考慮誤差的行星滾柱絲杠副滾柱承載分布

馬尚君，劉 更，付曉軍，張文杰，喬 冠

(陜西省機(jī)電傳動(dòng)與控制工程實(shí)驗(yàn)室(西北工業(yè)大學(xué))，710072西安)

行星滾柱絲杠副(planetary roller screw mechanism，PRSM)是一種可將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換成直線運(yùn)動(dòng)的機(jī)械傳動(dòng)裝置［1］，廣泛應(yīng)用于直線機(jī)電作動(dòng)系統(tǒng)［2-3］、醫(yī)療設(shè)備［4］和精密機(jī)床［5］等需要直線作動(dòng)的場(chǎng)合.建立考慮誤差的滾柱螺紋牙承載分布計(jì)算模型對(duì)于PRSM參數(shù)設(shè)計(jì)和研究其傳動(dòng)性能具有重要意義，但目前關(guān)于PRSM的研究主要集中于運(yùn)動(dòng)學(xué)［6］、接觸特性［7］及傳動(dòng)效率［8］和傳動(dòng)精度［9］等方面，關(guān)于滾柱承載分布的研究還不深入.楊家軍等［10］基于赫茲接觸變形與軸向變形的關(guān)系，建立了承載分布計(jì)算公式，并進(jìn)一步研究了PRSM剛度特性.Jones等［11］采用直接剛度法，計(jì)算了絲杠側(cè)和螺母?jìng)?cè)螺紋承載分布，研究了滾柱和螺紋牙數(shù)目對(duì)PRSM剛度的影響規(guī)律.Rys等［12］將滾動(dòng)體等效成矩形單元，建立了剪切力作用下絲杠側(cè)和螺母?jìng)?cè)承載分布計(jì)算公式，并與有限元解進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證.上述研究為PRSM承載分布和傳動(dòng)性能研究奠定了理論基礎(chǔ)，但均未計(jì)入誤差影響，而且螺紋結(jié)構(gòu)參數(shù)等因素對(duì)滾柱承載分布的影響規(guī)律研究尚不充分.

本文基于文獻(xiàn)［10］承載分布求解思路，即在絲杠受軸向拉力和螺母受軸向壓力作用下，其相對(duì)應(yīng)的絲杠伸長(zhǎng)量和螺母的壓縮量與在第i個(gè)和第i+1個(gè)螺紋牙處的赫茲變形的軸向分量之差相等，考慮誤差影響構(gòu)建PRSM滾柱承載分布計(jì)算模型，并進(jìn)一步研究負(fù)載、接觸角、螺旋升角、滾柱螺紋牙數(shù)和螺紋副材料彈性模量比等因素對(duì)滾柱承載分布的影響規(guī)律.

1 PRSM滾柱承載分布建模

1.1 模型假設(shè)

根據(jù)PRSM結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和傳動(dòng)原理，作如下假設(shè):1)多個(gè)滾柱承載分布相同;2)絲杠側(cè)與螺母?jìng)?cè)承載分布一致，且絲杠側(cè)和螺母?jìng)?cè)誤差分布相同;3)絲杠和螺母材料屬性一致，滾柱材料屬性不同于絲杠和螺母;4)在軸向載荷作用下，幾何誤差不會(huì)導(dǎo)致絲杠、螺母和滾柱接觸角發(fā)生變化.

1.2 考慮誤差的PRSM滾柱承載分布建模

在PRSM傳動(dòng)中，滾柱螺紋牙型通常加工成球面，多個(gè)滾柱同時(shí)參與嚙合，以提高承載能力和傳動(dòng)平穩(wěn)性.滾柱螺紋牙具有多體多點(diǎn)接觸特征.基于模型假設(shè)，滾柱與絲杠和螺母的接觸狀態(tài)如圖1.

圖1 考慮誤差的滾柱承載分布模型

圖1為滾柱第i個(gè)螺紋牙在絲杠軸向力Fsi和螺母軸向力Fni作用下的平衡狀態(tài)，實(shí)線和虛線分別表示滾柱螺紋牙與絲杠和螺母螺紋牙接觸發(fā)生彈性變形前后的狀態(tài).a點(diǎn)和b點(diǎn)為第i個(gè)螺紋牙和第i+1個(gè)螺紋牙與螺母的接觸點(diǎn)，c點(diǎn)和d點(diǎn)為第i個(gè)螺紋牙和第i+1個(gè)螺紋牙與絲杠的接觸點(diǎn).σi+1和σi分別表示第i+1個(gè)螺紋牙與第i個(gè)螺紋牙總的幾何誤差.εa、εb、εc和εd分別表示 4個(gè)接觸點(diǎn)的軸向偏差.δi+1和δi分別表示第i+1個(gè)螺紋牙與第i個(gè)螺紋牙彈性變形量.由圖1可知，滾柱相鄰螺紋牙上接觸點(diǎn)a和b的幾何誤差在軸截面的法向分量分別為σi+1/sinβ和σi/sinβ，同理，滾柱相鄰螺紋牙上接觸點(diǎn)a和b的彈性變形量在軸截面的法向分量分別為δi+1/sinβ和δi/sinβ.根據(jù)力平衡關(guān)系可知［13］

其中:Fsi和Fni分別為滾柱第i個(gè)螺紋牙在絲杠側(cè)和螺母?jìng)?cè)所受軸向力，Pj為第j個(gè)螺紋牙所受法向力，β為接觸角，λ為螺旋升角.F為總軸向力.總軸向力與滾柱螺紋牙載荷的關(guān)系可以表示為

其中:M為滾柱數(shù)量，N為單個(gè)滾柱上螺紋牙數(shù)目.

由圖1幾何關(guān)系可知，第i個(gè)螺紋牙和第i+1個(gè)螺紋牙的幾何誤差在軸向的分量分別為σi/sinβcosλ和σi+1/sinβcosλ，則第i個(gè)螺紋牙和第i+1個(gè)螺紋牙產(chǎn)生的彈性變形量在軸向的分量分別為δi/sinβcosλ和δi+1/sinβcosλ.

由于在第i到i+1個(gè)螺紋牙之間，PRSM受到絲杠及螺母對(duì)滾柱的軸向拉力及壓力作用，故在i與i+1螺紋牙處的絲杠側(cè)和螺母?jìng)?cè)的軸向偏差分別為

式(3)和式(4)等號(hào)右邊第一項(xiàng)表示第i個(gè)螺紋牙的兩個(gè)接觸點(diǎn)含誤差的相對(duì)軸向偏差，第二項(xiàng)表示第i+1個(gè)螺紋牙的兩個(gè)接觸點(diǎn)含誤差的相對(duì)軸向偏差.根據(jù)赫茲接觸理論可知［14］

式(5)、(6)中，fs、fn分別表示兩接觸側(cè)剛度系數(shù).

根據(jù)PRSM受力狀態(tài)，將絲杠和螺母分別等效為圓柱和空心圓柱，則絲杠受到的軸向拉伸量和螺母受到的軸向壓縮量分別為

其中:Esr、Enr分別為兩接觸物體材料的當(dāng)量彈性模量，As和An分別為絲杠和螺母的有效接觸面積，p為螺距.

根據(jù)赫茲接觸變形與軸向變形關(guān)系，在絲杠受軸向拉力和螺母受軸向壓力作用下，相對(duì)應(yīng)的絲杠伸長(zhǎng)量及螺母的壓縮量與在第i到i+1個(gè)螺紋牙的赫茲接觸變形量的軸向分量之差相同.

將式(1)、(2)、(5)～(8)代入式(3)、(4)，再將式(3)和式(4)相加，可得考慮誤差的滾柱螺紋牙承載分布計(jì)算模型:

由式(9)可見，誤差項(xiàng)(等式右邊第二項(xiàng))直接影響接觸點(diǎn)接觸狀態(tài)，導(dǎo)致滾柱螺紋牙各接觸點(diǎn)承載分布發(fā)生變化.

1.3 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文模型的正確性，并與文獻(xiàn)［11］采用直接剛度法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，故采用文獻(xiàn)［11］初始參數(shù)(如表1所示).直接剛度法是將PRSM等效成一個(gè)彈簧系統(tǒng)，根據(jù)接觸點(diǎn)變形、剛度和力的關(guān)系建立矩陣方程，求解各接觸點(diǎn)力.本文是根據(jù)PRSM兩接觸側(cè)相鄰螺紋牙變形協(xié)調(diào)關(guān)系導(dǎo)出了含誤差的承載分布計(jì)算模型.文獻(xiàn)［11］求解承載分布沒有考慮誤差影響，故式(9)中等號(hào)右邊第二項(xiàng)為零，計(jì)算結(jié)果如圖2所示.

表 1 PRSM 參數(shù)［11］

由圖2可見，本文滾柱承載分布計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［11］計(jì)算結(jié)果吻合很好，特別是滾柱各螺紋牙承載比例范圍和前幾個(gè)螺紋牙承載變化趨勢(shì)吻合程度較高，故驗(yàn)證了本文所建模型的正確性.

圖2 滾柱各螺紋牙承載比例對(duì)比

2 PRSM滾柱承載分布規(guī)律

2.1 隨機(jī)誤差分布

為了便于研究，將各個(gè)螺紋牙載荷Fi對(duì)總載荷F進(jìn)行量綱一化，并假設(shè)PRSM的幾何誤差是一種隨機(jī)誤差，且服從正態(tài)分布，圖3給出了平均誤差為 0，標(biāo)準(zhǔn)方差Sd=0.002 7 μm 的誤差曲線圖.

圖3 滾柱螺紋牙隨機(jī)誤差分布

2.2 不同軸向力對(duì)承載分布的影響

滾柱螺紋牙承載分布與負(fù)載大小直接相關(guān)，選取負(fù)載為 5、10、20、50、80 kN，接觸角和螺旋升角分別為45°和11.532 6°，采用圖3所示誤差分布.Es/Er=1∶1，表示絲杠和滾柱材料彈性模量相同.計(jì)算結(jié)果如圖4所示.

圖4 載荷對(duì)滾柱螺紋牙承載分布的影響

由圖4可見，在相同誤差分布下，負(fù)載越小，滾柱承載分布波動(dòng)越大，而且前3個(gè)螺紋牙承載比例相差較大.當(dāng)負(fù)載達(dá)到50 kN以上時(shí)，滾柱螺紋牙的承載分布基本保持不變，且波動(dòng)減小.隨著負(fù)載增大，各個(gè)螺紋牙的承載比例變化減小，這恰好反映了PRSM在承受較大軸向載荷時(shí)，能夠保持較高的傳動(dòng)精度和平穩(wěn)性的特點(diǎn).結(jié)合圖3可知，正誤差螺紋牙承載較大，說明負(fù)誤差能夠改善螺紋牙承載分布，而且負(fù)誤差更有利于降低前3個(gè)螺紋牙承載比例，從而避免過載導(dǎo)致牙斷裂和出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象.

2.3 接觸角對(duì)承載分布的影響

選取接觸角分別為 25°、30°、35°、40°、45°和50°，負(fù)載為50 kN，螺旋升角、誤差分布和材料彈性模量比不變.接觸角對(duì)滾柱螺紋牙承載分布的影響規(guī)律如圖5所示.

圖5 接觸角對(duì)滾柱螺紋牙承載分布的影響

由圖5可見，取不同接觸角值，滾柱螺紋牙承載分布變化趨勢(shì)保持不變.接觸角越大，前3個(gè)螺紋牙承載比例變化越大，均呈增大趨勢(shì)，這主要是因?yàn)榻佑|角增大，剛度系數(shù)fs和fn均減小.在相同誤差分布和負(fù)載下，接觸角越小，滾柱螺紋牙承載分布相對(duì)更均勻，而且在給定接觸角下，負(fù)誤差更有利于降低前3個(gè)螺紋牙承載比例.

2.4 螺旋升角對(duì)承載分布的影響

選取螺旋升角分別為 2.336 9°、4.666 0°、6.979 8°、9.271 0°和 11.532 6°，對(duì)應(yīng)螺距分別為p=1、2、3、4、5，負(fù)載為 50 kN，接觸角、誤差分布和材料彈性模量比不變.接觸角對(duì)滾柱螺紋牙承載分布的影響規(guī)律如圖6所示.

對(duì)比圖6和圖5可知，誤差分布和螺旋升角對(duì)滾柱螺紋牙承載分布的影響規(guī)律與接觸角相似，負(fù)誤差更有利于降低前3個(gè)螺紋牙承載比例，螺旋升角越大，對(duì)前3個(gè)滾柱螺紋牙承載分布影響越大.當(dāng)螺旋升角為2.336 9°時(shí)，滾柱螺紋牙承載比為 0.005 4～0.014 6，螺旋升角為 11.532 6°時(shí)，滾柱螺紋牙承載比為 0.001 7～0.035 1.可見，螺旋升角較小時(shí)，螺紋牙承載分布更加均勻.與此同時(shí)，螺旋升角的大小決定了PRSM的直線進(jìn)給速度，因此，在進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)綜合考慮速度指標(biāo)和承載要求.

2.5 滾柱螺紋牙數(shù)對(duì)承載分布的影響

選取滾柱螺紋牙數(shù)分別為5、8、10、15和20，考察其對(duì)滾柱螺紋牙承載分布的影響.接觸角和螺旋升角分別為 45°和 11.532 6°，負(fù)載為50 kN，誤差分布和材料彈性模量比不變.計(jì)算所得承載分布結(jié)果如圖7所示.

圖7 滾柱螺紋牙數(shù)對(duì)滾柱承載分布的影響

由圖7可得，滾柱第1個(gè)螺紋牙承載比例最大，隨著螺紋牙數(shù)的增大，各螺紋牙承載比例逐漸降低，載荷主要集中在前3個(gè)螺紋牙上.在本例所取參數(shù)條件下，當(dāng)螺紋牙數(shù)＞8時(shí)，后面各螺紋牙承載比例基本保持不變，而且誤差對(duì)承載比例的影響較小，是導(dǎo)致承載波動(dòng)的主因.由此，在PRSM結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)中，在滿足結(jié)構(gòu)承載條件下，應(yīng)盡量減小滾柱螺紋牙數(shù)，因?yàn)檠罃?shù)越多，滾柱結(jié)構(gòu)尺寸越大，使得整個(gè)螺母尺寸變大，PRSM總的行程減小，而且螺紋牙接觸點(diǎn)越多會(huì)產(chǎn)生更多的摩擦損耗和摩擦熱，進(jìn)而降低PRSM的傳動(dòng)效率.

2.6 材料彈性模量比對(duì)承載分布的影響

本節(jié)假定螺母和絲杠的材料彈性模量相等，考察材料彈性模量比在1∶10和10∶1之間變化時(shí)滾柱螺紋牙承載分布規(guī)律.負(fù)載為50 kN，接觸角、螺旋升角、誤差分布不變.計(jì)算結(jié)果如圖8.

圖8 材料彈性模量比對(duì)滾柱承載分布的影響

由圖8可以看出，在相同誤差分布下，隨著絲杠(或螺母)彈性模量的增大，滾柱螺紋牙承載分布均勻性變差，第1個(gè)螺紋牙承載比例較快增大，且當(dāng)絲杠(或螺母)彈性模量小于滾柱彈性模量時(shí)，前3個(gè)螺紋牙承載比例明顯下降.因此，在給定誤差分布下，降低絲杠(或螺母)彈性模量，特別是保證Es/Er＜1，可有效地改善滾柱螺紋牙承載分布.這是因?yàn)榻z杠(或螺母)彈性模量剛度降低，絲杠或螺母易于變形，前幾個(gè)螺紋牙承載分布集中程度降低，可將更多負(fù)載傳遞到后面各螺紋牙.但是，根據(jù)PRSM結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和傳動(dòng)原理可知，若滾柱和螺母嚙合時(shí)產(chǎn)生的彈性變形量過大，會(huì)導(dǎo)致滾柱相對(duì)于螺母發(fā)生軸向位移［15］，并產(chǎn)生較大滑動(dòng)摩擦，最終降低傳動(dòng)效率和位置精度.所以，為了達(dá)到改善滾柱螺紋牙承載分布的目的，通常僅在絲杠側(cè)保證Es/Er＜1即可.

3 結(jié)論

1)建立了考慮誤差影響的PRSM滾柱螺紋牙承載分布計(jì)算模型，系統(tǒng)分析了不同負(fù)載F、接觸角β、螺旋升角λ、滾柱螺紋牙數(shù)N和材料彈性模量比Es/Er對(duì)滾柱螺紋牙承載分布的影響.

2)在相同誤差分布下，負(fù)載越小，滾柱螺紋牙承載分布波動(dòng)越大，而且前3個(gè)螺紋牙承載比例相差較大.隨著負(fù)載增大，各個(gè)螺紋牙的承載比例變化減小.

3)接觸角和螺旋升角對(duì)滾柱螺紋牙承載分布的影響規(guī)律相同，隨著二者的增大，對(duì)前3個(gè)滾柱螺紋牙承載分布影響越大.在相同誤差分布和負(fù)載條件下，接觸角和螺旋升角越小，滾柱螺紋牙承載分布相對(duì)更加均勻.

4)隨著螺紋牙數(shù)的增大，各螺紋牙承載比例逐漸降低，載荷主要集中在前3個(gè)螺紋牙上，且滾柱第1個(gè)螺紋牙承載比例最大.

5)降低絲杠彈性模量，特別是保證Es/Er＜1可有效地改善滾柱螺紋牙承載分布.該分析方法可擴(kuò)展至考慮絲杠、滾柱和螺母材料均不相同的情況.

［1］MA S J，LIU G，ZHOU J X，et al.Optimal design and contact analysis for planetary roller screw［J］，Applied Mechanics and Materials，2011，86:361-364.

［2］CLAEYSSEN F，J?NKER P，LELETTY R，et al.New actuators for aircraft，space and military applications［C］//12th International Conference on New Actuators.Bremen:［s.n.］，2010:324-330.

［3］ LISCOU?T J，BUDINGER M，MARE J C，et al.Modelling approach for the simulation-based preliminary design of power transmissions［J］.Mechanism and Machine Theory，2011，46:276-289.

［4］OHASHI Y，ANDRADE A D，NOSé Y.Hemolysis in an electromechanical driven pulsatile total artificial heart［J］.Artificial Organs，2003，27(12):1089-1093.

［5］ BRANDENBURG G，BRüCKL S，DORMANN J.Comparative investigation of rotary and linear motor feed drive systems for high precision machine tools［C］//Proceedingsofthe6th InternationalWorkshop on Advanced Motion Control.Piscataway:IEEE，2000:384-389.

［6］VELINSKY S A，CHU B，LASKY T A.Kinematics and efficiency analysis of the planetary roller screw mechanism［J］.Journal of Mechanical Design，2009，131(1):011016-8.

［7］JONES M H，VELINSKY S A.Contact kinematics in the planetary rollerscrew mechanism［J］.Journalof Mechanical Design，2013，135(5):051003-10.

［8］馬尚君，劉更，佟瑞庭.行星滾柱絲杠副摩擦力矩及傳動(dòng)效率研究［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，45(11):74-79.

［9］ YOUSEF HOJJAT M，MAHDI A.A comprehensive study on capabilities and limitations of roller-screw with emphasis on slip tendency［J］.Mechanism and Machine Theory，2009，44:1887-1899.

［10］楊家軍，韋振興，朱繼生，等.行星滾柱絲杠副載荷分布及剛度計(jì)算［J］.華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，39(4):1-4.

［11］JONES M H，VELINSKY S A.Stiffness of the roller screw mechanism by the direct method［J］.Mechanics Based Design of Structures and Machines，2014，42:17-34.

［12］RYS J，LISOWSKI F.The computational model of the load distribution between elements in planetary roller screw［C］//9th International Conference on Fracture ＆Strength of Solids.Jeju:［s.n.］，2013.

［13］MEI X S，MASAOMI T，TAO T，et al.Study on the load distribution ofballscrews with errors［J］Mechanism and Machine Theory，2003，38:1257-1269.

［14］MA，S J，LIU G，TONG R T，et al.A new study on the parameter relationships of planetary roller screws［J］.Mathematical Problem in Engineering，2012，29pages，DOI:10.1155/2012/340437.

［15］JONES M H，VELINSKY S A.Kinematics of roller migration in the planetary roller screw mechanism［J］.Journal of Mechanical Design，2012，134(6):061006-6.