江蘇高考直線與圓問(wèn)題的剖析

李祥

摘要：直線與圓是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，是高考的熱點(diǎn)、重點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題，每年必考。大題、小題都有出現(xiàn)，分值一般在20分左右。尤其近幾年，隨著高中新課程改革的不斷推進(jìn)，直線與圓在高考中的考查越來(lái)越廣泛，要求也越來(lái)越高。那么，本文就將對(duì)近幾年江蘇高考試卷中的一些直線與圓的問(wèn)題給予剖析，希望能對(duì)2016年的高考復(fù)習(xí)有所幫助。

關(guān)鍵詞：江蘇高考；直線與圓；問(wèn)題剖析

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2015）11-0103

一、考查直線與圓的位置關(guān)系

例1. （2010江蘇9）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2+y2=4上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。

【解析】圓的半徑為2，根據(jù)題意得：圓心（0，0）到直線12x+5y+c=0的距離小于1，即 <1，得c的取值范圍是（-13，13）。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，抓住圓心到直線的距離滿(mǎn)足小于即可。解題中關(guān)鍵就是將圓上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離滿(mǎn)足小于，從而將問(wèn)題得以轉(zhuǎn)化。本題屬于中檔題，難度適中。

例2. （2012江蘇12）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2-8+15=0，若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是 。

【解析】根據(jù)題意將此化成標(biāo)準(zhǔn)形式為：（x-4）2+y2=1，得到，該圓的圓心為M（4，0）半徑為1，若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，只需要圓心M（4，0）到直線y=kx-2的距離d≤1+1，即可，所以有d= ≤2，化簡(jiǎn)得x（3k-4）≤0解得0≤k≤ ，所以k的最大值是 。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及到點(diǎn)到直線的距離公式、圓的一般式方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，考查知識(shí)較綜合，考查轉(zhuǎn)化思想在求解參數(shù)范圍中的運(yùn)用.本題的解題關(guān)鍵就是對(duì)若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，這句話的理解，只需要圓心M（4，0）到直線y=kx-2的距離d≤1+1即可，從而將問(wèn)題得以轉(zhuǎn)化。本題屬于中檔題，難度適中。

二、考查與弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題

例3. （2014江蘇9）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x+2y-3=0被圓（x-2）2+（y+1）2=4截得的弦長(zhǎng)為 。

【解析】圓（x-2）2+（y+1）2=4的圓心為C（2，-1），半徑為r=2，點(diǎn)C到直線x+2y-3=0的距離為d= = ，所求弦長(zhǎng)為l=2 =2 = 。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的相交時(shí)有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題，抓住半徑、半弦、弦心距構(gòu)成的直角三角形，利用弦長(zhǎng)公式即可.本題屬于容易題，難度一般。

三、考查與切線有關(guān)的問(wèn)題

例4. （2013江蘇17（1））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l∶y=2x-4設(shè)C圓的半徑為1，圓心在l上。若圓心C也在直線y=x-1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程。

【解析】由y=2x-4y=x-1得圓心C（3，2），∵圓C的半徑為1

顯然切線的斜率一定存在，設(shè)所求圓C的切線方程為y=kx+3，即kx-y+3=0

∴ =1 ∴3k+1= ∴2k（4k+3）=0 ∴k=0或者k=

∴所求圓C的切線方程為：y=3或者y=- x+3即y=3或3x+4y-12=0

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的相切時(shí)有關(guān)切線問(wèn)題，抓住圓心到切線的距離等于半徑，即利用即可。解題中還需注意所求切線的條數(shù)，若記住過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的切線必有兩條這一結(jié)論，將避免漏解。本題屬于中檔題，難度適中。

四、考查圓與圓的位置關(guān)系

例5. （2013江蘇17（2））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l∶y=2x-4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上。若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍。

【解析】∵圓C的圓心在在直線l∶y=2x-4上，所以，設(shè)圓心C為（a，2a-4）

則圓C的方程為：（x-a）2+[y-（2a-4）]2=1 又∵M(jìn)A=2MO

∴設(shè)M為（x，y）則 =2 整理得：x2+（y+1）2=4設(shè)為圓D.

∴點(diǎn)M應(yīng)該既在圓C上又在圓D上 即：圓C和圓D有交點(diǎn)

∴ 2-1≤ ≤2+1

由5a2-8a+8≥0得x∈R由5a2-12a≤0得0≤x≤

綜上所述，a的取值范圍為：0，

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，涉及到阿波羅尼斯圓、解一元二次不等式，考查知識(shí)較綜合，考查轉(zhuǎn)化思想在求解參數(shù)范圍中的應(yīng)用。本題的解題關(guān)鍵就是對(duì)圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO這句話的理解，滿(mǎn)足MA=2MO的點(diǎn)C的軌跡可求得是圓D，因此知點(diǎn)M應(yīng)該既在圓C上又在圓D上，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與圓有公共點(diǎn)。本題屬于中高檔題，難度較大。

五、考查以直線、圓為背景的應(yīng)用題

例6. （2014江蘇18）如圖，為了保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)。規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓。且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m。經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處（OC為河岸），tan∠BCO= 。

（1）求新橋BC的長(zhǎng)；（2）當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？

【解析】以正東方向?yàn)閤軸，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系由題意可知A（0，60），B（170，0）；由tan∠BCO= 可知直線BC的斜率k=- ，則直線BC所在直線的方程為y=- （x-170）；

又由AB⊥BC可知，AB所在的直線方程為y= x+60；聯(lián)立方程組y=- （x-170）y= x+60，解得x=80，y=120；

即點(diǎn)B（80，120），那么BC= =150

答：新橋BC的長(zhǎng)度為150m.

（2）由題意設(shè)M（0，a）（0≤a≤60），圓M的方程為x2+（y-a）2=r2，且由題意可知r= = ，又古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m，那么r-a≥80r-（60-a）≥80，解得10≤a≤35；由函數(shù)r= 為區(qū)間[10，35]上的減函數(shù)，故當(dāng)a=10時(shí)，半徑取到最大值為130。

答：當(dāng)OM=10m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大，且最大值為16900π。

【點(diǎn)評(píng)】本題結(jié)合圖形通過(guò)恰當(dāng)?shù)慕ㄏ导纯赊D(zhuǎn)化為解幾問(wèn)題，主要考查直線方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查建立數(shù)學(xué)模型及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。實(shí)質(zhì)上本題也可直接運(yùn)用三角知識(shí)處理。

從以上江蘇近幾年的高考試題剖析可見(jiàn)，直線與圓題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、與弦長(zhǎng)有關(guān)、與切線有關(guān)的常見(jiàn)的問(wèn)題。因此，我們的平時(shí)教學(xué)應(yīng)重視基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)、?？碱}型、通性通法的夯實(shí)，強(qiáng)化解幾這塊知識(shí)的計(jì)算要求，加強(qiáng)能力考查的力度，加強(qiáng)試題的綜合性，同時(shí)可以使試題具有較廣泛的實(shí)際意義，我們備課時(shí)應(yīng)給予足夠的重視。

（作者單位：江蘇省高郵市送橋中學(xué) 225651）