正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析為何選擇復(fù)數(shù)法

張立新

(江蘇省如皋高等師范學(xué)校)

0 引言

交流電是人類智慧的創(chuàng)造發(fā)明，人創(chuàng)有序運(yùn)動與自然界有序運(yùn)動一樣蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)關(guān)系.交流電動勢、電壓、電流均用正弦函數(shù)表示，描述電路的基本定律是基爾霍夫方程.第一定律指出:流進(jìn)與流出節(jié)點(diǎn)的電流代數(shù)和等于零，數(shù)學(xué)形式即是對正弦函數(shù)的電流求和.第二定律表述是:沿任意回路的電動勢和電壓的代數(shù)和等于零，對應(yīng)數(shù)學(xué)形式就是對正弦函數(shù)的電動勢和電壓求和.顯然三角函數(shù)的方法應(yīng)該是交流電路的主體數(shù)學(xué)工具.但是，為什么求解正弦穩(wěn)態(tài)電路的基爾霍夫方程時(shí)，一般不選擇三角函數(shù)法也不選擇旋轉(zhuǎn)矢量法而選擇復(fù)數(shù)法.

1 三角函數(shù)法與正弦交流電路

在尋找交流電路的數(shù)學(xué)工具的過程中，人們肯定不會首先考慮旋轉(zhuǎn)矢量法與復(fù)數(shù)法.交流電是時(shí)間的正弦函數(shù)，優(yōu)先考慮的應(yīng)該是直接運(yùn)用三角函數(shù)計(jì)算.

首先看正弦函數(shù)的加法.設(shè)交流電頻率恒定，當(dāng)兩條支路電流匯合到總路時(shí)需要對正弦函數(shù)求和，現(xiàn)令

運(yùn)用三角函數(shù)有關(guān)公式可求出總電流

其中電流有效值由下式確定

電流的初相位由正弦或余弦函數(shù)確定

顯然兩個同頻率正弦電流相加之后，結(jié)果仍然是相同頻率的正弦函數(shù)，僅幅值與初相角發(fā)生了變化，該規(guī)律可推廣到若干個正弦函數(shù)的迭加.由于電源電動勢、電流電壓都是正弦函數(shù)，所以基爾霍夫定律可以用正弦函數(shù)的迭加表述如下

關(guān)鍵是運(yùn)用第二定律計(jì)算時(shí)，各元件電壓需要以元件的瞬時(shí)伏安關(guān)系式來代入，且這種伏安關(guān)系不能通過三角函數(shù)的加減乘除等運(yùn)算來反映，必須采用微積分方法來描述.其中電阻的伏安關(guān)系式是

電感的伏安關(guān)系式為di

電容的伏安關(guān)系式是

根據(jù)元件伏安式可列出第二定律的微分方程.通常將上述第一第二定律組成的方程組稱為“時(shí)域”方程組.可見，所謂“三角函數(shù)法”準(zhǔn)確地說應(yīng)該是——“三角函數(shù)運(yùn)算+微分積分運(yùn)算+求解微分－積分方程組”的綜合數(shù)學(xué)方法.

微分－積分方程的解函數(shù)是暫態(tài)解與穩(wěn)態(tài)解之和.暫態(tài)解(通解)表示電路剛接通電源而未到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的過渡電流函數(shù)，它由齊次方程求出，再用初始條件確定待定常數(shù).暫態(tài)解的特點(diǎn)是:隨著時(shí)間的推移，電流按指數(shù)規(guī)律衰減最終歸于0.穩(wěn)態(tài)解(特解)表示電路接通電源一定時(shí)間后電路進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的電流函數(shù)，穩(wěn)態(tài)解由非齊次方程確定，一般根據(jù)方程右端的函數(shù)類型去猜想特解的函數(shù).對正弦穩(wěn)態(tài)電路而言其特解仍然是正弦函數(shù)，采用待定系數(shù)法可以確定穩(wěn)態(tài)解的有效值與初相角.

總之，就理論而言三角函數(shù)法完全能夠與交流電路建立全面而系統(tǒng)的數(shù)學(xué)聯(lián)系，是求解正弦交流電路的所謂“正宗”數(shù)學(xué)工具.交流電路的暫態(tài)解與穩(wěn)態(tài)解理論上都可通過微分–積分方程組解出.但求解微分－積分方程的過程非常復(fù)雜，即使放棄暫態(tài)解僅求穩(wěn)態(tài)解，從微分方程來確定各正弦量的幅值與初相角還是非常困難.因此，求解正弦穩(wěn)態(tài)電路最終沒有選擇“三角函數(shù)法”.

2 旋轉(zhuǎn)矢量法與正弦穩(wěn)態(tài)電路

求解微分方程的繁瑣促使人們?nèi)ふ逸^為簡便的數(shù)學(xué)方法.為解決問題方便人們將暫態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程分開考慮，專門研究電路的穩(wěn)態(tài)解.一般說來工頻交流電路的頻率不變，可用有效值與相位兩個物理量來描述交流電.聯(lián)想到平面矢量也包含兩個要素:大小和方向，那么是否可以用矢量替代正弦函數(shù)呢?

科學(xué)家正是沿著這樣的思路做了探索.人們用矢量的“長度”表示正弦量的有效值，用矢量的“方向角”表示正弦量的相位(ωt+φ)，這樣的矢量是長度不變且勻速轉(zhuǎn)動的所謂——“旋轉(zhuǎn)矢量”.不難理解:旋轉(zhuǎn)矢量在t時(shí)刻向y軸的投影恰好就是正弦函數(shù);旋轉(zhuǎn)矢量在t=0時(shí)刻的方向角就是正弦函數(shù)的初相角.若將兩個電流用旋轉(zhuǎn)矢量表示，由于它們以相同的角速度旋轉(zhuǎn)，它們之間保持相對靜止.因此計(jì)算兩個旋轉(zhuǎn)矢量的合成時(shí)，可用t=0時(shí)各個矢量的初相位代替相位，求出結(jié)果后再還原成(ωt+φ)形式.

現(xiàn)在證明:頻率恒定時(shí)正弦函數(shù)加法與旋轉(zhuǎn)矢量加法具有等價(jià)性.如圖1所示，根據(jù)平行四邊形法則總電流矢量為

I=I1+I2

圖1 兩個電流矢量的加法

矢量的大小由余弦定理給出

矢量的方向角是

根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量與正弦量之間的對應(yīng)關(guān)系，將其還原為正弦函數(shù)，故總電流是

可見旋轉(zhuǎn)矢量加法(包括減法)與正弦函數(shù)加法存在嚴(yán)格的一一對應(yīng)關(guān)系，高等代數(shù)稱兩種元素集合是“同構(gòu)”關(guān)系.于是可用旋轉(zhuǎn)矢量的加減法代替正弦函數(shù)的加減法.電源電動勢、電流、電壓都是正弦函數(shù)，它們均可由旋轉(zhuǎn)矢量替代，因此基爾霍夫定律用旋轉(zhuǎn)矢量法表述如下

該表述在數(shù)學(xué)形式上是正確的，全部的困難在于具體計(jì)算.與前面的三角函數(shù)法類似，第二定律運(yùn)用于電路計(jì)算時(shí)，各電壓矢量必須用各元件的伏安關(guān)系代入.反映到數(shù)學(xué)上的困難是:我們不能用矢量代數(shù)來表達(dá)元件的這種伏安關(guān)系!即矢量的標(biāo)積、矢積、混合積等代數(shù)運(yùn)算規(guī)則與這里的交流電路測量實(shí)踐風(fēng)馬牛不相及.因此，旋轉(zhuǎn)矢量法表述的電路定律僅具有矢量代數(shù)形式而不具備矢量代數(shù)的本質(zhì)，這就決定了矢量法有限的實(shí)用價(jià)值.

對簡單的串聯(lián)并聯(lián)電路而言，不需要求解基爾霍夫方程組，此時(shí)旋轉(zhuǎn)矢量法可以派上用場，具體計(jì)算時(shí)需要依靠直觀的矢量幾何圖展開.對純串聯(lián)電路而言只有單一回路，根據(jù)第二定律可畫出電壓矢量三角形和阻抗三角形;對純并聯(lián)電路而言可取一節(jié)點(diǎn)作研究對象，并根據(jù)第一定律繪出電流矢量三角形和導(dǎo)納三角形;且標(biāo)量形式的歐姆定律全部蘊(yùn)含在矢量圖之中.因此這種方法具有鮮明的“矢量圖解”特征［1］.矢量的直觀性使得目前還有教材介紹該種方法.由于矢量法對復(fù)雜電路的無能為力，因此它不能成為交流電路完全徹底的數(shù)學(xué)工具.專業(yè)性較強(qiáng)的電路原理和電工學(xué)教材都不選擇這種數(shù)學(xué)方法.

3 復(fù)數(shù)法與正弦穩(wěn)態(tài)電路

3.1 虛數(shù)的起源

有人說在求解二次方程x2+1=0的過程中誕生了虛數(shù).筆者認(rèn)為這種解釋缺乏說服力.就實(shí)踐方面看，該方程與實(shí)際應(yīng)用無聯(lián)系，它不能提供任何感性認(rèn)識來幫助人們理解虛數(shù)的存在.從理論方面看，這個簡單方程無法使我們從整個復(fù)數(shù)域的邏輯統(tǒng)一性來理解方程的虛數(shù)解，所以在人們對虛數(shù)完全無知的情況下，執(zhí)著地求解這個方程很容易陷入的矛盾困境，而暫時(shí)認(rèn)為該方程無解并不違背既有的實(shí)數(shù)運(yùn)算規(guī)則.總之，單獨(dú)的這個二次方程不能使代數(shù)學(xué)內(nèi)部產(chǎn)生尖銳的矛盾，因而不能產(chǎn)生足夠強(qiáng)大的動力導(dǎo)致虛數(shù)的誕生.

然而，在求解三次方程過程中暴露出的實(shí)數(shù)域的局限性使人們再也無法回避負(fù)數(shù)開方的問題了.許多數(shù)學(xué)家對三次方程做了研究，其中以卡丹求根公式最為著名，不妨簡要回顧一下卡丹公式推導(dǎo)過程.我們知道三次方程一般形式為

對未知量做適當(dāng)變換可消去二次項(xiàng)成為

求解這個缺項(xiàng)的三次方程等價(jià)于求解一般形式的三次方程.運(yùn)用純數(shù)技術(shù)推導(dǎo)出卡丹公式為

且有

早期，人們還沒有建立“復(fù)數(shù)范圍開三次方必有三個方根以及三次方程必有三個解”的清晰概念，可理解卡丹公式表述了三次方程的一個實(shí)根，不妨稱為“實(shí)數(shù)域卡丹公式”.然而就在求解這個實(shí)根的過程中暴露了實(shí)數(shù)域的局限性，暴露了因式分解與卡丹公式的數(shù)值計(jì)算之間存在著邏輯障礙.

現(xiàn)在求解一個具體的三次方程

將原方程分解因式

求得三個實(shí)根

人們自然想到用卡丹公式來求解.對于上述三次方程顯然有

代入公式求出α和β

這里遇到前所未有的困難:負(fù)數(shù)需要開平方!當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家大惑不解:為什么用因式分解很容易求解的三次方程用卡丹公式卻不可以呢?為何兩種方法不能做到殊途同歸呢?此時(shí)不正視負(fù)數(shù)開方問題就不能解決代數(shù)變換與數(shù)值計(jì)算之間的尷尬局面.在求解三次方程的尖銳矛盾推動下終于導(dǎo)致虛數(shù)誕生，并建立了復(fù)數(shù)集以及包含復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)則的復(fù)數(shù)域.且卡丹公式表述為［2］

稱為“復(fù)數(shù)域卡丹公式”.其中ω1和ω2是1的三個立方根中的兩個

過去，采用因式分解法只能求出那些容易分解因式的三次方程的根，不能求解所有的三次方程.采用“實(shí)數(shù)域卡丹公式”同樣不能盡如人意，實(shí)數(shù)域施行數(shù)值計(jì)算會碰到種種限制，所以卡丹公式充其量也只能求解少數(shù)方程的實(shí)根.復(fù)數(shù)域建立后，人們終于能夠暢通無阻地求解所有三次方程了.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，我們繼續(xù)順著前面的計(jì)算思路求出α和β，并將α與β的數(shù)值代入“復(fù)數(shù)域卡丹公式”得到

至此，因式分解法與卡丹公式法終于到達(dá)殊途同歸的完美境界.在求解三次方程過程中我們走進(jìn)了虛數(shù)世界和無理數(shù)世界，但最終仍回歸到有理數(shù)世界，得到三個整數(shù)解與因式分解的結(jié)果完全相同.總之，虛數(shù)的誕生首先不是起源于工程技術(shù)而是求解三次代數(shù)方程的邏輯需要.實(shí)踐是檢驗(yàn)理論的標(biāo)準(zhǔn)，對于純代數(shù)方程來說，所謂實(shí)踐檢驗(yàn)就是將解出的根代入原方程，若左邊 =右邊，則表明所求方程的根滿足邏輯要求.事實(shí)上在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，所求三次方程的三個根均滿足:左邊 =右邊.

確實(shí)人為因素.然而從歐拉公式蘊(yùn)含的幾何意義來理解，這個開方真是開出來了:－1=±i它開天辟地的開出了空間一個新維度，這個新維度垂直于實(shí)軸被稱為虛軸，實(shí)軸與虛軸構(gòu)成了復(fù)平面.如果說i表示維度的一個方向，那么－i是它的反方向，顯然兩個平方根的含義表示誕生了新直線而不是射線.

今天，從人類可實(shí)踐范疇的認(rèn)識論歷史來理解:由于復(fù)數(shù)集覆蓋了實(shí)數(shù)集，它理應(yīng)具有更大的應(yīng)用范圍.但在復(fù)數(shù)誕生之初，在人們對虛數(shù)還存有疑慮甚至排斥的年代，確實(shí)難以想象虛數(shù)有什么實(shí)踐應(yīng)用.

3.2 復(fù)數(shù)應(yīng)用于正弦穩(wěn)態(tài)電路

正弦函數(shù)與復(fù)數(shù)的具體變換方法是［3］

其中

上述電流和電壓是與時(shí)間無關(guān)的復(fù)常數(shù)，其模是正弦量的有效值，幅角是正弦量的初相位，這種用復(fù)數(shù)表示的正弦量稱為“相量”.因正弦量變換成相量后不考慮旋轉(zhuǎn)因子ejωt，所以問題大大簡化.復(fù)平面上所有相量的相位(ωt+φ)均由初相角φ表示.相量圖由各正弦量的有效值和初相角繪出，求出的電流與電壓相量后可還原為正弦函數(shù).

數(shù)學(xué)推導(dǎo)可將交流電路的微分方程組轉(zhuǎn)換為復(fù)代數(shù)方程組.現(xiàn)在證明:頻率恒定時(shí)正弦函數(shù)加法與復(fù)數(shù)加法具有等價(jià)性.運(yùn)用復(fù)數(shù)加法規(guī)則計(jì)算得到

且有

根據(jù)相量與正弦量之間的對應(yīng)關(guān)系，將相量還原為正弦函數(shù)，得到總電流是

可見復(fù)數(shù)加法(包括減法)與正弦函數(shù)加法存在嚴(yán)格的一一對應(yīng)關(guān)系，這兩種元素集合也是高等代數(shù)的所謂“同構(gòu)”關(guān)系.于是可用復(fù)數(shù)的求和代替正弦函數(shù)的求和.因此基爾霍夫定律用復(fù)代數(shù)方程表述如下

與前面三角函數(shù)法和旋轉(zhuǎn)矢量法的情況類似，運(yùn)用第二定律計(jì)算電路時(shí)，各元件電壓相量需要以伏安關(guān)系式代入.可從元件的伏安瞬時(shí)表達(dá)式推導(dǎo)出對應(yīng)的伏安相量關(guān)系式.

對正弦電流求導(dǎo)

對正弦電流積分

因此元件的瞬時(shí)式變換為相量式是

顯然電壓與電流相量之比得到電阻、復(fù)感抗、復(fù)容抗.如果研究對象是若干元件組成的無源二端網(wǎng)絡(luò)，一般定義復(fù)阻抗為相量電壓與電流之比

該定義不僅是純理論建構(gòu)的需要，而且包含著測量實(shí)踐與理論的和諧統(tǒng)一.變形得到

這就是復(fù)數(shù)形式的歐姆定律，它反映了正弦穩(wěn)態(tài)電路中具有普遍意義的元件伏安關(guān)系.當(dāng)頻率恒定時(shí)，元件復(fù)阻抗完全決定于元件的二元參數(shù).當(dāng)頻率變化時(shí)復(fù)阻抗也隨之變化，復(fù)阻抗成為頻率的函數(shù)，交流諧振電路中專門研究復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納隨頻率的變化規(guī)律.人們通常也將復(fù)數(shù)形式的基爾霍夫方程稱為“頻域”方程組.總之，對于正弦穩(wěn)態(tài)電路，如果引入復(fù)電壓、復(fù)電流、復(fù)阻抗的概念，運(yùn)用復(fù)數(shù)基爾霍夫定律加上復(fù)數(shù)歐姆定律即可方便地求解電路問題.

前面討論的微分–積分方程組包含了電路的暫態(tài)解與穩(wěn)態(tài)解，這里的復(fù)代數(shù)方程組只能求電路的穩(wěn)態(tài)解.兩者比較:微分–積分方程組具有普遍意義而復(fù)代數(shù)方程組屬于特殊性.但這種特殊性是電路長期工作呈現(xiàn)的狀態(tài)，因此求解穩(wěn)態(tài)電路具有實(shí)踐應(yīng)用價(jià)值.事實(shí)上，求解復(fù)代數(shù)方程組比求解微分－積分方程組要簡單得多.并且復(fù)平面的相量圖可取代實(shí)平面的旋轉(zhuǎn)矢量圖.此外，交流電路還用到電導(dǎo)、電納和導(dǎo)納等概念，它們都可以用復(fù)數(shù)相量來定義;而且，交流電路的迭加原理、戴維南定理、諾爾頓定理等都可用復(fù)數(shù)相量實(shí)施計(jì)算.

3.3 虛數(shù)電學(xué)量與測量實(shí)踐

4結(jié)束語

頻率恒定時(shí)對線性運(yùn)算而言正弦函數(shù)、旋轉(zhuǎn)矢量、復(fù)數(shù)這三種集合完全等價(jià)，高等代數(shù)中稱為一一對應(yīng)的“同構(gòu)”關(guān)系.正是同構(gòu)關(guān)系決定了它們都可表述基爾霍夫定律并實(shí)施相關(guān)電路計(jì)算.但三種數(shù)學(xué)方法中元件的伏安關(guān)系式不同:三角函數(shù)法中伏安式用微積分表述;旋轉(zhuǎn)矢量法中伏安式用標(biāo)量歐姆定律表述;復(fù)數(shù)法中伏安式用復(fù)數(shù)歐姆定律表述.不同的伏安關(guān)系式?jīng)Q定了三種方法的實(shí)際應(yīng)用走向:理論上三角函數(shù)法是解決交流電路的正宗數(shù)學(xué)工具但求解微積分方程十分繁瑣;旋轉(zhuǎn)矢量法對復(fù)雜電路暴露出局限性;只有復(fù)數(shù)電路定律在理論計(jì)算中顯得特別簡潔方便，且計(jì)算結(jié)果與電工測量實(shí)踐保持統(tǒng)一性.因此正弦穩(wěn)態(tài)電路的數(shù)學(xué)分析最終選擇了復(fù)數(shù)法.

電路數(shù)學(xué)原理中后來又引入了復(fù)頻率概念，電路“暫態(tài)過程”的求解也化繁為簡:運(yùn)用拉普拉斯變換同樣可將微分方程轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)代數(shù)方程.如今，近代物理學(xué)中復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)獲得了更加廣泛的應(yīng)用.復(fù)數(shù)與物質(zhì)世界的密切聯(lián)系再次表明:虛數(shù)不是虛無縹緲的，虛數(shù)和復(fù)數(shù)不僅存在于邏輯思維的數(shù)學(xué)方程中，而且蘊(yùn)含在物質(zhì)的結(jié)構(gòu)與運(yùn)動秩序之中.

［1］趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué):第三版［M］.北京:高等教育出版社，2012.452–457.

［2］李傳芳，陳汝作，陳永明.高次方程［M］.上海:上海教育出版社，1979.18–22.

［3］于歆杰，朱桂平，陸文娟.電路原理［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2010.273–274.