等差等比數(shù)列性質(zhì)的延伸

王永梅

摘 要： 本文分析了等差數(shù)列和等比數(shù)列兩類特殊數(shù)列的子數(shù)列性質(zhì)及與原數(shù)列的關(guān)系，給出了子數(shù)列性質(zhì)的某些證明.

關(guān)鍵詞： 等差子數(shù)列 等比子數(shù)列 性質(zhì)

數(shù)列在整個(gè)高中教學(xué)中占著重要位置.等差數(shù)列等比數(shù)列在歷年的高考與高職高考中都是非常重要的題型.同時(shí)，等差、等比數(shù)列又是一種高等數(shù)學(xué)計(jì)算方式，可用在計(jì)算機(jī)編程等語言里面.

一、等差數(shù)列的子數(shù)列性質(zhì)

（1）等差數(shù)列a■，a■，…，a■，a■，a■，…，a■，…中，去掉前m-1項(xiàng)后組成一個(gè)新數(shù)列：a■，a■，…，a■，…仍然是一個(gè)等差數(shù)列.

（2）等差數(shù)列中每隔相等的“距離”取出的項(xiàng)依次組成的新的數(shù)列a■，a■，a■，…（k，m∈N■）仍然是公差為md的等差數(shù)列.如偶數(shù)列{a■}是公差為2d的子數(shù)列、奇數(shù)列{a■}是公差為2d的子數(shù)列.

（3）若數(shù)列{a■}是等差數(shù)列，則{a■+a■}，{a■-a■}，{a■+a■+a■，a■+a■+a■，a■+a■+a■，…}，…仍為等差數(shù)列，公差分別為2d，0，9d.

（4）若數(shù)列a■為等差數(shù)列，則依次每k項(xiàng)之和也是等差數(shù)列，即S■，S■-S■，S■-S■，…也是等差數(shù)列.

性質(zhì)（4）將題目求解簡化，看以下例題.

例題1：已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為310，前20項(xiàng)和為1220，

1.由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎？

2.S■，S■，S■這三者之間有何關(guān)系？

3.求S■.

解：1.由性質(zhì)（4）可知：d■=S■-S■=k■d其中k=10

有（1220-310）-310=100d

得d=6帶入10a■+10×92d=310

得a■=4，S■=3n2+n

2.S■，S■，S■這三者之間的關(guān)系.由性質(zhì)4知S■，S■-S■，S■-S■這三者是等差數(shù)列，

公差d■=k■d=100×6=600.

3.求S■.已知（S■-S■）-（S■-S■）=d■，

有S■=600+2S■-S■=600+2×1220-310=2730.

可見，利用性質(zhì)（4）解題大大簡化了運(yùn)算步驟，減少了運(yùn)算量.

二、等比數(shù)列的子數(shù)列性質(zhì)

（1）在公比為q的等比數(shù)列a■，a■，…，a■，a■，a■，…，a■，…中去掉前m-1項(xiàng)后，所得的數(shù)列：a■，a■，…，a■，…還是等比數(shù)列.

（2）等比數(shù)列a■，a■，…，a■，…中每隔相等的“距離”取出項(xiàng)，依次組成的新的數(shù)列a■，a■，a■，…（k，m∈N■）仍為等比數(shù)列，公比為q■.

（3）若數(shù)列{a■}是等比數(shù)列，則{a■a■}，{a■a■}，{a■a■a■，a■a■a■，a■a■a■，…}仍為等比數(shù)列，公差分別為q■，q■，q■….

（4）若數(shù)列{a■}是等比數(shù)列，則依次每k項(xiàng)之和也是等比數(shù)列，即S■，S■，S■-S■，…也是等比數(shù)列.

例題2：已知公比是不為1的等比數(shù)列{b■}，若S■=48，S■=60，求S■.

解：S■，S■，S■這三者之間的關(guān)系由性質(zhì)4知

S■，S■-S■，S■-S■是等比數(shù)，

公比q■=S■-S■S■-S■=S■-S■S■

于是S■-60×60-48=60-48×48

解得S■=63.

本文研究了等差、等比數(shù)列子數(shù)列的性質(zhì)，便于學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)過程中能從不同的角度看待問題、解決問題，從而提高學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的觀察歸納能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]丁月嬌.等差數(shù)列性質(zhì)及其應(yīng)用.南京師范大學(xué)泰州學(xué)院，2012.

[2]趙堅(jiān)強(qiáng).等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)[J].內(nèi)江科技，2008（03）.