué)過(guò)一般平面圖形的常用面積公式，也掌握了割補(bǔ)法、數(shù)格法，為何還要學(xué)皮克公式？

確實(shí)，雖然本節(jié)課的定位是“找”規(guī)律，但找到規(guī)律后學(xué)生自然會(huì)想到“用”規(guī)律，即皮克公式有什么用？上述課例中，教師想到了這一點(diǎn)，但沒(méi)有講到點(diǎn)子上，學(xué)生的嘀咕“數(shù)方格也很方便”說(shuō)明教師所用例子并不典型，我們應(yīng)該呈現(xiàn)一個(gè)用常用面積公式計(jì)算且用數(shù)格法都顯得困難的格點(diǎn)多邊形（如圖8），讓學(xué)生真正體會(huì)到皮克公式的“有用”。

當(dāng)然，皮克定理作為格點(diǎn)幾何中的一條基本定理，更大的用途是用來(lái)證明以及解決用格點(diǎn)法處理的某些數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)問(wèn)題，這些學(xué)生以后自會(huì)明白。

皮克定理給出了格點(diǎn)多邊形的面積與格點(diǎn)數(shù)之間的精密公式（即皮克公式），由它可直接用于計(jì)算多邊形的面積。其實(shí)，皮克公式與數(shù)格法之間以及與一般平面圖形常用面積公式之間的聯(lián)系也是“緊密”的：如果讓格點(diǎn)之間的間隔越來(lái)越小，也就是使離散的格點(diǎn)連續(xù)化，也就是面積單位越來(lái)越小，也就是“微分”，則利用皮克公式就可以求出一般平面圖形的面積。

在眾多研究課中，教師存在這樣的困惑：學(xué)生只盯著多邊形邊上的釘子數(shù)，不看多邊形內(nèi)的釘子數(shù)。其實(shí)，這種學(xué)情很正常，因?yàn)閷W(xué)生熟記的一般平面圖形面積公式中的要素都是邊長(zhǎng)，例如，長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬、平行四邊形面積=底×高。教學(xué)對(duì)策是回到知識(shí)的原點(diǎn)——“面積”——把多邊形涂色，這樣學(xué)生就可以清楚地“看”到格點(diǎn)多邊形內(nèi)一個(gè)個(gè)面積單位（格子），而一個(gè)個(gè)“格子”與多邊形內(nèi)的釘子數(shù)有關(guān)。

至此，學(xué)生明白了皮克定理的知識(shí)應(yīng)用之后，還可能會(huì)繼續(xù)另一個(gè)困惑：皮克定理在生活中有什么用？對(duì)此，教師可以跟學(xué)生講這樣的事例，作為課外閱讀——

數(shù)年前，國(guó)外某次數(shù)學(xué)會(huì)議的主辦者，為了增添地方特色，特地邀請(qǐng)了當(dāng)?shù)氐囊晃涣謽I(yè)官員，向與會(huì)者介紹一系列有關(guān)數(shù)學(xué)應(yīng)用在森林工業(yè)中的突出例子。其中有一個(gè)例子，就是關(guān)于如何用森林巡航車(chē)從樹(shù)木的位置確定的地域范圍來(lái)計(jì)算含在其中的多邊形的面積。其具體方法是用一張畫(huà)有由樹(shù)木構(gòu)成點(diǎn)陣的透明薄膜覆蓋在多邊形地域圖上，再根據(jù)多邊形邊界上點(diǎn)數(shù)的一半加上多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)，從而得出多邊形的面積。

講完這個(gè)故事，教師可以讓學(xué)生思考這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：這位林業(yè)官員的計(jì)算方法會(huì)存在誤差嗎？為什么？

綜上所述，雖然“釘子板上的多邊形”的教學(xué)內(nèi)容只需要“找規(guī)律”，教學(xué)形式也比較有趣，但深處隱藏的“釘子”很多，時(shí)不時(shí)在課中冒出。此處借用毛澤東說(shuō)過(guò)的一句話——“碰了釘子時(shí)，就向釘子學(xué)習(xí)”，引申為教師碰到問(wèn)題時(shí)，就要向問(wèn)題學(xué)習(xí)，了解問(wèn)題的本質(zhì)，這樣才能正確、輕松地應(yīng)對(duì)課中學(xué)生的意外生成。

（江蘇省無(wú)錫市蕩口實(shí)驗(yàn)小學(xué) 214116

江蘇省無(wú)錫市錫山教師進(jìn)修學(xué)校 214196）