相鄰地形對地震動特性的影響分析

郝明輝 張郁山

中國地震災害防御中心，北京市朝陽區(qū)民族園路9號 100029

0 引言

大量震害調(diào)查、強震觀測以及理論研究表明（Borcherdt，1970；Andrews，1986；Assimaki et al，2013；王海云等，2010），局部地形會對地震波的傳播產(chǎn)生影響，這使得地震動空間分布特征呈現(xiàn)顯著的差異，從而影響著局地震害的程度及其分布。已有的研究工作主要集中在單一凸起或凹陷地形對地震動特性的影響等方面，Yuan等（1992）、袁曉銘等（1996）采用波函數(shù)展開法給出了半圓形凸起地形及任意圓弧型凸起地形對平面SH波散射的解析解，并利用解析解研究了凸起地形對地震動的放大效應(yīng)；梁建文等（2003）給出了圓弧形層狀凹陷地形對平面SH波散射的解析解，并將圓弧形單一凹陷地形解析解推廣到層狀凹陷地形；此外，很多學者采用有限差分法（Fuyuki et al，1980）、邊界元法（Ge et al，2008）、局部離散波數(shù)邊界積分法（Zhou et al，2006、2008）、有限元法（榮棉水等，2007；李英民等，2010）等數(shù)值計算方法研究單一凸起或凹陷地形對地震動特性的影響，定性和定量地總結(jié)了地形放大效應(yīng)的相關(guān)規(guī)律。然而，相鄰地形對地震動頻譜特性，尤其是對反應(yīng)譜特性的影響效應(yīng)研究一直較薄弱。事實上，天然地形受到相鄰地質(zhì)地貌結(jié)構(gòu)的影響，相鄰地形之間的動力相互作用會影響地形對地震動的放大效應(yīng)。隨著我國經(jīng)濟建設(shè)的快速發(fā)展，大跨度橋梁、管道、輸電塔（線）等大型線型工程大量涌現(xiàn)，多地貌單元復合場地的地震反應(yīng)分析越來越受到重視。我國《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》（中華人民共和國建設(shè)部，2010）也明確規(guī)定：對復雜地形或地形變化明顯的建筑場地，應(yīng)估計不利地段對設(shè)計地震動參數(shù)的放大作用。而復合地形因具有更加符合實際情況的特點以及實際工程的需要，使得眾多學者越來越重視對其的研究。研究復合地形對地震動的放大效應(yīng)，對于揭示該類地形波動效應(yīng)的物理機制以及更合理地確定位于該類地形上工程結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)防要求具有重要的理論和實際意義。

關(guān)于復合地形對地震動特性影響的研究通常采用2種方法：解析法和數(shù)值法。解析法盡管適于揭示波動問題的物理本質(zhì)，但在研究局部相鄰地形對地震波散射問題的適用性方面較為受限，目前僅限應(yīng)用于圓弧形、橢圓形凹陷或規(guī)則凸起地形對SH波的散射情況。劉殿魁等（1998）、呂曉棠等（2006）、杜永軍等（2009）、韓峰等（2011）根據(jù)“分區(qū)”、“契合”的思想，利用復變函數(shù)法和移動坐標的方法，研究了SH波作用下多個半圓形凸起地形、半圓形凸起與凹陷地形、雙等腰三角形凸起地形、等腰三角形與半圓形凹陷相連地形等的動力響應(yīng)問題；房營光（1995）給出了相鄰多個淺圓弧凹陷地形對平面SH波散射的級數(shù)解。對于非均勻、非彈性和邊界條件較復雜的情況，由于受地震波的散射折射和波型轉(zhuǎn)換的影響，問題變得非常復雜，因而解析法的應(yīng)用受到極大的限制。而數(shù)值法在計算機仿真技術(shù)及數(shù)值分析算法日新月異的今天，能夠滿足各種實際工程中復雜地形的地震動力響應(yīng)分析，并能在定量上給出結(jié)果，故已成為主流分析方法。劉晶波（1996）運用有限元法結(jié)合修正的透射人工邊界，研究了相鄰凸起地形中P波、SV波和瑞雷波傳播對地面運動的影響；榮棉水等（2007）研究了2個相鄰凸起臺地地形對入射P波傅氏譜特性的影響，研究結(jié)果表明，由于相鄰凸起地形的存在，山頂?shù)孛孢\動增大更明顯，山頂觀測點的譜比進一步增大；金丹丹等（2014）利用ABAQUS軟件研究由河漫灘、階地、波狀起伏的丘陵地帶、殘丘等組成的典型復合地形場地對SH波的影響，結(jié)果表明，相鄰地形對特定頻段地震動的放大效應(yīng)與聚集效應(yīng)比較明顯，局部地形變化將引起地震動持時差異，且持時與輸入地震動的特性相關(guān)。

本文在研究單一凸起地形對地震動反應(yīng)譜特性影響的基礎(chǔ)上（郝明輝等，2014），利用基于透射人工邊界的顯式動力有限元計算程序，通過在北京工業(yè)云計算平臺開展大規(guī)模數(shù)值計算工作，進一步研究了由2個及3個相鄰凸起構(gòu)成的復合地形對地震動反應(yīng)譜特性的影響，并分析了相鄰凸起之間距離的變化對計算結(jié)果的影響。

1 計算模型及輸入地震動

單一凸起地形、具有2個凸起和具有3個凸起的復合地形的計算模型如圖1所示。假設(shè)所有凸起平臺寬度均為50m，高度均為50m，坡角均為45°，相鄰凸起之間的距離為50m。計算區(qū)域的寬和高取凸起坡高的5倍，以滿足計算精度的要求并降低人工邊界數(shù)值誤差的影響。介質(zhì)假定為均質(zhì)、各向同性、線彈性介質(zhì)，其 P波波速vP=2000m/s，S波波速vS=1400m/s，阻尼比?=0。入射地震波為垂直入射的SV波?；诤旅鬏x等（2014）的研究結(jié)果，采用人工合成的地震動時程作為模型的輸入，其中一個樣本的加速度、速度和位移波形如圖2（a）所示，其反應(yīng)譜與目標反應(yīng)譜之間的比較如圖2（b）所示。人工地震動的合成方法參見文獻（張郁山等，2014）。

2 計算方法

2.1 集中質(zhì)量顯式有限元的內(nèi)點計算方法

圖1 單一凸起與相鄰凸起地形模型

圖2 輸入地震動時程及反應(yīng)譜

集中質(zhì)量顯式有限元的實質(zhì)是從當前時刻的節(jié)點運動方程推求下一時刻節(jié)點的運動，它不需要進行剛度、質(zhì)量、阻尼陣的集成，其右端項的形成只需在單元一級水平上根據(jù)每個單元對有效荷載向量的貢獻累加而成，這樣整個計算基本上在單元一級水平上進行，因此僅需要很小的高速存貯區(qū)，計算效率較高。尤其當一系列單元的剛度陣、質(zhì)量陣、阻尼陣相同時，就不需要重復計算，效率更高。

對于內(nèi)點，由動力平衡條件可建立運動方程

其中，［M］、［C］、［K］分別為集中質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，分別為t時刻內(nèi)節(jié)點處的運動加速度、速度、位移以及節(jié)點載荷（劉晶波等，2005）。

對于式（1），參考李小軍等（1993）采用中心差分法和 Newmark常平均加速度方法相結(jié)合的顯式差分格式，最終得到局部節(jié)點系內(nèi)節(jié)點1的位移顯式遞推公式

其中，Ne表示與節(jié)點1相關(guān)的單元總數(shù)；表示單元內(nèi)的節(jié)點總數(shù)；α、β為瑞雷阻尼系數(shù)；表示與節(jié)點i相關(guān)的單元剛度矩陣；M1表示節(jié)點1的質(zhì)量；表示p時刻節(jié)點1處的荷載表示pΔt時刻節(jié)點1的位移和速度，時刻節(jié)點 1的位移。

2.2 人工透射邊界

通過直接在邊界上模擬波動從有限模型的內(nèi)部穿過人工邊界向外透射的過程，推導離散的局部人工邊界條件式為

本文采用上述基于透射人工邊界的顯式有限元計算方法，編制了并行化的計算程序，并移植到北京工業(yè)云計算平臺上運行。有限單元采用四邊形等參元的形式，人工邊界采用二階透射邊界處理方法，相應(yīng)的內(nèi)點和邊界點的顯式數(shù)值積分公式如式（2）。采用2m×2m的有限元網(wǎng)格對計算區(qū)域進行離散，根據(jù)輸入地震動的卓越頻譜成分（圖2）和地形介質(zhì)的力學參數(shù)，該網(wǎng)格能夠滿足高頻地震動計算精度的要求。

針對輸入的每組地震動樣本，求解凸起地形的動力反應(yīng)，即可得到所有空間點地震反應(yīng)的時間過程，將該時間過程的反應(yīng)譜除以自由場反應(yīng)譜即可得到不同空間點的譜比曲線，用以描述凸起地形對地震動的放大效應(yīng)，即

2.3 方法驗證

為了驗證本文計算方法的正確性及計算結(jié)果的精度，計算了如下規(guī)則地形具有解析解的算例。

從二維半無限空間中截取6m×50m的有限范圍，頂端自由，單元網(wǎng)格尺寸為1m×1m。材料彈性模量E=2.4×107Pa，泊松比ν=0.2，質(zhì)量密度ρ=1.0×103kg/m3。 在底部垂直向上入射x方向單位脈沖剪切位移波和y方向的單位脈沖壓縮位移波

其中，f=4，0≤t≤0.25，其波形如圖3所示。

圖3 入射位移波

圖4給出了基于透射邊界顯式有限元方法計算得到的模型底部、中部、頂部的水平向和豎直向位移時程曲線與理論解的比較。入射波由底部向上傳播在自由地表發(fā)生反射，自由地表處的位移幅值為輸入波幅值的2倍。本文的計算結(jié)果與理論解吻合得很好，證明了本文計算方法的正確性和有效性。

圖4 透射邊界計算結(jié)果與理論解比較

3 相鄰地形對地震動反應(yīng)譜特性的影響

首先，以2個相鄰凸起地形模型為例分析相鄰地形對地震動反應(yīng)譜特性的影響效應(yīng)。由于模型的對稱性，僅考慮圖1（b）所示10號點左側(cè)地表點的譜比。不同空間點的譜比曲線如圖5所示。由圖5可以看出，相鄰地形地表各觀測點譜比曲線的形狀與單一凸起地形（郝明輝等，2014）基本相同；平臺段地表點（點5、6、7）的譜比值顯著高于其他部位的地表點，平臺段中點（點6）及頂點（點5、7）的譜比值相差不大，最大值達到了1.94；對于斜坡段（點3、4、5），在大部分周期點處，頂點（點5）的譜比值大于其它斜坡點，在周期小于0.5s的頻段，腳點（點3）的譜比值均小于1，對輸入地震動起到削弱的作用；對于坡底段（點 1、2、3），在大部分周期點處，地表不同觀測點的譜比值基本在腳點（點3）與計算邊界點（人工邊界點，即點1）對應(yīng)的譜比值之間變化。

圖5 地表點譜比曲線

不同反應(yīng)譜控制周期點（T=0.1s，T=1.0s）及峰值加速度PGA對應(yīng)的譜比在地表的變化如圖6所示。由圖6可以看出，頻率越高（如T=0.1s對應(yīng)的譜比和PGA對應(yīng)的放大倍數(shù)），地形對地震動的放大倍數(shù)的空間變化越劇烈；而長周期地震波波長較長，對尺度相對較小的局部相鄰地形不是十分敏感，放大倍數(shù)的空間變化相對平緩。

圖6 不同周期點譜比的空間變化

下面在地震動輸入一致的條件下，分析單一凸起地形、2個凸起相鄰地形及3個凸起相鄰地形等對地震動反應(yīng)譜特性的影響。圖7（a）給出了3種地形模型中同一凸起平臺中點（圖1中觀測點6）的譜比曲線。由于相鄰地形的影響，卓越周期（本文將其定義為譜比最大值對應(yīng)的周期）向高頻段移動。譜比最大值由單一凸起地形的1.57增加至2個相鄰地形的1.94，為單一凸起的1.2倍。當具有3個相鄰凸起時，譜比最大值高達2.31，達到單一凸起的1.5倍。可以看出，相比單一凸起地形，相鄰地形的存在對地震動譜比曲線的形狀影響較小，但是，其對譜比的具體值卻產(chǎn)生了顯著的影響。工程實例中，在評估局部地形對地震動的放大效應(yīng)時，應(yīng)考慮鄰近地形對評估結(jié)果的這種影響效應(yīng)，否則會低估地形對地震動的放大效應(yīng)。

此外，由于相鄰地形的影響，地震動放大效應(yīng)在特定頻段較為明顯，而且隨著凸起個數(shù)的增加，放大效應(yīng)對應(yīng)的周期段變窄且其中心略向高頻處偏移。隨著凸起個數(shù)的增多，高頻段（0.01～0.30s）的放大倍數(shù)增大，低頻段（1.0～6.0s）相差不大，而中間頻段（0.3～1.0s）在不同周期點處，放大倍數(shù)與凸起個數(shù)之間的關(guān)系沒有明顯的規(guī)律。圖7（b）給出了3個相鄰凸起地形模型中間凸起平臺段中點（圖1（c）中觀測點 14）、單一凸起地形模型平臺段中點（圖1（a）中觀測點6）及2個相鄰凸起地形模型左側(cè)平臺段中點（圖1（b）中觀測點6）的譜比曲線?？梢钥闯觯瑢τ诤?個凸起的相鄰地形，由于左右相鄰凸起臺地的影響，地震波能量聚焦效應(yīng)更為顯著，從而導致地震動的放大效應(yīng)更為明顯，中間凸起平臺段中點（圖1（c）中觀測點14）的譜比值高達2.77，是單一凸起地形平臺段中點譜比最大值的1.8倍，同時也高于3個凸起地形中圖1（c）所示觀測點6對應(yīng)的譜比值（圖7（a））。

圖7 地表關(guān)鍵節(jié)點譜比曲線

圖7（c）是3種地形模型中同一腳點（圖1中觀測點3）的譜比曲線，圖7（d）是3種地形模型中內(nèi)側(cè)腳點（考慮到模型的對稱性，對于圖1（a）所示單一凸起地形模型即為觀測點3；圖1（b）所示2個相鄰凸起地形模型的觀測點9；圖1（c）所示3個相鄰凸起地形模型的觀測點9）的譜比曲線。由圖7（c）、7（d）可以看出，對于小于0.5s的周期點，腳點對地震動大致起到削弱作用（譜比值小于1.0），而對大于0.5s的周期點，腳點處地震動反應(yīng)譜與自由場地震動相差不大，這說明針對工程實例所考慮的地形尺度而言，由于長周期地震波波長較長，故局部地形對其影響較小。另外，隨著凸起個數(shù)的增多，尤其是增加到3個凸起時，腳點處地震動的高頻（0.01～0.30s）反應(yīng)譜譜值增大。由圖7可知，對模型中同一觀測點（如觀測點3、6）而言，譜比曲線的形狀基本相同，即凸起個數(shù)的變化對地震動反應(yīng)譜放大（或縮?。╊l段的范圍幾乎沒有影響。

將凸起平臺的寬度、高度以及相鄰凸起的間距保持不變，變化凸起的坡角（相鄰凸起坡角保持相等），可以得到不同空間點對應(yīng)的地形譜比值與坡角之間的關(guān)系。不同反應(yīng)譜控制周期點（T=0.1s，T=1.0s）對應(yīng)的平臺中點譜比值隨坡角變化曲線如圖8所示。由圖8可以看出，對于T=0.1s的高頻成分，3種計算模型中平臺中點譜比值隨坡角變化表現(xiàn)出一致的規(guī)律性：當坡角小于20°時，隨著坡角的增大，譜比值增大，而當坡角大于20°時，隨著坡角的增大，譜比值減小，而且坡角大于40°時，譜比值基本小于1。另外，針對相同坡角，譜比值受凸起個數(shù)的影響不是十分明顯，含3個凸起相鄰地形模型中間凸起平臺段中點（即觀測點14）的譜比值在20°坡角時最大，為1.4。對于T=1.0s的長周期成分，3種地形模型中平臺段中點譜比值對坡度變化均不是十分敏感。另外，當坡角小于35°時，針對相同坡角，譜比值隨凸起個數(shù)增多呈減小趨勢，但幅值變化幅度仍然不大。

圖8 不同周期點譜比隨坡度變化曲線

地震動峰值放大倍數(shù)隨坡角的變化如圖9所示。由圖9可以看出，對于3種計算模型，在坡高和平臺寬度不變的情況下，峰值加速度和峰值速度隨坡角的增加基本呈增大趨勢，與峰值速度相比，峰值加速度對坡角的變化更敏感，如“相鄰地形31”平臺段中點（觀測點6）峰值加速度的放大倍數(shù)由1.23增大到1.60，而峰值速度的則由1.1增大到1.2。另外，峰值加速度和峰值速度的放大倍數(shù)隨凸起個數(shù)增多呈增大趨勢。峰值位移對坡角變化不是十分敏感，放大倍數(shù)基本在1.0附近，而且峰值位移隨凸起個數(shù)變化的規(guī)律也不是十分明顯。這主要是因為地震動峰值位置主要受長周期地震波成分的控制，而長周期地震波波長較長，對上述算例所對應(yīng)的地形尺度不敏感，這導致地形幾何參數(shù)的變化及相鄰地形的動力相互作用效應(yīng)對地震動峰值位移影響不大，其對應(yīng)的放大倍數(shù)也在1.0附近作微小變化。

圖9 地震動峰值放大倍數(shù)隨坡度變化曲線

4 相鄰凸起間距對計算結(jié)果影響的分析

以2個凸起相鄰地形模型（圖1（b））為例，分析相鄰地形之間的距離對計算結(jié)果的影響，將相鄰凸起的間距分別取為50、100、400、800、2000m，輸入地震動仍采用上述人工地震動時程。圖10給出了不同間距模型中不同觀測點譜比曲線。由圖10可以看出，對于平臺段中點（圖1（b）中觀測點6），當2個凸起之間的距離小于800m時，各周期點處譜比值基本大于單一凸起地形，說明相鄰地形的放大效應(yīng)大于單一凸起模型，而且當間距為100m時，譜比值最大達到1.99。當間距達到2000m時，相鄰地形的放大效應(yīng)基本與單一凸起地形接近，說明相鄰地形的放大效應(yīng)只在一定的凸起間距范圍內(nèi)起作用，但地形放大倍數(shù)與間距之間并未呈現(xiàn)出明顯的單調(diào)遞減的趨勢。另外，相鄰凸起間距變化，基本不改變譜比曲線形狀，即不改變放大縮小的頻段。對于左側(cè)腳點（圖1（b）中觀測點3）而言，凸起間距對譜比曲線的影響規(guī)律類似于平臺中點；對于相鄰2個凸起之間坡底段中點（圖1（b）中觀測點10）而言，相鄰凸起間距的變化導致了譜比曲線發(fā)生了顯著改變，并且當間距高達2000m時，其譜比曲線與單一凸起相比仍有一定差異。

圖10 地表不同觀測點譜比曲線

圖11 不同周期處譜比隨凸起間寬度的變化

圖11給出了平臺中點（觀測點6）、左側(cè)腳點（觀測點3）及凸起間坡底段中點（觀測點10）不同控制周期點（T=0.1s，T=1.0s）反應(yīng)譜的放大倍數(shù)與相鄰凸起間距之間的關(guān)系。從圖11（a）可以看出，對于0.1s地震動反應(yīng)譜，其譜比最大值出現(xiàn)在凸起間寬度為100m時凸起平臺段中點處，最大值為1.22；相鄰凸起間寬度在小于800m的情況下，左側(cè)腳點及凸起間平臺段中點的譜比都呈先增大后減小的趨勢，而平臺段中點的譜比呈先減小后增大的趨勢。這是由于相鄰地形的存在，地震波在傳播過程中發(fā)生了復雜的反射與折射，對局部不規(guī)則地形、不同觀測點的影響產(chǎn)生差異；當相鄰凸起間寬度大于800m時，各觀測點譜比隨凸起間寬度的變化不是十分敏感，說明寬度對高頻波的影響僅在一定的寬度范圍內(nèi)較為顯著。從圖11（b）所示的周期為1.0s時地震動反應(yīng)譜的譜比與凸起間距之間的變化趨勢可以看出，左側(cè)腳點和平臺段中點譜比隨間距變化不大，而凸起間平臺段中點的譜比在間距小于400m時呈先增大后減小的趨勢，當間距大于400m時，對譜比隨間距的變化影響不大。比較圖11（a）、11（b）可知，在間距相同的情況下，對平臺中點及左側(cè)腳點，相鄰地形對低頻地震動的放大倍數(shù)大于對高頻地震動的放大倍數(shù)；而對凸起間平臺段中點，相鄰地形對高頻地震動的放大倍數(shù)大于對低頻地震動的放大倍數(shù)。

5 討論與結(jié)論

基于顯式動力有限元計算方法和透射人工邊界處理方法，編制了求解局部不規(guī)則地形對地震波散射問題的并行有限元計算程序，以此為基礎(chǔ)，通過在北京工業(yè)云計算中心開展大規(guī)模的數(shù)值模擬工作，探討了相鄰地形的存在對局部地形對地震動參數(shù)放大效應(yīng)的影響。結(jié)果表明，與單一凸起地形相比，相鄰地形的存在對地震動反應(yīng)譜譜比曲線的形狀影響不大，但是，其對地震動反應(yīng)譜的放大倍數(shù)具有顯著的影響，含多個相鄰凸起的組合地形對地震動反應(yīng)譜的放大倍數(shù)顯著高于單一凸起地形。相鄰凸起對地震動地形放大倍數(shù)的這種增大效應(yīng)與地表觀測點的位置以及地震動反應(yīng)譜的周期相關(guān)，而且受凸起的坡度與相鄰凸起間距的影響。隨著相鄰凸起之間距離的增加，這種增大效應(yīng)逐漸減弱，組合凸起對地震動的放大效應(yīng)逐漸接近單一凸起。

上述結(jié)果表明，由于相鄰凸起之間存在著動力相互作用效應(yīng)，這種效應(yīng)會對地形對地震動參數(shù)的地形放大倍數(shù)產(chǎn)生不可忽視的影響（就本文所涉及的算例而言，在工程感興趣的頻率范圍內(nèi)，組合凸起對地震動的放大倍數(shù)可達到單一凸起放大倍數(shù)的1.8倍）。因此，在評估局部地形對地震動的影響效應(yīng)時，或者在建立地形放大效應(yīng)的經(jīng)驗預測模型時，應(yīng)考慮這種相鄰地形的動力相互作用效應(yīng)對分析結(jié)果的影響。