數(shù)學，學什么

田獻增

題目 如圖1，在邊長為4的正方形ABCD中，請畫出以A為一個頂點，另外兩個頂點在正方形ABCD的邊上，且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形.（要求：只要畫出示意圖，并在所畫等腰三角形長為3的邊上標注數(shù)字3）

1 忘卻的記憶

筆者當看到南京試題的25題時，想起了2005年參加日照市中考試題命題時出的一道題：

一位園藝設(shè)計師計劃在一塊形狀為直角三角形且有一個內(nèi)角為60°的綠化帶上種植四種不同的花卉，要求種植的四種花卉分別組成面積相等，形狀完全相同的圖形圖案.某同學為此提供了如圖2所示的五種設(shè)計方案.其中可以滿足園藝設(shè)計師要求的有（ ）.

A.2種 B.3種 C.4種 D.5種

本題設(shè)計意圖是借助學生熟悉30°直角三角板，在考察30°角直角三角形、等邊三角形、矩形以及三角形中位線等知識點的同時，還考察了學生綜合探究能力或分類思想.題外之意是引導教師在教學或?qū)W生在學習時，要注意用數(shù)學的眼光觀察生活，培養(yǎng)學生的數(shù)學意識、數(shù)學思考.（解法略）

在命題過程中，原本想命制一道具有探究性的開放題，并以填空題或解答（畫圖）題形式展示.例如填空題形式：

一位園藝設(shè)計師計劃在一塊形狀為直角三角形且有一個內(nèi)角為60°的綠化帶上種植四種不同的花卉，要求種植的四種花卉分別組成面積相等，形狀完全相同的幾何圖案，其中可行的設(shè)計方案有 種.

本題從數(shù)學的角度考慮，若已經(jīng)找到n種方案，但沒找到第（n+1）種方案，又不能證明多于n（如n+1）種方案不存在.因此就改為試卷中的選擇題.

本題與南京中考試題第25題比較，筆者認為無論從數(shù)學素材的選擇，還是命題角度、意圖以及題目分析方法，都有相似之處.

2 題目解答過程中分類方法的探討

因為本題要求所畫出的三角形滿足以下條件：A為一個頂點；另外兩個頂點（不妨設(shè)為E，F(xiàn)）在正方形ABCD的邊上；一邊長為3；所有大小不同的等腰三角形.因此應先以等腰三角形的“頂點”（注：與三角形頂點含義不同）為標準進行分類討論.

（1）當AE=AF時，此時

①若AE=AF=3，有如圖3（1）一個等腰三角形.

②若EF=3，有如圖3（2）（5）兩個等腰三角形.

（2）當EA=EF時，此時

①若EA=EF=3，當點E在AB上時，有如圖3（3）一個等腰三角形；當點E在AD上時，有大小相等、形狀相同的三角形，同圖3（3）.

②若AF=3，當點F在AB上時，有如圖3（4）一個等腰三角形；當點F在AD上時，有大小相等、形狀相同的三角形，同圖3（4）.

（3）當FA=FE時，討論方法同（2）.因此本題滿足條件的所有等腰三角形如圖3所示.

3 對南京第25題設(shè)計意圖以及價值分析

（1）從本題考察的數(shù)學知識角度上看，解答本題用到的知識比較淺顯，如正方形、等腰三角形和線段中垂線”等性質(zhì)以及全等三角形直觀判定.

（2）從本題命題目的角度上看，因為該題背景對于學生來說特別熟悉.因此有“出其不意，攻其不備”之效.從學生最熟悉的“生活情境”中提出問題，并且用最基本的數(shù)學知識解決問題，這應是中小學數(shù)學教育的方向，也是課程標準的要求.“繁、難、偏”或數(shù)學內(nèi)部知識的疊加組合，無益于學生數(shù)學學習.培養(yǎng)學生的分析問題，解決問題的數(shù)學能力，探究問題的數(shù)學能力，深入挖掘日常生活中數(shù)學素材，同樣可以達到目的.

（3）從本題對教師學生心理影響上看，這樣的題目即使學生得分率很低，我想命題者也不會被學生、學生家長以及老師怨為“數(shù)學帝”.留給教師和學生的是自身的“反思”和“責備”.倘若是這樣，不正是“中考指揮棒”想達到的目的嗎？

（4）從本題解題的思想方法上看，除了考察運用“尺規(guī)作圖”思考問題的意識外，主要考察分類思想和方法.分類思想是數(shù)學中非常重要的思想方法.我曾經(jīng)和“當代教育家”雜志社主任王湘蓉“開過玩笑”——數(shù)學學習關(guān)鍵在于“分類”，對于低年級學生來說，要加強分類意識的培養(yǎng)和分類標準教學.學生分類意識薄弱，分類標準不清，難以學好數(shù)學.從這個意義上講，分類或許是數(shù)學思維的“核心”，數(shù)學能力的“基礎(chǔ)”.

事實上，學生對于數(shù)學知識掌握的多與寡，走向社會后（培養(yǎng)數(shù)學精英除外）對于自身發(fā)展影響不大.日本數(shù)學家米山國藏說過：“作為知識的數(shù)學出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學的精神、數(shù)學的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地地發(fā)生作用，使人終身受益.學生將知識忘卻了以后剩下的東西，這其中核心的成分是數(shù)學思維.”本題的價值正是在于留給學生的“分類”數(shù)學思維和數(shù)學的意識與數(shù)學的思考.也正是這種數(shù)學思想是學生走向社會或繼續(xù)學習必備的素質(zhì).