基于覆蓋理論的鐵路救援列車(chē)部署方案研究

湯霖，孟學(xué)雷，郭文博，尚蕾

(1. 蘭州交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2. 蘭州鐵路局 蘭州電務(wù)段，甘肅 蘭州 730070)

中國(guó)鐵路路網(wǎng)逐漸呈現(xiàn)出線(xiàn)路跨度大，運(yùn)營(yíng)里程長(zhǎng)，路網(wǎng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的特點(diǎn)。面對(duì)復(fù)雜的國(guó)土資源環(huán)境和線(xiàn)路運(yùn)營(yíng)環(huán)境，鐵路突發(fā)事件頻發(fā)。如何科學(xué)合理地部署鐵路救援列車(chē)，對(duì)于增強(qiáng)鐵路路網(wǎng)的魯棒性，保障鐵路運(yùn)輸高效穩(wěn)定具有重要意義。鐵路救援列車(chē)部署車(chē)站的選取，與基于覆蓋模型的選址問(wèn)題類(lèi)似。其可視為是救援列車(chē)部署車(chē)站對(duì)需要救援線(xiàn)路的覆蓋。關(guān)于基于覆蓋模型選址問(wèn)題，1964年Hakimi[1]就曾建立中值模型。1974年Church提出最大覆蓋模型[2]，覆蓋選址理論發(fā)展出集合覆蓋、最大覆蓋、P-中心問(wèn)題、P-中位問(wèn)題和 Weber問(wèn)題等。2005年，Berman等[3]提出了“逐漸覆蓋衰退函數(shù)”并將其引入到廣義最大覆蓋模型。2012年，F(xiàn)arahani等[4]在前人研究成果基礎(chǔ)上系統(tǒng)全面地回顧了有關(guān)覆蓋選址問(wèn)題的模型，解決方法和應(yīng)用方式。2015年，Brimberg等[5]對(duì)經(jīng)典中位模型進(jìn)行了改進(jìn)，提出了位于覆蓋距離之外情況下的距離懲罰系數(shù)的部分覆蓋理論?；诟采w問(wèn)題的選址問(wèn)題這幾年在國(guó)內(nèi)學(xué)者中也逐漸被重視，許多學(xué)者在此領(lǐng)域做出了許多工作。在運(yùn)輸領(lǐng)域，公路運(yùn)輸和物流方面的研究較多，WANG等[6]以火災(zāi)救援為研究背景，綜合考慮多車(chē)種、單車(chē)種距離部分覆蓋、單車(chē)種數(shù)量部分覆蓋因素下的協(xié)同救火服務(wù)點(diǎn)的最大覆蓋模型。Albert等[7]提出了基于求救需求對(duì)網(wǎng)絡(luò)分區(qū)規(guī)劃的方法，并運(yùn)用基于拉格朗日松弛算法改進(jìn)的算法對(duì)其理論研究進(jìn)行驗(yàn)證。針對(duì)鐵路應(yīng)急救援設(shè)施選址問(wèn)題的研究較少。吳艷華等[8]以集合覆蓋模型為基礎(chǔ)，結(jié)合中國(guó)鐵路自身的特點(diǎn)，提出了鐵路救援基地的層級(jí)網(wǎng)絡(luò)理念，運(yùn)用層次分析法、灰色關(guān)聯(lián)分析等方法抽象出救援需求點(diǎn)。以救援基地建設(shè)成本最小和救援響應(yīng)時(shí)間最短為目標(biāo)函數(shù)建立模型并求解，但是該模型的覆蓋對(duì)象為抽象出的離散救援點(diǎn)。在現(xiàn)實(shí)生活中，鐵路突發(fā)事件往往具有很強(qiáng)的不確定性。救援需求點(diǎn)的評(píng)估工作難度大，準(zhǔn)確性低。鐵路救援列車(chē)部署車(chē)站對(duì)線(xiàn)路的覆蓋以弧段方式覆蓋更為準(zhǔn)確。有關(guān)弧段覆蓋模型的研究較少，1976年，Revelle等[9]提出了最大弧段覆蓋模型。Berman等[10]2007在廣義最大覆蓋模型基礎(chǔ)上改進(jìn)了傳統(tǒng)的弧段覆蓋模型。2016年，Blanquero等[11]考慮到需求點(diǎn)連續(xù)分布于網(wǎng)絡(luò)弧段，設(shè)施布設(shè)點(diǎn)也分布于網(wǎng)絡(luò)弧段的情況建立覆蓋模型。蔡文學(xué)等[12]結(jié)合覆蓋衰退理論和弧段覆蓋理論提出了覆蓋衰退函數(shù)，通過(guò)設(shè)立救援距離衰退函數(shù)描述“覆蓋水平”實(shí)現(xiàn)對(duì)弧段的連續(xù)覆蓋。馬云峰等[13]通過(guò)建立時(shí)間滿(mǎn)意函數(shù)保障了救援的時(shí)效性和連續(xù)覆蓋。本文結(jié)合鐵路突發(fā)事件的特點(diǎn)，構(gòu)建考慮時(shí)間滿(mǎn)意度和弧段覆蓋率的覆蓋模型，在現(xiàn)有技術(shù)設(shè)備和既有的技術(shù)車(chē)站中部署救援列車(chē)，以實(shí)現(xiàn)救援列車(chē)部署車(chē)站對(duì)鐵路沿線(xiàn)的救援覆蓋，最后運(yùn)用拉格朗日松弛算法求解覆蓋模型。

1 鐵路救援列車(chē)部署車(chē)站選擇模型

鐵路救援列車(chē)部署車(chē)站選擇問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是在一定范圍內(nèi)的備選車(chē)站中，選取若干車(chē)站作為救援列車(chē)的部署車(chē)站，形成部署方案，以期對(duì)盡可能大范圍內(nèi)的線(xiàn)路提供突發(fā)事件條件下的救援服務(wù)。鐵路路網(wǎng)內(nèi)的救援列車(chē)部署點(diǎn)對(duì)突發(fā)事件求救地點(diǎn)實(shí)施救援時(shí)，其救援能力往往受限于合理救援范圍。本文結(jié)合救援的時(shí)效性等要求，運(yùn)用覆蓋理論，以車(chē)站合理救援范圍的基本約束，以救援點(diǎn)覆蓋率及救援時(shí)效性為優(yōu)化目標(biāo)，設(shè)計(jì)覆蓋率函數(shù)及時(shí)間滿(mǎn)意度函數(shù)，建立鐵路救援列車(chē)部署車(chē)站選擇模型。

1.1 模型假設(shè)

結(jié)合中國(guó)鐵路路網(wǎng)實(shí)際運(yùn)用現(xiàn)狀，也為了合理優(yōu)化計(jì)算規(guī)模，本文將對(duì)現(xiàn)有的中國(guó)鐵路線(xiàn)路網(wǎng)進(jìn)行一定的抽象處理并加以限定。

1) 對(duì)于無(wú)技術(shù)能力部署救援列車(chē)的車(chē)站被簡(jiǎn)化為線(xiàn)路，在路網(wǎng)中不再以節(jié)點(diǎn)的形式標(biāo)出。2) 有能力部署救援列車(chē)部署的技術(shù)站作為抽象路網(wǎng)中的節(jié)點(diǎn)。3) 樞紐內(nèi)有能力部署救援列車(chē)的技術(shù)站分布密集，但是將樞紐簡(jiǎn)化為一個(gè)節(jié)點(diǎn)，只能部署一次。樞紐內(nèi)各技術(shù)站間救援列車(chē)如何選址不做詳細(xì)區(qū)分。4) 節(jié)點(diǎn)對(duì)自身的救援能力均視為滿(mǎn)意救援和完全覆蓋。5) 模型中涉及到的救援距離僅指救援列車(chē)部署車(chē)站到救援地點(diǎn)之間的距離，不考慮救援列車(chē)在部署車(chē)站內(nèi)的走行距離。6) 救援的時(shí)間僅考慮救援列車(chē)從部署車(chē)站出發(fā)至救援地點(diǎn)的純運(yùn)行時(shí)間，不考慮救援列車(chē)啟動(dòng)程序的時(shí)間消耗和救援列車(chē)在車(chē)站內(nèi)走行的時(shí)間消耗。7) 復(fù)線(xiàn)鐵路不對(duì)線(xiàn)路上下行做區(qū)分，節(jié)點(diǎn)車(chē)站之間只認(rèn)為有一條無(wú)向邊相連。8) 本文假設(shè)救援列車(chē)收到求救信號(hào)后始終以安全允許最大速度vmax=120 km/h的時(shí)速奔赴救援地點(diǎn)。9) 本文假設(shè)黃金救援時(shí)間為t1=30 min，合理救援時(shí)間為t2=2 h，黃金救援距離為r=60 km，合理救援距離為R=240 km。10) 模型考慮不同救援列車(chē)部署車(chē)站對(duì)救援線(xiàn)路的聯(lián)合覆蓋率，但是不考慮不同救援列車(chē)部署車(chē)站同時(shí)對(duì)同一線(xiàn)路的聯(lián)合救援。

設(shè)G=(N, A)為經(jīng)簡(jiǎn)化抽象之后的無(wú)方向鐵路線(xiàn)路網(wǎng)絡(luò)，N表示網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)(經(jīng)抽象處理后僅保留技術(shù)性車(chē)站，及對(duì)樞紐抽象后的車(chē)站)集合，A表示網(wǎng)絡(luò)中的弧段(鐵路線(xiàn)路)集合。I表示在無(wú)方向網(wǎng)絡(luò)G中具備部署救援列車(chē)條件的車(chē)站的集合。j和 k分別為無(wú)方向網(wǎng)絡(luò)G中的救援點(diǎn)所在的弧段l的兩個(gè)端點(diǎn)，并以此來(lái)表示弧段 l。因?yàn)樵谀Ｐ椭行枰紤]覆蓋的方向，所以在網(wǎng)絡(luò)G中用弧段兩端的節(jié)點(diǎn)來(lái)表示弧段。

1.2 模型基礎(chǔ)

對(duì)模型中出現(xiàn)的變量描述如表1。

表1 模型符號(hào)定義表Table 1 Definition of model symbol

1.3 模型建立

考慮時(shí)間滿(mǎn)意度的覆蓋模型與最大覆蓋率的數(shù)學(xué)模型整理如下：

中國(guó)鐵路路網(wǎng)呈現(xiàn)出復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn)。為了描述在鐵路路網(wǎng)中某些鐵路線(xiàn)路和車(chē)站在路網(wǎng)中的重要性，本文借鑒復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論中關(guān)于“介數(shù)”和“度”[14]的概念。以網(wǎng)絡(luò)中經(jīng)過(guò)該邊的最短路徑數(shù)目作為邊的權(quán)重。將節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的度作為該節(jié)點(diǎn)的權(quán)重。分別將其賦予線(xiàn)路權(quán)重wjk和節(jié)點(diǎn)權(quán)重wi。

Fjk為救援列車(chē)部署車(chē)站對(duì)線(xiàn)路 ljk的聯(lián)合覆蓋率函數(shù)。當(dāng)救援列車(chē)以固定的安全允許最大運(yùn)行速度從車(chē)站趕赴求救地點(diǎn)，救援覆蓋水平隨著救援點(diǎn)與救援列車(chē)部署車(chē)站的距離增大而衰減。覆蓋率函數(shù)為：

式(10)中的R為合理救援距離；djk為i站從j站向k站對(duì)線(xiàn)路ljk的救援點(diǎn)實(shí)施救援時(shí)，從i站到j(luò)站的距離；ljk為施救線(xiàn)路 ljk的長(zhǎng)度；表示救援列車(chē)部署車(chē)站i從j站向k站對(duì)線(xiàn)路ljk的覆蓋水平。同理可得為救援列車(chē)部署車(chē)站i從k站向j站對(duì)線(xiàn)路ljk的覆蓋水平，如圖1所示。

圖1 覆蓋率示意圖Fig. 1 Simple map of coverage rate

關(guān)于約束條件式(2)和式(3)，線(xiàn)路 ljk可以被不同的救援列車(chē)部署車(chē)站i∈I從不同的方向進(jìn)行聯(lián)合覆蓋的，其覆蓋率從不同方向是可以聯(lián)合的，但是同一方向的覆蓋率只選取最大值，不考慮疊加。在如圖2所示的覆蓋環(huán)境下，從j站向k站對(duì)線(xiàn)路ljk進(jìn)行覆蓋的救援列車(chē)部署站中{i1, i2, i3}∈I選取其他覆蓋值將不累加入。同理，從k站向j站對(duì)線(xiàn)路ljk進(jìn)行覆蓋的救援列車(chē)部署站中{i4, i5, i6}∈I選取最終聯(lián)合覆蓋率因此可得更普遍的模型約束條件式(2)。

圖2 雙向聯(lián)合覆蓋示意圖Fig. 2 Simple map of two-way combined covering

當(dāng)聯(lián)合覆蓋出現(xiàn)聯(lián)合覆蓋率大于1的情況時(shí)。如圖3所示，以類(lèi)型Ⅰ為例：線(xiàn)路區(qū)段Δl即位于救援車(chē)站 i1的合理救援范圍內(nèi)，同時(shí)線(xiàn)路區(qū)段 Δl又位于救援車(chē)站i2的合理救援范圍內(nèi)。此時(shí)考慮節(jié)點(diǎn)權(quán)重時(shí)默認(rèn)為聯(lián)合覆蓋節(jié)點(diǎn)各提供50%的覆蓋，類(lèi)型Ⅱ同理。因此可得約束條件式(3)。

圖3 聯(lián)合覆蓋后出現(xiàn)重復(fù)覆蓋情況示意圖Fig. 3 Simple map of repeated coverage in combine covering

約束式(1)中，為救援列車(chē)部署車(chē)站 i對(duì)線(xiàn)路ljk實(shí)施救援的時(shí)間滿(mǎn)意度函數(shù)。在不考慮聯(lián)合救援的情況下，將接收i∈I中對(duì)線(xiàn)路ljk覆蓋滿(mǎn)意度最大的救援方向。如圖4所示，以類(lèi)型I為例，設(shè)時(shí)間滿(mǎn)意函數(shù)，其中表示從i站經(jīng)j站向線(xiàn)路ljk實(shí)施救援的時(shí)間滿(mǎn)意度，表示從i站經(jīng)k站向線(xiàn)路ljk實(shí)施救援的時(shí)間滿(mǎn)意度，類(lèi)型Ⅱ同理。因此可得約束條件式(4)。

圖4 基于時(shí)間滿(mǎn)意函數(shù)覆蓋示意圖Fig. 4 Simple map of coverage based on time satisfaction function

時(shí)間滿(mǎn)意度函數(shù)選取降高斯分布函數(shù)。因?yàn)?，?dāng)模型受到救援列車(chē)部署成本限制致使個(gè)別需求救援線(xiàn)路的實(shí)際距離已超出合理救援覆蓋距離時(shí)，其覆蓋程度為 0，該點(diǎn)的救援滿(mǎn)意度也將下降到一個(gè)極小值，但是即便如此也不能放棄對(duì)求救線(xiàn)路實(shí)施救援，隨意時(shí)間滿(mǎn)意度可以是極小值但是不能為0。時(shí)間滿(mǎn)意函數(shù)如式(11)所示：

式(11)中為從i站經(jīng)j站向線(xiàn)路ljk的求救點(diǎn)的距離；v為救援列車(chē)最大安全運(yùn)行速度；a為最佳救援時(shí)間。k(k>0)為時(shí)間滿(mǎn)意函數(shù)中的系數(shù)。系數(shù)k運(yùn)用最小二乘法學(xué)習(xí)獲得。

發(fā)生鐵路突發(fā)事件的鐵路線(xiàn)路 ljk將接收至少來(lái)自一個(gè)救援車(chē)站的救助。所以設(shè)置約束條件，如式(5)所示。當(dāng)救援具體實(shí)施時(shí)，僅考慮單一救援列車(chē)部署車(chē)站對(duì)救援線(xiàn)路實(shí)施救援，故可得約束條件式(6)。基于對(duì)新建救援列車(chē)部署車(chē)站成本高的考慮，以及現(xiàn)有技術(shù)設(shè)備充分利用的角度出發(fā)，決策者可以在現(xiàn)有的技術(shù)站中根據(jù)各個(gè)鐵路局(鐵路公司)的實(shí)際能力選擇救援列車(chē)部署車(chē)站的數(shù)量，因此，設(shè)置約束條件式(7)。約束式(8)和(9)中xi和是0-1狀態(tài)變量，xi=1表示在救援列車(chē)部署車(chē)站集合I中的i點(diǎn)被選擇部署救援列車(chē)，否則xi=0。=1則線(xiàn)路ljk上的突發(fā)事件點(diǎn)將接收來(lái)自部署在車(chē)站i的救援列車(chē)的救援，否則=0。

2 算法設(shè)計(jì)

有關(guān)覆蓋模型的解決方法前人們嘗試過(guò)分枝定界法，蟻群算法和貪婪算法等啟發(fā)式算法，都得出了計(jì)算結(jié)果。Dantrakul等[15]嘗試運(yùn)用貪婪算法求解考慮設(shè)施構(gòu)建成本和運(yùn)輸成本的P中位問(wèn)題和P中心問(wèn)題，并以實(shí)際算例驗(yàn)證了貪婪算法解決該問(wèn)題的有效性。LAI等[16]提出了一種基于最小生成樹(shù)問(wèn)題最優(yōu)解變形而改進(jìn)的近似算法用以解決中位問(wèn)題，通過(guò)與傳統(tǒng)近似算法的比較證明了該算法解的有效性和優(yōu)質(zhì)性。其中拉格朗日松弛算法是解決集合覆蓋問(wèn)題的經(jīng)典算法，SAIF等[17]設(shè)計(jì)了一種封閉式的表達(dá)式用以求解拉格朗日乘子，并將拉格朗日啟發(fā)式算法嵌入到分枝定界法中用以求解設(shè)施選址問(wèn)題。Kim 等[18]以醫(yī)療設(shè)施選址為研究背景，建立了考慮個(gè)人偏好因素的整數(shù)規(guī)劃模型，設(shè)計(jì)了基于拉格朗日松弛算法和次梯度松弛算法的啟發(fā)式算法對(duì)模型進(jìn)行求解。本文也采用拉格朗日松弛算法解決考慮時(shí)間滿(mǎn)意度與最大覆蓋率的鐵路救援列車(chē)部署車(chē)站選址模型，求解過(guò)程如下：

Step 1：將難約束式(14)收斂入目標(biāo)函數(shù)可得式(19)：

Step 2：初始化拉格朗日因子λ0=0.5；

Step 3：對(duì) λt，從 Z(λt)中任意選取一個(gè)次梯度 st；如果st=0則λt達(dá)到最優(yōu)解而停止計(jì)算；否則λt+1=max{λt+θt·st,0}，t=t+1，重復(fù)循環(huán) Step 3。

其中，迭代乘子 θt=θ0·ρt，迭代乘數(shù) ρ∈(0,1)。本文選取ρ=0.6。

Step 4：設(shè)置循環(huán)停止原則。1)設(shè)：ΔZ=Zt+1?Zt，當(dāng)ΔZ<σ，σ為足夠小的小數(shù)時(shí)(本文設(shè)σ=0.000 1)，停止循環(huán)，輸出目標(biāo)函數(shù)值。即目標(biāo)函數(shù)在規(guī)定步數(shù)內(nèi)的變化不超過(guò)0.000 1則中止計(jì)算。2) 如果 st=0則λt達(dá)到最優(yōu)解而停止計(jì)算。否則重復(fù)Step 3。

3 計(jì)算實(shí)例及結(jié)果分析

時(shí)間滿(mǎn)意函數(shù)中的系數(shù)k通過(guò)最小二乘法學(xué)習(xí)獲得，文中設(shè)計(jì)專(zhuān)家打分的方法獲得時(shí)間滿(mǎn)意度的測(cè)試值，并對(duì)測(cè)試值取平均值數(shù)處理。經(jīng)運(yùn)算處理可得擬合的系數(shù)k=0.906 1≈0.9。此時(shí)擬合數(shù)據(jù)表如表2所示。

擬合數(shù)據(jù)如圖5所示。

表2 時(shí)間滿(mǎn)意函數(shù)擬合數(shù)據(jù)表Table 2 Time satisfaction function fitting the data

圖5 時(shí)間滿(mǎn)意系數(shù)k擬合數(shù)據(jù)圖Fig. 5 Map of fitting the coefficient k in time satisfaction function

本文算例將結(jié)合中國(guó)鐵路總公司蘭州鐵路局所屬的車(chē)站及路網(wǎng)進(jìn)行模擬計(jì)算分析，首先將蘭州鐵路局所屬管內(nèi)的車(chē)站及線(xiàn)路進(jìn)行模型假設(shè)處理，可得如圖6所示的路網(wǎng)示意圖。

如圖6(b)所示的網(wǎng)絡(luò)G中，節(jié)點(diǎn)數(shù)N=20，各節(jié)點(diǎn)的編號(hào)對(duì)應(yīng)于變量xi的編號(hào)i。其中：{x1, x3, x5,x7, x9, x10, x11, x14, x15, x16, x18, x19}∈I。根據(jù)實(shí)際的線(xiàn)路里程數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 蘭州鐵路局管內(nèi)路網(wǎng)示意圖節(jié)點(diǎn)間里程數(shù)據(jù)Table 3 Distance data of Lanzhou railway administration’s network

圖6 蘭州鐵路局管內(nèi)路網(wǎng)環(huán)境示意圖Fig. 6 Simple map of Lanzhou railway administration’s network

結(jié)合本文對(duì)線(xiàn)路權(quán)重 wjk的定義，可得各線(xiàn)路區(qū)間的權(quán)重表4。

表4 蘭州鐵路局管內(nèi)路網(wǎng)示意圖線(xiàn)路權(quán)重?cái)?shù)據(jù)Table 4 Arc weights of Lanzhou railway administration’s network

在如圖6所示的路網(wǎng)示意圖中，節(jié)點(diǎn)的權(quán)重如表5。

在計(jì)算的過(guò)程中為了防止局部網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果陷入局部最優(yōu)，保障對(duì)樞紐權(quán)重的維護(hù)，模型計(jì)算的過(guò)程中去要對(duì)樞紐補(bǔ)增權(quán)重，確保樞紐在路網(wǎng)中的地位。經(jīng)運(yùn)算可得如下結(jié)論：當(dāng)p=5時(shí)計(jì)算可得，救援列車(chē)部署車(chē)站及對(duì)應(yīng)的線(xiàn)路覆蓋關(guān)系如表6所示。

表5 蘭州鐵路局管內(nèi)路網(wǎng)示意圖節(jié)點(diǎn)權(quán)重?cái)?shù)據(jù)Table 5 Node weights of Lanzhou railway administration’s network

表6 p=5時(shí)救援列車(chē)部署車(chē)站及覆蓋關(guān)系Table 6 Locating plans for securing trains and covering relationship when p=5

當(dāng)p=4時(shí)計(jì)算可得救援列車(chē)部署車(chē)站及對(duì)應(yīng)的線(xiàn)路覆蓋關(guān)系如表7所示。

表7 p=4時(shí)救援列車(chē)部署車(chē)站及覆蓋關(guān)系Table 7 Locating plans for securing trains and covering relationship when p=4

當(dāng)p=3時(shí)計(jì)算可得救援列車(chē)部署車(chē)站及對(duì)應(yīng)的線(xiàn)路覆蓋關(guān)系如表8所示。

表8 當(dāng)p=3時(shí)救援列車(chē)部署車(chē)站及覆蓋關(guān)系Table 8 Locating plans for securing trains and covering relationship when p=3

4 結(jié)論

1) 本文在最大覆蓋模型的基礎(chǔ)上，構(gòu)建覆蓋率函數(shù)和時(shí)間滿(mǎn)意度函數(shù)，尋求在現(xiàn)有的技術(shù)條件下，決策者可以根據(jù)其實(shí)際情況和能力部署救援列車(chē)，以達(dá)到救援列車(chē)對(duì)鐵路線(xiàn)路覆蓋率最大和時(shí)間滿(mǎn)意度最高的部署方案，在提高鐵路路網(wǎng)魯棒性的同時(shí)兼顧到鐵路救援的時(shí)效性。本文設(shè)計(jì)的救援列車(chē)的部署模型與方法為鐵路運(yùn)營(yíng)者在救援列車(chē)部署方案設(shè)計(jì)中提供理論依據(jù)。

2) 在對(duì)相關(guān)問(wèn)題的研究中我們發(fā)現(xiàn)，伴隨著路網(wǎng)結(jié)構(gòu)的完善和救援技術(shù)的發(fā)展，本文中的個(gè)別數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)抽象和假設(shè)后需要進(jìn)一步完善。文章在考慮救援列車(chē)對(duì)鐵路線(xiàn)路覆蓋的同時(shí)，僅以單一鐵路局為研究算例，使得計(jì)算結(jié)果具有較大的局限性。

3) 相關(guān)線(xiàn)路的權(quán)重僅以介數(shù)為指標(biāo)的計(jì)算不夠全面，沒(méi)有實(shí)際考慮到線(xiàn)路的戰(zhàn)略地位和線(xiàn)路的能力限制，以及對(duì)救援能力和覆蓋結(jié)果的均衡性有待進(jìn)一步研究。

[1] Hakimi S. Optimum location of switching centers in a communications network and some related graph theoretic problems[J]. Operations Research, 1965(13):462?475.

[2] Church R L, Revelle C. The maximal covering location problem[J]. Papers of Regional Science Association,1974(32): 101?118.

[3] Berman O, Krass D, Drezner Z. The gradual covering decay location problem on a network[J]. European Journal of Operational Research, 2005, 151(3): 474?480.

[4] Farahani R Z, Asgari N, Heidari N, et al. Covering problems in facility location: A review[J]. Computers &Industrial Engineering, 2012, 62(1): 368?407.

[5] Brimberg J, Schieweck R, Sch?bel A. Locating a median line with partial coverage distance[J]. Journal of Global Optimization, 2015, 62(2): 371?389.

[6] WANG J, LIU H, AN S, et al. A new partial coverage locating model for cooperative fire services[J].Information Sciences, 2016(373): 527?538.

[7] Albert Y, CHEN, YU Tingyi. Network based temporary facility location for the emergency medical services considering the disaster induced demand and the transportation infrastructure in disaster response[J].Transportation Research Part B, 2016(91): 408?423.

[8] WU Yanhua, WANG Fuzhang, LI Fang. Hierarchical planning location model of railway rescue center[J].Journal of Traffic and Transportation Engineering, 2013,13(3): 86?93.

[9] Revelle C, Toregas C, Falkson L. Applications of the location set-covering problem[J]. Geographical Analysis,1976, 8(1): 65?76.

[10] Berman O, Verter V, Bahar Y. Designing emergency response networks for hazardous materials transportation[J]. Computers & Operations research, 2007(34): 1374?1388.

[11] Blanquero R, Carrizosa E, G.-tóth B. Maximal covering location problems on networks with regional demand[J].Omega, 2016(64): 77?85.

[12] CAI Wenxue, SONG Shangjiang. Arc-covering continuous decay-considered emergency allocation ofhazardous materials transportation[J]. Logistics Technology, 2010(215): 68?70.

[13] MA Yunfeng, YANG Chao, ZHANG Min, et al. Timesatisfaction-based maximal covering location problem[J].Chinese Journal of Management Science, 2006, 14(2):45?51.

[14] GUO Shize, LU Zheming. Fundamental theories on complex network[M]. Beijing: China Science Press, 2012:43?53.

[15] Dantrakul S, Likasiri C, Pongvuthithum R. Applied p-median and p-center algorithms for facility location problems[J]. Expert Systems with Applications, 2014,41(8): 3596?3604.

[16] LAI X, XU Z. Improved algorithms for joint optimization of facility locations and network connections[J].European Journal of Operational Research, 2016, 250(3):745?753.

[17] Saif A, Elhedhi S. A Lagrangian heuristic for concave cost facility location problems: the plant location and technology acquisition problem[J]. Optimization Letters,2016, 10(5): 1087?1100.

[18] Kim D G, Kim Y D. A Lagrangian heuristic algorithm for a public healthcare facility location problem[J]. Annals of Operations Research, 2013, 206(1): 221?240.