無磁場參與的時變電場

焦重慶

(華北電力大學電氣與電子工程學院，北京 102206)

0 引言

本科“電磁場”課程中，時變電磁場相關的教學內容一般包括了電磁輻射、電磁波在自由空間及導波結構中的傳播以及準靜態(tài)電磁場等方面［1-4］。在電磁輻射和電磁波的傳播問題里，電場和磁場是作為一個相互耦合的整體考慮的。在準靜態(tài)場的求解中，通常忽略電場和磁場二者之間的耦合，但在理論上，這種耦合還是存在的，只是弱到可以忽略不計。

那么，有沒有單獨存在時變電場，而不存在伴隨磁場，或單獨存在時變磁場，而不存在伴隨電場的情況?對于后者，答案顯然是否定的。依據(jù)法拉第電磁感應定律，時變磁場是電場強度的唯一旋度源。時變磁場的存在，就意味著感應(渦旋)電場的存在。對于前者，答案似乎不能如此直接得出。因為時變電場對應的位移電流和自由電荷運動對應的傳導電流(此處不考慮運流電流)是磁場強度的共同旋度源。因此，需要考察這兩種電流有沒有完全相抵的可能性后，才能對此問題給出判斷。

本文對前者給出了肯定的答案，相關的理論分析見第1小節(jié)，具體的物理模型見第2小節(jié)。

1 理論分析

時變電場對磁場的作用由全電流定律表述

式中，H為磁場強度，J為傳導電流密度，D為電位移矢量，t為時間。若純粹的時變電場存在，則H始終為零。因此有

欲使上式成立，傳導電流密度不能為零(在有電場存在的地方)。因此，需假設媒質為導電性媒質。假設該媒質的介電常數(shù)和電導率分別為ε和σ。依歐姆定律微分形式有J=σE，再結合本構關系 D=εE，有

式中τ=ε/σ為導電媒質中電荷弛豫的時間常數(shù)，由此可得

式中，E0為t=0時刻的電場強度。

由于假設不存在磁場，所以有

由式(4)和(5)有

由電場的高斯定律不難得出，電荷密度ρ隨時間的演化也滿足指數(shù)衰減

式中，ρ0為t=0時刻的自由電荷密度。ρ0和E0的關系由高斯定律表述

從式(4)和(6)可以看出，純粹的時變電場具有時間上指數(shù)衰減、空間上同靜電場分布的特點。

2 實例

式(7)容易使我們想起“電磁場”教材上介紹的電荷弛豫現(xiàn)象［1-4］。由此，我們先考察第一個實例，如圖1所示。一個半徑為a的導體球，初始時刻其表面均勻分布有自由電荷(面電荷密度ρs0)。導體球外為介電常數(shù)和電導率分別為ε和σ的無限大均勻媒質。在t=0時刻撤去外加平衡力的作用后，電荷之間由于庫侖力的作用開始相互排斥，出現(xiàn)電荷弛豫過程。此時，電荷離開導體球表面后沿徑向運動，導電媒質中出現(xiàn)傳導電流，導體球表面的電荷密度則不斷減少。

不難得出，球體表面電荷密度ρs和空間的電場強度E的表達式分別為

圖1 處于無限大均勻導電媒質中的帶電導體球

式中，r和er分別代表以球心為坐標原點的球坐標系的徑向坐標及其單位矢量。另外，通過本構關系可以得出J和D的表達式，導電媒質中的體電荷密度始終為零。不難驗證，上式(9)-(11)再結合H=0和B=0，能精確滿足整個麥克斯韋方程組及導體球表面的邊界條件。

如果說實例1要求無限大媒質，屬于現(xiàn)實中難以實現(xiàn)的理想情況。我們可以進一步考慮圖2給出的實例2。此時。在內、外半徑分別為a和b的同心導體球內，填充介電常數(shù)和電導率分別為ε和σ的均勻媒質。假設初始時刻有自由電荷均勻分布在內、外表面，且總量分別為q和-q。

圖2 內部填充均勻導電媒質的同心導體球

在t=0時刻撤去外力，電荷弛豫過程開始，不難得出如下的時變電場可以精確滿足麥克斯韋方程及邊界條件

(1)在兩球之間的區(qū)域

且導電媒質中的體電荷密度始終為零;

(4)在兩球之間以外的區(qū)域，電磁場均為零。

實例2給出的模型要求高度的空間對稱性。實際上，我們可以放寬這種對稱性。圖2中，內、外表面的形狀可以是任意的，但對表面分布的自由電荷有如下要求:內、外表面分別為等電位面。此外，如果媒質是分區(qū)均勻的，則要求所有媒質具有相同的電荷弛豫時間常數(shù)。

在上述純粹的時變電場情況下，坡印廷矢量為零，因此不存在電磁能量的流動，而空間儲存的電場能量又在隨時間而衰減。究其原因，由于傳導電流與位移電流處處抵消，因而空間儲存的電場能量就地通過歐姆損耗完全轉化為熱能。

3 結語

本文先通過理論分析，得出了純粹的時變電場可以存在的結論，前提是要求時變過程中各處的全電流處處為零，即傳導電流與位移電流處處抵消(在不導電的區(qū)域，要求兩者均為零)。結合導電媒質中的電荷弛豫現(xiàn)象，本文給出了純粹的時變電場存在的兩個具體的實例。純粹的時變電場具有時間上指數(shù)衰減，空間上同靜電場分布的特點。純粹時變電場情況下，坡印廷矢量為零，不存在電磁能量的流動，空間儲存的電場能量就地通過歐姆損耗完全轉化為熱能。

［1］ 倪光正.工程電磁場原理［M］.北京:高等教育出版社，2009.

［2］ 馮慈璋，馬西奎.工程電磁場導論［M］.北京:高等教育出版社，2000.

［3］ 王澤忠，全玉生，盧斌先.工程電磁場［M］.北京:清華大學出版社，2011.

［4］ 雷銀照.電磁場［M］.北京:高等教育出版社，2008.