蛇與田鼠捕獲系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

劉玉麗,榮鴻利,姜玉秋

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130103)

據(jù)報(bào)道，2005年6月，湖南省洞庭湖區(qū)突然爆發(fā)了10年來(lái)最大的一場(chǎng)鼠災(zāi)，省農(nóng)業(yè)廳植保站專家們深入分析了田鼠爆發(fā)的一個(gè)主要原因就是蛇類減少，他們呼吁一定要吸取教訓(xùn)，保持生態(tài)平衡.為了保護(hù)生態(tài)穩(wěn)定，在保持莊稼產(chǎn)量的情況下，以洞庭湖區(qū)這個(gè)小環(huán)境D為例，來(lái)研究蛇和田鼠的個(gè)體數(shù)量隨時(shí)間變化的趨勢(shì)，為了使兩種群共同生存并達(dá)到穩(wěn)定的狀態(tài)，用數(shù)值模型來(lái)討論蛇和田鼠的變化情況.

為了便于分析研究，給出相關(guān)定理.

設(shè)n維自治系統(tǒng)

(1)

的解是x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T.

1 系統(tǒng)分析

假設(shè)在洞庭湖區(qū)的捕食者(蛇)和食餌(田鼠)種群處于正常生存狀態(tài)下，不分個(gè)體大小，而且沒(méi)有個(gè)體向其輸入和輸出.那么在t時(shí)刻時(shí),兩個(gè)物種的增長(zhǎng)情況同時(shí)滿足以下方程.

(2)

(3)

計(jì)算V(x,y)沿著式(2)解軌線的全導(dǎo)數(shù)得

(4)

當(dāng)

Δ=(αb-βc)2-4αβad<0

(5)

根據(jù)定理2可得，當(dāng)abcd>0，r1d+r2b>0，cr1-ar2>0時(shí)，即當(dāng)cr1-ar2>0時(shí)，系統(tǒng)(2)存在且有惟一的正平衡解D(x*,y*)，它是全局一致漸近穩(wěn)定的.即蛇和田鼠數(shù)量分別達(dá)到x*,y*時(shí)，可以共存并處于穩(wěn)定的狀態(tài).

利用Matlab程序模擬出系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)D(x*,y*)附近過(guò)不同初值點(diǎn)的軌線，如圖1所示.

圖1 蛇與田鼠兩種群數(shù)量變化圖

2 主要結(jié)果的生物學(xué)意義

通過(guò)對(duì)模型的分析，我們找到了最適合捕食者與食餌生存的數(shù)量D(x*,y*)，這樣使蛇與田鼠可以維持生態(tài)平衡.蛇經(jīng)常作為餐桌上的美食而被人們大量捕殺，致使數(shù)量迅速減少而無(wú)法控制田鼠的數(shù)量，導(dǎo)致農(nóng)作物的產(chǎn)量因鼠害而銳減.這樣在自然狀態(tài)下，我們可用此模型的平衡點(diǎn)D(x*,y*)來(lái)進(jìn)行人為干預(yù)，當(dāng)田鼠種群繁殖數(shù)量增大時(shí)，可以引入蛇來(lái)控制田鼠的增長(zhǎng)速度，使兩種群的數(shù)量在各自的環(huán)境容納量下達(dá)到各自的平衡點(diǎn)x*,y*，從而實(shí)現(xiàn)了保護(hù)莊稼并抑制田鼠數(shù)量的目的.