將數(shù)學(xué)建模思想融入高數(shù)課堂的案例分析

史鵬軍

摘 要： 高等職業(yè)教育強調(diào)數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實際的橋梁，以除雪機除雪問題為例，以數(shù)學(xué)建模思想方法為指導(dǎo)，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識分析解答應(yīng)用實例，不僅能大大激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且能提高他們應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)模型 教學(xué)改革 高等數(shù)學(xué) 定積分

1.引言

高職院校開設(shè)公共基礎(chǔ)課高等數(shù)學(xué)，強調(diào)數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性.而采用傳統(tǒng)單一的“填鴨式”的理論教學(xué)方法很難達到目的.很多高數(shù)教師可能都被學(xué)生問過這樣一個問題：“學(xué)高數(shù)有什么用？”這說明通過我們的課堂教學(xué)，沒有讓學(xué)生感受到他們學(xué)到的東西能解決廣泛的實際問題.數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是通過抽象、簡化，運用數(shù)學(xué)的語言和方法，建立數(shù)學(xué)模型，求解模型并得到結(jié)論及驗證結(jié)論是否正確、合理的全過程，是解決傳統(tǒng)教學(xué)活動中學(xué)生缺乏運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題能力的有效途徑[1].本文用數(shù)學(xué)建模的思想和方法，應(yīng)用所學(xué)的高數(shù)相關(guān)的知識詳細分析解答了“除雪機除雪問題”，是將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)一個案例.

2.案例分析

微積分是高數(shù)的核心內(nèi)容，是解決實際問題強有力的數(shù)學(xué)工具，下面我們就嘗試用學(xué)過的定積分解決一個日常生活問題.

冬天的大雪常使公路上積起厚雪影響交通，有條10公里的公路積雪有一臺除雪機負(fù)責(zé)清掃.每當(dāng)路面積雪平均厚度達到0.5m時，除雪機就開始工作.但問題是開始除雪后，大雪仍下個不停，使路面上積雪越來越厚，除雪機工作速度逐漸減慢，直到繼續(xù)工作.降雪的大小直接影響除雪機的工作速度，那么除雪機能否完成這10km路程的除雪任務(wù)，當(dāng)雪下多大時除雪機無法工作[2]？

相關(guān)情況和部分?jǐn)?shù)據(jù)：

（1）降雪持續(xù)下了一個小時；

（2）降雪速度隨時間變化，但下得最大時，積雪厚度的增量是每秒0.1cm；

（3）當(dāng)積雪厚度達到1.5m時，除雪機將無法工作；

（4）除雪機在沒有雪路上行駛速度為10m/s.

問題分析：首先考慮與除雪機除雪有關(guān)的因素，其主要因素有：下雪的速度，積雪的厚度，除雪機工作速度及下雪持續(xù)的時間.為使問題簡化，假設(shè)（1）下雪速度保持不變；（2）除雪機工作速度與積雪厚度成反比.設(shè)置變量，記下雪速度為R（cm/s），積雪厚度為d（m），除雪機工作速度為v（m/s）.

建立模型：

（1）下雪厚度模型.在下雪速度保持不變的情況下，積雪在t秒內(nèi)厚度增量△d=■Rt，因此t秒內(nèi)積雪厚度為：d（t）=0.5+■（2.1）

（2）除雪機工作速度模型.由問題的假設(shè)，并注意到當(dāng)d=0時，v=10；d=1.5時，v=0，可建立關(guān)系式v（t）=10（1-■d（t）），0.5≤d（t）≤1.5，將（2.1）式帶入得t秒時除雪機工作速度公式v（t）=■（2-■）（2.2）

利用上述公式，可確定除雪機被迫停止工作的時間，由v（t）=0，得t■=■（2.3）

除雪機工作t秒時的行駛距離S（t）=？蘩■■v（u）du=■？蘩■■（2-■）du=■t-■t■（2.4）

情形1：大雪以每秒0.1cm的速度持續(xù)1h.

積雪新增的厚度是■=3.6（m），再加上原來雪深0.5m，已經(jīng)超過1.5m.只能考慮除雪機從雪厚0.5m到雪厚1.5m時的工作時間和除雪距離.由（2.3）可得：t■=■=■=1000（s）≈16.67（min），即除雪機只能工作16.67min就得停止工作，其行駛的距離由（2.4）得：S（t■）=S（1000）=■-■≈3.3（km）.

情形2：大雪以每秒0.025cm的速度持續(xù)1h.

圖1 下雪速度速度變化圖

積雪新增的厚度恰好是情形1的■，為0.9m，再加上原來雪深0.5m，雪深不超過1.5m，除雪機始終可以工作.除雪機除雪10km所需時間，將S=10×1000m帶入（2.4）得：10000=■t-■t■，t=2000（s）≈33.33（min），即只雪33.33（min）除雪機就可以清除完10km的積雪.

模型改進：上述模型假設(shè)下雪速度保持不變，實際上，持續(xù)下1h雪，下雪的速度不可能恒定不變.現(xiàn)從實際出發(fā)把假設(shè)做得更合理些.假設(shè)下雪的速度在前30min均勻增大到最大值0.1cm/s，在后30min逐漸減小到零.如圖1所示.

用r（t）表示t時刻的下雪速度，則

r（t）=■？搖？搖0≤t≤1800a-■？搖？搖1800≤t≤3600（2.5）

r（t）的單位為cm/s.利用在t=1800處r（t）的連續(xù)性，可知參數(shù)a=0.2.

積雪厚度函數(shù)：當(dāng)0≤t≤1800時，d（t）=0.5+■？蘩■■■du=0.5+■t■（2.6）

計算得d（1800）=0.5■=0.5+0.9=1.4（m），即除雪機工作30min時，積雪厚度達到1.4m.當(dāng)1800≤t≤3600時，d（t）=1.4+■？蘩■■（0.2-■）du=0.01（0.2t-■t■）-1.3（2.7）

計算得d（3600）=0.01（0.2×3600-■-1.3=2.3（m），說明雪還在下時除雪機已經(jīng)停止工作.工作時間利用（2.7），取d（t）=1.5m可得t≈35（min）.

若考慮更復(fù)雜些，則還可以建立與實際更接近的數(shù)學(xué)模型.

3.結(jié)語

高職院校學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對較弱，學(xué)習(xí)高數(shù)有些吃力，利用傳統(tǒng)的教學(xué)方法給他們“滿堂灌”抽象的理論知識只會使他們對這門課望而生畏.在教學(xué)過程中引進數(shù)學(xué)模型，滲透數(shù)學(xué)建模的思想和方法，不僅能大大激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且能提高他們應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，還能夠提升教師的教學(xué)水平，完善現(xiàn)有的教學(xué)方法，從而有效提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量.

參考文獻：

[1]葉其孝.把數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實驗的思想和方法融入高等數(shù)學(xué)課的教學(xué)中去[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2003（8）.

[2]蔡鎖章.數(shù)學(xué)建模[M].中國林業(yè)出版社，2003.