高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)案例探究

楊 軍，王明星

(新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830054)

筆者曾經(jīng)是一位在中學(xué)任教的數(shù)學(xué)教師，如今在大學(xué)任教.在從中學(xué)教師到大學(xué)教師身份轉(zhuǎn)換的過(guò)程中，一直在思考一個(gè)問(wèn)題，為什么大學(xué)四年學(xué)了那么多高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，但是卻鮮有能夠直接用在中學(xué)數(shù)學(xué)中的相關(guān)內(nèi)容呢？(當(dāng)然我們從不奢望高等數(shù)學(xué)的知識(shí)都可以用在中學(xué)數(shù)學(xué)中，這樣的想法既不現(xiàn)實(shí)，也不可行.因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)并不僅是為大學(xué)生從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而準(zhǔn)備的)為此，筆者認(rèn)真研讀了德國(guó)著名數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因的名著《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》，在這本名著中作者認(rèn)為“數(shù)學(xué)教師應(yīng)具有較高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn).觀點(diǎn)越高，事物就越顯得簡(jiǎn)單”.大師的觀點(diǎn)使筆者深受啟發(fā)，受益匪淺.也正是基于這種思想，筆者拋磚引玉，通過(guò)案例分析的形式，并特別遵循“自下而上”的“草根視角”，探尋其背后蘊(yùn)含的高觀點(diǎn)，從而為挖掘高等數(shù)學(xué)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)作用提供些許啟發(fā).

1 從相似三角形的對(duì)應(yīng)邊到集合的基數(shù)

1.1 相似三角形的對(duì)應(yīng)邊

已知ΔABC～ΔDEF，其中AB與DE，BC與EF，AC與DF分別為對(duì)應(yīng)邊.如何深刻理解相似三角形邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？

據(jù)此，可以得出線段BC上的點(diǎn)和線段EF上點(diǎn)的個(gè)數(shù)一樣多.從而可以得到一個(gè)令人不可思議的結(jié)論：一條較長(zhǎng)線段上的點(diǎn)居然和一條較短線段上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)一樣多，換言之，“部分”居然等于“整體”.這個(gè)結(jié)論不僅會(huì)困擾我們，在歷史上也同樣困擾著諸多數(shù)學(xué)家，例如伽利略、克羅內(nèi)克等.而最終回答了上述困惑的是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾，康托爾通過(guò)建立集合之間的一一映射關(guān)系定義了集合的基數(shù)，最終嚴(yán)格說(shuō)清楚了“部分”居然等于“整體”的道理.

1.2 集合的基數(shù)

對(duì)兩個(gè)集合A和B，如果存在從A到B的一一映射，則稱A和B等勢(shì)，記為A≈B.彼此等勢(shì)的集合具有相同的元素個(gè)數(shù)，即稱為集合的基數(shù).

顯然根據(jù)集合基數(shù)的定義，可以得到很多“部分=整體”的結(jié)論.

圖1 自然數(shù)的個(gè)數(shù)與其中偶數(shù)個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)圖

從集合基數(shù)的概念可知，只有無(wú)限集才可能出現(xiàn)“部分=整體”.事實(shí)上，也只有通過(guò)集合的等勢(shì)關(guān)系才可以定義無(wú)限集，即如果集合A可以和其真子集建立等勢(shì)關(guān)系，則這個(gè)集合一定是無(wú)限集.這樣就避免了用“無(wú)限”定義“無(wú)限集”的邏輯循環(huán)錯(cuò)誤.

自然數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，有理數(shù)也有無(wú)窮多個(gè).那么是不是意味著所有無(wú)窮集合的元素個(gè)數(shù)都是一樣多的“無(wú)窮”呢？不是的.實(shí)際上，康托爾嚴(yán)格證明了實(shí)數(shù)的“無(wú)窮”比自然數(shù)的“無(wú)窮”大.不僅如此，他還證明了更一般的結(jié)論：任給一個(gè)無(wú)窮集M，它的所有子集的個(gè)數(shù)總比M的元素個(gè)數(shù)多[1].

2 從“十字相乘法”到高次方程的有理根

2.1 十字相乘法

十字相乘法是中學(xué)數(shù)學(xué)中求一元二次方程有理根的方法，現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材已經(jīng)刪去了關(guān)于“十字相乘法”的相關(guān)內(nèi)容.刪去的理由是：求根公式法是一種直接的、重要的、適用面更廣的通性解法，運(yùn)用公式法既可以求一元二次方程的有理根，對(duì)于沒(méi)有有理根的方程，也可求其無(wú)理根.而十字相乘法只適用于求一元二次方程的有理根，對(duì)于沒(méi)有有理根的一元二次方程，十字相乘法就失去了應(yīng)用價(jià)值[2].

如果僅從求一元二次方程根的角度看，刪去只適合求特殊的有理根的“十字相乘法”是可以理解和接受的.但是如果把問(wèn)題放在求解更高次方程的根來(lái)看，上述刪去十字相乘法的理由其實(shí)是比較牽強(qiáng)的.

眾所周知，一元三次和四次方程都有求根公式，但對(duì)于五次及五次以上的一元高次方程，不但不存在用根式表示根的一般公式，甚至對(duì)于具體的數(shù)字方程，也難以用根式來(lái)表示.因此，既然五次及五次以上一元高次方程沒(méi)有用根式表示根的一般公式，那么退而求其次，是否有統(tǒng)一的方法求五次及五次以上的一元高次方程的有理根呢？答案是肯定的，方法就是“十字相乘法”.換言之，初中的“十字相乘法”其指向的就是如何求五次及五次以上有理系數(shù)的一元高次方程的有理根.

注意到一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式f(x)乘以一個(gè)整數(shù)k,就可以化成整系數(shù)多項(xiàng)式kf(x)，而f(x)與kf(x)顯然具有相同的根，所以只研究如何用“十字相乘法”的基本思想求整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根.

2.2 高次方程有理根的求法

據(jù)此，要求整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的有理根，只需找出其最高次項(xiàng)系數(shù)a0的所有因數(shù)，常數(shù)項(xiàng)an的所有因數(shù)，然后組合即可.

3 從二項(xiàng)分布到正態(tài)分布

3.1 二項(xiàng)分布

3.2 正態(tài)分布

圖2 函數(shù)的圖像

特別地，μ=0、σ=1時(shí)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

3.3 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布的關(guān)系

圖3是二項(xiàng)分布中n分別為10、15、20、30，p=0.3時(shí)的概率分布直方圖.

圖3 二項(xiàng)分布直方圖

從圖3可以看出，當(dāng)二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n趨向無(wú)窮大時(shí)，其極限分布即為正態(tài)分布.這一結(jié)論最早由棣莫弗在求二項(xiàng)分布的漸近公式時(shí)發(fā)現(xiàn)，即著名的棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理.它指出參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布當(dāng)n趨向無(wú)窮大時(shí)，其極限是以np為均值、np(1-p)為方差的正態(tài)分布.

3.4 利用正態(tài)分布近似計(jì)算二項(xiàng)分布的概率

例1 某大學(xué)有學(xué)生5000人，只有一個(gè)開(kāi)水房，由于每天傍晚打開(kāi)水的人較多，經(jīng)常出現(xiàn)學(xué)生排長(zhǎng)隊(duì)的現(xiàn)象，為此校學(xué)生會(huì)特向?qū)W校后勤集團(tuán)提議增設(shè)水龍頭.后勤集團(tuán)經(jīng)過(guò)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每個(gè)學(xué)生在傍晚一般有1%的時(shí)間要占用一個(gè)水龍頭，現(xiàn)有水龍頭45個(gè)，請(qǐng)問(wèn)未裝新水龍頭前，擁擠的概率是多少？

解 設(shè)同一時(shí)刻5000個(gè)學(xué)生中占用水龍頭的人數(shù)為X，則X～B(5000,0.01)，從而擁擠的概率是

P(0≤X≤45)=P(-7.10≤ξ≤-0.71)≈
Φ(-0.71)-Φ(-0.71)=0.2389

因此擁擠的概率P(X≥45)=1-P(0≤X≤45)≈0.7611 .

4 從三角形的相似性到曲線的相似性

在中學(xué)平面幾何中，只介紹了相似三角形的定義、判定方法和性質(zhì)，沒(méi)有涉及其他圖形(例如圓、圓錐曲線、三角函數(shù)圖像等)的相似問(wèn)題.其實(shí)對(duì)于其他圖形也有相似與否的問(wèn)題.在日常生活中常說(shuō)的兩個(gè)圖形相像，也常說(shuō)把一張照片放大或縮小，這些都是相似的通俗說(shuō)法.那么數(shù)學(xué)中曲線相似的定義、判定方法和相應(yīng)的性質(zhì)是什么呢？

4.1 曲線相似性的定義與判定

若兩曲線c、c'上的點(diǎn)之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并且曲線c上的任意兩點(diǎn)A、B的連線AB與曲線c'上對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)A'、B'的連線A'B'的比值為定值k，則稱曲線c與c'相似，記作c∽c'，并稱c與c'的相似比是k[4].

不難看出，這個(gè)定義是三角形與多邊形相似概念的推廣，據(jù)此定義并類比三角形相似的判定方法可以得出平面曲線相似的判定方法.

判定方法1 設(shè)c、c'是平面上兩條曲線，若將曲線c、c'旋轉(zhuǎn)、平移后，總能找到一點(diǎn)O，使以此點(diǎn)為端點(diǎn)的任意一條射線與c交于P，與c'交于Q，并且線段OP與OQ之比為常數(shù)k，則稱曲線c與曲線c'相似，O稱為位似中心(也稱為相似中心)，k稱為位似比(也稱為相似比).

判定方法2 曲線c:F(x,y)=0與曲線c':F(kx,ky)=0(k為非零常數(shù))相似，且相似比為|k|.

根據(jù)平面曲線相似的判定方法，可知

(1)任意兩個(gè)圓都相似，且相似比為它們的半徑之比.

如圖4所示，ΔABC與ΔDEF相似，并且O點(diǎn)是位似中心.顯然這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊平行，對(duì)應(yīng)邊之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方.由此可以類比得到兩個(gè)具有位似關(guān)系的相似曲線也具有同樣的性質(zhì).

圖4 具有位似關(guān)系的ΔABC與ΔDEF

下面以橢圓為例說(shuō)明.

4.2 位似橢圓的性質(zhì)

如圖5所示，過(guò)位似中心O的射線L1與橢圓C1，C2分別交于A1，A2兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的射線L2與橢圓C1，C2分別交于B1，B2兩點(diǎn)，則

(1)橢圓C1在點(diǎn)A1處的切線與橢圓C2在點(diǎn)A2處的切線互相平行；

圖5 位似橢圓的性質(zhì)圖

證明 設(shè)A1(m，n)，B1(h，k)，則易知

其中tA，tB分別是點(diǎn)A1，B1對(duì)應(yīng)的參數(shù).由A2，B2的坐標(biāo)易知A2，B2對(duì)應(yīng)的參數(shù)與A1，B1對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別相同，故由橢圓C2的參數(shù)方程可知C2在A2，B2兩點(diǎn)間的弧長(zhǎng)

本文分析了4個(gè)初等數(shù)學(xué)的問(wèn)題，并以草根的視角，探尋了其背后蘊(yùn)含的高等數(shù)學(xué)知識(shí).希望借此表明的觀點(diǎn)是居高才能臨下，高屋方可建瓴.