電子自旋角動量的升降算符*

呼和滿都拉，麗 麗，楊洪濤，冀文慧，韓明初，孔令茹

(1.集寧師范學(xué)院;2.呼倫貝爾學(xué)院)

1 電子自旋角動量的升降算符的推導(dǎo)

以表示電子自旋角動量算符，假設(shè)其分量都是厄密的，等等)而且滿足與軌道角動量一樣的對易式，即

亦即

這樣假設(shè)的理由是，軌道角動量曾從這種對易式出發(fā)，導(dǎo)出角動量(平方及投影)的本征值，其中的情況剛好和電子自旋相符合.

根據(jù)實驗測量，S在任何方向的投影的取值只能是，因此成立下列算符關(guān)系:

(1)至(3)式包括了電子自旋角動量的全部性質(zhì).其中(1)式是任何角動量的共性.(2)，(3)式則是電子自旋特有的.

為了簡化運算，引入無量綱的“泡利自旋算符”σ，

則(1)式變成

亦即

(2)式變成

(3)式變成

以σx分別從右和左乘(5)式，再利用(6)式，易得

類似地可證

以(8')式代入式(5)，既得

(6)，(8)，(9)式可以統(tǒng)一成一個公式

其中α，β，γ各自代表(x，y，z)三個分量中任何一個，εαβγ為 Levi－ Civita 符號，定義為［1］

由于Sx，Sy，Sz互不對易，沒有共同本征態(tài)，電子的自旋狀態(tài)一般只能采用下述表達(dá)方式.任取的一個分量Sz，以它的本征態(tài)作為基本自旋函數(shù)，任何自旋態(tài)則表示成這些本征態(tài)的線性疊加.Sz取本征值時，本征態(tài)記為或α，本征值的本征態(tài)記為χ1或β即

電子的任何自旋態(tài)χ可以表示成

這就是以Sz作為自旋變量時自旋波函數(shù)的表示形式，所以(13)式左端也可寫成χ(S2)，c1和c2就是當(dāng)S等于±時波函數(shù)χ的值，c和c的概z12率含義則是

當(dāng)然，自旋波函數(shù)應(yīng)該滿足歸一化條件

在Sz表象中，S及σ各分量應(yīng)該表示成二階厄密矩陣，其中Sz，σz為對角矩陣，對角元等于本征值.因此可以直接寫出

下面來確定σx和σy的矩陣表示，設(shè)［1］為實數(shù)，因為

由(8)式，易得a=c=0，而由(6)式，又得bb*=1至此已經(jīng)沒有公式可以利用了.作為一種簡明的選擇，取b=1，則

再利用(9)式(σzσx=iσy)，即可定出σy，總的結(jié)果是

這就是著名的泡利矩陣.容易驗證，這三個矩陣滿足(6)至(9)全部關(guān)系式，泡利矩陣對于及的作用結(jié)果是

因此

如將σ換成S，(18)式就是

2 電子自旋角動量升降算符的性質(zhì)

所以［σ+σ1］=4σz.

另外可得［σz，σ+］= ［σz，σx］=i［σz，σy］=2σ+.

取共軛可得［σz，σ-］=-2σ-.

通過此題能深刻理解電子自旋角動量升降算符的性質(zhì).

3 電子自旋角動量升降算符的應(yīng)用

(a)寫出它們的具體函數(shù)表達(dá)式.

(b)對于χ10，說明它是下列哪幾個算符的本征函數(shù)，本征值等于什么?

分析:(a)由二電子體系可直接寫出其4個本征函數(shù).

α(1)α(2)］，故:χ10不是σ1x+σ2x的本征函數(shù).

通過此題能深刻理解電子自旋角動量升降算符的應(yīng)用.總結(jié):在量子力學(xué)的所有力學(xué)量中，電子自旋角動量是最能顯示微觀世界基本物理特性的物理量之一［2］.電子自旋角動量的升降算符的性質(zhì)是量子力學(xué)中非常重要的性質(zhì)，與其他算符同樣重要，甚至重于其他算符，對這些推導(dǎo)及性質(zhì)的熟練掌握會對解題有很大的幫助，能加深你對算符的理解.

［1］錢伯初.量子力學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2005:151－162.

［2］周世勛.量子力學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2009:172－184.