平面冗余自由度機(jī)器人自尋優(yōu)運(yùn)動(dòng)優(yōu)化方法

霍希建，劉伊威，姜力，劉宏

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江哈爾濱150080)

冗余自由度機(jī)器人具有自運(yùn)動(dòng)特性(或冗余性)。該特性可實(shí)現(xiàn)機(jī)器人在完成給定任務(wù)的前提下，進(jìn)行二次目標(biāo)的優(yōu)化，以改善機(jī)械臂的綜合性能。冗余自由機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)研究主要包括逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解及運(yùn)動(dòng)優(yōu)化。逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法相對(duì)較為成熟，根據(jù)解的形式可以分為:幾何解析法［1］、數(shù)值解析法［2］、數(shù)值迭代法［3］、智能算法［4］等。目前，冗余自由度機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的研究重點(diǎn)主要是運(yùn)動(dòng)優(yōu)化，即在滿足工作要求的前提下，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人避障、避奇異構(gòu)型、遠(yuǎn)離關(guān)節(jié)限位等單目標(biāo)或多目標(biāo)的優(yōu)化，最終提高機(jī)器人整體的任務(wù)操作能力。現(xiàn)有的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)優(yōu)化方法可分為4類(lèi):1)根據(jù)優(yōu)化任務(wù)設(shè)置機(jī)器人的指標(biāo)評(píng)價(jià)函數(shù)，然后在自運(yùn)動(dòng)流形范圍內(nèi)進(jìn)行全局搜索，最終獲得運(yùn)動(dòng)學(xué)最優(yōu)解［5］。該類(lèi)方法可以得到全局最優(yōu)解，但計(jì)算復(fù)雜性與優(yōu)化效果之間為對(duì)立關(guān)系，不適于實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)控制;2)采用人工勢(shì)場(chǎng)思想，將機(jī)器人優(yōu)化目標(biāo)轉(zhuǎn)化為虛擬力作用于機(jī)器人上，通過(guò)虛擬力作用確定運(yùn)動(dòng)學(xué)最優(yōu)解［6-8］。該類(lèi)方法通常用于機(jī)器人避障;3)速度級(jí)的零空間優(yōu)化方法。該方法將運(yùn)動(dòng)優(yōu)化目標(biāo)轉(zhuǎn)化到雅克比零空間，在速度水平進(jìn)行的優(yōu)化［9-12］。該類(lèi)方法計(jì)算過(guò)程中存在累計(jì)誤差，難以保證運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的全局最優(yōu)性;4)采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能算法建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的優(yōu)化模型，從而完成機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制［5，13］。目前，該類(lèi)方法計(jì)算精度較低，且沒(méi)有統(tǒng)一的建模理論指導(dǎo)。

平面四自由度機(jī)器人是冗余自由度機(jī)器人的一個(gè)重要的基礎(chǔ)模型。平面四自由度機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)研究對(duì)三維空間機(jī)器人發(fā)展具有重要的理論指導(dǎo)意義。由于機(jī)器人在關(guān)節(jié)工作范圍的中間位置會(huì)比在極限位置有更好的工作效果，因此，本文采用自尋優(yōu)方法對(duì)機(jī)器人進(jìn)行優(yōu)化，使運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各關(guān)節(jié)盡量遠(yuǎn)離關(guān)節(jié)限位。

1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)是關(guān)節(jié)空間Cn到操作空間Wm的非線性映射［14］。它是根據(jù)機(jī)器人各關(guān)節(jié)位置q∈Cn求解末端位姿T∈Wm。正運(yùn)動(dòng)學(xué)的映射關(guān)系可以表示為

式中:n為機(jī)器人自由度數(shù)目，m為操作空間的任務(wù)維數(shù)。

若n＞m，則機(jī)器人具有冗余性，映射f為多對(duì)一映射。對(duì)于操作空間的同一位姿點(diǎn)(不考慮邊界點(diǎn))，關(guān)節(jié)空間有無(wú)數(shù)組關(guān)節(jié)構(gòu)型與之對(duì)應(yīng)，所有這些關(guān)節(jié)構(gòu)型的集合稱(chēng)為機(jī)器人的自運(yùn)動(dòng)流形。

設(shè)u∈Wm是操作空間的任意一點(diǎn)，則u對(duì)應(yīng)的自運(yùn)動(dòng)流形可以表示為構(gòu)型空間C和映射集F構(gòu)成的集合，即

由式(1)可知，冗余自由度機(jī)器人的冗余特性存在于自運(yùn)動(dòng)流形內(nèi)，即自運(yùn)動(dòng)流形內(nèi)的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)不影響機(jī)器人的末端輸出狀態(tài)。自運(yùn)動(dòng)流形的具體形式與操作空間的位姿點(diǎn)有關(guān)。

本文研究對(duì)象為4R型串聯(lián)機(jī)器人，各關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)軸線相互平行，且各連桿處于同一平面內(nèi)，機(jī)器人DH坐標(biāo)系如圖1所示。其中，L1=1 m，L2=1 m，L3=1 m，L4=0.2 m 。

圖1 4R機(jī)器人的DH坐標(biāo)系Fig.1 DH coordinates of the 4R robot

設(shè)P、φ分別為機(jī)器人末端在基坐標(biāo)系O0xyz下的位置與姿態(tài)，q為關(guān)節(jié)位置，則機(jī)器人的正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程表示為

式中:O為3×1零矩陣，R∈SO(3)為旋轉(zhuǎn)矩陣，i－1Ti為相鄰坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣，

因此，已知各關(guān)節(jié)位置，根據(jù)方程(2)可以唯一地確定機(jī)器人的末端位姿。

2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)是操作空間到關(guān)節(jié)空間的映射，根據(jù)機(jī)器人末端位姿T求解各關(guān)節(jié)位置q。逆運(yùn)動(dòng)學(xué)映射關(guān)系表示為

2.1 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

根據(jù)4R機(jī)器人的構(gòu)型特點(diǎn)可知，機(jī)器人的末端位置與姿態(tài)是解耦的，即前3個(gè)關(guān)節(jié)確定末端位置，第4個(gè)關(guān)節(jié)調(diào)整末端姿態(tài)。定義機(jī)器人的期望末端位置與姿態(tài)分別為P和R，平面內(nèi)第4關(guān)節(jié)的軸線位置為w點(diǎn)，則w點(diǎn)的位置Pw可表示為

由式(3)可得

由于Pwz為常數(shù)，式(3)與式(4)構(gòu)成欠定方程組，難以直接求解前3個(gè)關(guān)節(jié)位置。本文將七自由度機(jī)械臂的“臂角”概念引入到平面冗余機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)中［7］。定義“臂角”ψ為繞z0方向y0軸至y3軸的旋轉(zhuǎn)角度，ψ∈(－π，π]，如圖2所示。

圖2 臂角定義Fig.2 Definition of the arm angle

根據(jù)圖1、圖2可得關(guān)系式:

由式(4)、(5)確定前2個(gè)關(guān)節(jié)的位置:

式中:

由式(5)、(6)和(7)得

由于R=0R3·3R4，從而確定關(guān)節(jié)4的位置:

至此，已知4R機(jī)器人的期望末端位姿及臂角，即可根據(jù)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)封閉解公式，確定對(duì)應(yīng)的各關(guān)節(jié)位置。

2.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解討論

設(shè)各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍q∈ (－π， π ]，給定操作空間的一個(gè)期望位姿，若q2≠nπ (n=0，1)，則對(duì)于任意一個(gè)可行臂角，可求得2組可行解。進(jìn)而得到以下結(jié)論:

設(shè)C+，C-分別為q2≥0、q2≤0時(shí)對(duì)應(yīng)的機(jī)器人自運(yùn)動(dòng)流形，則:

1)若C+∩C-≠?，則可行解中q2=0或q2=π成立，自運(yùn)動(dòng)流形C可表示為:C=C+∪C-。

2)若C+∩C-=? ，則≠nπ (n=0，1)，自運(yùn)動(dòng)流形C可表示為:C=C+⊕C-。

3)C+、C-的存在性與操作空間內(nèi)的期望位姿及關(guān)節(jié)限位有關(guān)，由于受關(guān)節(jié)實(shí)際運(yùn)動(dòng)范圍的影響，C+、C-往往由若干個(gè)獨(dú)立的子流形構(gòu)成，具體可以表示為:(m、n為整數(shù))。

4)C+、C-內(nèi)的任意元素均不會(huì)在2個(gè)流形之間相互變換。

3 基于自尋優(yōu)方法的運(yùn)動(dòng)優(yōu)化

由式(3)可知，給定機(jī)器人的一個(gè)末端位姿，則Pw不變。4R機(jī)器人的自運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為前3個(gè)臂桿之間的協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)，其自運(yùn)動(dòng)形式與四連桿運(yùn)動(dòng)相似。本文將第四臂桿與虛擬基座相連，將機(jī)器人等效為四連桿機(jī)構(gòu)。機(jī)器人的自運(yùn)動(dòng)使得等效四連桿機(jī)構(gòu)具有無(wú)數(shù)組構(gòu)型，從而導(dǎo)致機(jī)器人構(gòu)型不唯一，如圖3所示。由于4R機(jī)器人與其等效四連桿機(jī)構(gòu)具有等價(jià)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，根據(jù)機(jī)構(gòu)學(xué)分析可知四連桿機(jī)構(gòu)具有一個(gè)自由度，進(jìn)而也證明了4R機(jī)器人自運(yùn)動(dòng)的存在性。

假設(shè)在四連桿機(jī)構(gòu)的其中一個(gè)關(guān)節(jié)上施加驅(qū)動(dòng)力，則機(jī)構(gòu)在可行范圍內(nèi)會(huì)產(chǎn)生連續(xù)運(yùn)動(dòng)，即四連桿機(jī)構(gòu)有無(wú)數(shù)組構(gòu)型;若在4個(gè)關(guān)節(jié)分別施加一個(gè)驅(qū)動(dòng)力，則在可行運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)存在一類(lèi)平衡點(diǎn)，使四連桿機(jī)構(gòu)處于靜力學(xué)平衡狀態(tài)，從而使四連桿機(jī)構(gòu)具有固定的構(gòu)型?；谏鲜霈F(xiàn)象，本文提出一種自尋優(yōu)方法，將機(jī)器人運(yùn)動(dòng)優(yōu)化指標(biāo)轉(zhuǎn)化為虛擬轉(zhuǎn)矩作用于各個(gè)關(guān)節(jié)上，等效四連桿機(jī)構(gòu)會(huì)在虛擬力驅(qū)動(dòng)下向著平衡狀態(tài)運(yùn)動(dòng)，最終達(dá)到平衡點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)優(yōu)化，如圖4所示。

圖3 自由構(gòu)型的等效四連桿機(jī)構(gòu)Fig.3 The four-bar linkage with uncertain configurations

圖4 確定構(gòu)型的等效四連桿機(jī)構(gòu)Fig.4 The four-bar linkage with a fixed configuration

因此，本文將通過(guò)對(duì)等效四連桿機(jī)構(gòu)的研究實(shí)現(xiàn)4R冗余自由度機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)優(yōu)化，使運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各關(guān)節(jié)盡量遠(yuǎn)離關(guān)節(jié)限位。

3.1 虛擬轉(zhuǎn)矩函數(shù)

由于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)優(yōu)化過(guò)程是在虛擬轉(zhuǎn)矩驅(qū)動(dòng)下完成的，虛擬轉(zhuǎn)矩函數(shù)的性能直接影響到最終的優(yōu)化效果。虛擬轉(zhuǎn)矩函數(shù)將關(guān)于機(jī)器人關(guān)節(jié)位置的優(yōu)化指標(biāo)轉(zhuǎn)化為虛擬轉(zhuǎn)矩作用于四連桿機(jī)構(gòu)，轉(zhuǎn)矩函數(shù)可以為線性函數(shù)、非線性函數(shù)或分段函數(shù)。設(shè)a為關(guān)節(jié)活動(dòng)范圍的中間位置，本文在高斯函數(shù)的基礎(chǔ)上建立了轉(zhuǎn)矩函數(shù)H(q):

為了更好的區(qū)分關(guān)節(jié)活動(dòng)范圍內(nèi)不同位置的重要性，本文要求轉(zhuǎn)矩函數(shù)越接近關(guān)節(jié)極限位置，虛擬轉(zhuǎn)矩變化越快，即函數(shù)H(q)在 [a，qmax]區(qū)間應(yīng)為下凸函數(shù)，在 [qmin，a]區(qū)間應(yīng)為上凸函數(shù)。其中，qmax、qmin為關(guān)節(jié)活動(dòng)范圍的上、下限，Rq為關(guān)節(jié)活動(dòng)范圍的大小。則參數(shù)σ需滿足條件:

3.2 自尋優(yōu)方法

在四連桿模型的每個(gè)關(guān)節(jié)上施加一個(gè)虛擬轉(zhuǎn)矩，若系統(tǒng)保持靜力學(xué)平衡，則模型內(nèi)任意一點(diǎn)都處于平衡狀態(tài)。本文以第3臂桿上的點(diǎn)w為對(duì)象進(jìn)行受力分析。

點(diǎn)w受到各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩和虛擬基座力fbase的綜合作用。設(shè)關(guān)節(jié)i產(chǎn)生的虛擬轉(zhuǎn)矩ni在點(diǎn)w處的等效力為Fw，i，則

若點(diǎn)w處于靜力平衡狀態(tài)，則

式(10)中的力平衡關(guān)系是通過(guò)虛擬關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩與虛擬基座力的相互作用實(shí)現(xiàn)的，本文在此不作討論。力矩平衡關(guān)系則是各關(guān)節(jié)的虛擬轉(zhuǎn)矩作用相互平衡的結(jié)果。

由于每個(gè)關(guān)節(jié)的重要程度存在差異，因此，為了獲得更合理的優(yōu)化效果，引入關(guān)節(jié)的加權(quán)系數(shù)ki，從而機(jī)器人的平衡條件滿足:

由于自運(yùn)動(dòng)流形的子流形C+、C-內(nèi)的元素不會(huì)在2個(gè)流形之間相互變換，則C+、C-內(nèi)均至少存在一點(diǎn)使得四連桿機(jī)構(gòu)處于靜力平衡狀態(tài)。因此機(jī)器人的最終優(yōu)化構(gòu)型與初始狀態(tài)有關(guān)。至此，4R機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)優(yōu)化過(guò)程轉(zhuǎn)化為自運(yùn)動(dòng)流形內(nèi)四連桿機(jī)構(gòu)趨向于平衡狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。

3.3 等效轉(zhuǎn)矩計(jì)算

為了確定機(jī)器人的受力狀態(tài)，需要根據(jù)關(guān)節(jié)i的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩計(jì)算出點(diǎn)w處的等效轉(zhuǎn)矩nw，i。計(jì)算等效轉(zhuǎn)矩的方法很多，可以通過(guò)四連桿機(jī)構(gòu)的靜力分析，根據(jù)桿件的平衡關(guān)系來(lái)計(jì)算點(diǎn)w處的等效轉(zhuǎn)矩［15］。本文則根據(jù)虛功原理進(jìn)行等效轉(zhuǎn)矩的計(jì)算。

設(shè)n=[n1n2n3]為施加在前3個(gè)關(guān)節(jié)的虛擬轉(zhuǎn)矩，F(xiàn)=[fxfy0 0 0nz]T為前3個(gè)關(guān)節(jié)在點(diǎn)w處施加的等效作用力，點(diǎn)w處的虛位移為 δx=[δxδy0 0 0δφ ]T，δq為前3個(gè)關(guān)節(jié)的虛擬轉(zhuǎn)角，根據(jù)虛功原理得

由于 δx=J·δq，最終得

式中:(JT)+為雅克比矩陣轉(zhuǎn)置的M-P逆矩陣。

第四關(guān)節(jié)的虛擬轉(zhuǎn)矩在點(diǎn)w處的等效作用力為

根據(jù)式(11)和(12)，點(diǎn)w處的合力可以表示為

若M≠0，則第3臂桿在合力M驅(qū)動(dòng)下繞第四關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)，臂角ψ發(fā)生變化，機(jī)器人各關(guān)節(jié)都隨之轉(zhuǎn)動(dòng)，使機(jī)構(gòu)沿著M減小的方向運(yùn)動(dòng)，這一運(yùn)動(dòng)過(guò)程表現(xiàn)為機(jī)器人自運(yùn)動(dòng)流形內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。

令Δψ=λM，λ為步長(zhǎng)。臂角的計(jì)算表示為

根據(jù)式(13)得到變化后的臂角，進(jìn)而確定下一時(shí)刻的機(jī)械臂構(gòu)型。計(jì)算過(guò)程中應(yīng)合理設(shè)置步長(zhǎng)參數(shù)，λ太大或太小，都會(huì)影響優(yōu)化速度。

當(dāng)機(jī)構(gòu)靜力平衡后，機(jī)器人優(yōu)化過(guò)程結(jié)束。因此，四連桿機(jī)構(gòu)在虛擬轉(zhuǎn)矩驅(qū)動(dòng)下自運(yùn)動(dòng)至平衡狀態(tài)的過(guò)程，即為機(jī)器人二次目標(biāo)的優(yōu)化過(guò)程。基于自尋優(yōu)方法的運(yùn)動(dòng)優(yōu)化流程如圖5所示。

圖5 基于自尋優(yōu)方法的優(yōu)化流程Fig.5 Workflows of optimization using self-optimizing method

與經(jīng)典的速度級(jí)優(yōu)化方法相比，自尋優(yōu)方法具有較高的計(jì)算精度及更好的優(yōu)化效果，可以實(shí)現(xiàn)單點(diǎn)位置優(yōu)化及純位置水平的軌跡優(yōu)化控制。此外，與位置級(jí)的全局搜索方法相比，自尋優(yōu)方法具有較高的計(jì)算效率。因此，本文方法在計(jì)算精度、優(yōu)化效果及計(jì)算效率的綜合性能方面具有一定的優(yōu)勢(shì)。

4 仿真驗(yàn)證

4.1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解驗(yàn)證

已知機(jī)器人末端的期望位置P、姿態(tài)φ及臂角ψ，設(shè)期望的位置參數(shù)如下:

根據(jù)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)封閉解式(6)～(9)，得到2組逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解，分別為

通過(guò)正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程計(jì)算得出:q'、q″所對(duì)應(yīng)的末端位姿與期望位姿之間的誤差均小于10－20，從而證明了逆運(yùn)動(dòng)學(xué)算法的正確性。

4.2 機(jī)器人自運(yùn)動(dòng)分析

設(shè)4R機(jī)器人期望位置P和姿態(tài)φ與上節(jié)一致，每個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍為，加權(quán)系數(shù)ki=1 ，i=1，2，3，4 。轉(zhuǎn)矩函數(shù)參數(shù) σ =2π。

在關(guān)節(jié)活動(dòng)范圍受限的情況下，4R機(jī)器人期望末端位姿對(duì)應(yīng)的全部可行解及每組解對(duì)應(yīng)的合力M如圖6(a)所示。圖6(b)表示了可行解區(qū)域與q1、q2的關(guān)系?？梢园l(fā)現(xiàn)，C+由、兩部分構(gòu)成，C-由、、3部分構(gòu)成。C+∩C-≠?，可行解中q2=0成立，這一點(diǎn)也可從圖7得證。

圖6 可行解區(qū)域Fig.6 The feasible solutions

圖7表示了機(jī)器人所有可行解與合力M變化關(guān)系?？尚薪鈪^(qū)域由5部分構(gòu)成:、、、和。由于和相連，可行解區(qū)域可以分為4個(gè)獨(dú)立的區(qū)域A、B、C、D。機(jī)器人在每個(gè)區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)是連續(xù)的，且都存在一個(gè)平衡狀態(tài)，即 SA、SB、SC、SD。此外，在奇異構(gòu)型附近區(qū)域，合力M變化較大，機(jī)器人狀態(tài)不穩(wěn)定，如圖中S區(qū)域所示。

圖8表示了q2與臂角的關(guān)系，通過(guò)對(duì)比A與C、B與D，可以發(fā)現(xiàn):對(duì)應(yīng)同一臂角，至多存在兩組可行解，進(jìn)而也證明了C+和C-的存在性。

圖7 可行解與合力M的變化關(guān)系Fig.7 Relationship between feasible solutions and M

圖8 q2與ψ的相對(duì)關(guān)系Fig.8 Relationship between q2and ψ

4.3 期望位姿的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)優(yōu)化

設(shè)機(jī)器人期望位置P、姿態(tài)φ及轉(zhuǎn)矩函數(shù)與上節(jié)一致，ki=1，初始臂角

根據(jù)現(xiàn)有機(jī)器人運(yùn)動(dòng)優(yōu)化的研究成果，能量最小法往往作為一個(gè)典型的優(yōu)化指標(biāo)。本文定義機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的能量函數(shù)E:

圖9表示了優(yōu)化過(guò)程中合力M及能量E的變化?？梢钥闯觯瑑烧咧g的變化趨勢(shì)是一致的，都是基于物理意義建立的評(píng)價(jià)指標(biāo)。在接近平衡狀態(tài)區(qū)域時(shí)，收斂速度減慢，為了提高運(yùn)動(dòng)優(yōu)化效率，本文定義M≤0.001即視為達(dá)到平衡狀態(tài)。

圖9 合力M與能量E的變化Fig.9 Relationship between M and E

經(jīng)過(guò)29步計(jì)算，得到優(yōu)化的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解:q=[－0.865 5 0.988 1 1.185 9－0.261 4 ]rad

圖10表示了優(yōu)化過(guò)程中運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的變化過(guò)程，與優(yōu)化之前相比，優(yōu)化后的關(guān)節(jié)位置更好的避開(kāi)了關(guān)節(jié)限位。

圖10 優(yōu)化過(guò)程中q的變化Fig.10 Changes of q in optimizations

4.4 軌跡跟蹤優(yōu)化驗(yàn)證

已知末端姿態(tài)為φ，機(jī)器人末端軌跡函數(shù)為

軌跡跟蹤過(guò)程中逆運(yùn)動(dòng)學(xué)最優(yōu)解如圖11所示，可以看出，優(yōu)化后的關(guān)節(jié)位置距關(guān)節(jié)極限位置均有一定裕度。圖12表示了優(yōu)化過(guò)程中機(jī)器人很好的達(dá)到了平衡狀態(tài)。圖13、14分別表示了軌跡跟蹤過(guò)程中機(jī)器人末端的位置與姿態(tài)誤差。仿真結(jié)果表明，基于自尋優(yōu)方法的運(yùn)動(dòng)優(yōu)化具有較高的跟蹤精度。

圖11 最優(yōu)解Fig.11 The optimized solutions

圖12 優(yōu)化過(guò)程中合力M變化Fig.12 Changes of M in optimizations

圖13 軌跡跟蹤的位置誤差Fig.13 Position error during trajectory tracking

圖14 軌跡跟蹤的姿態(tài)誤差Fig.14 Orientation error during trajectory tracking

5 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)平面四自由度機(jī)器人的自運(yùn)動(dòng)流形進(jìn)行了分析，并提出一種自尋優(yōu)算法，可以快速、有效的實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)優(yōu)化。自尋優(yōu)方法適用于任意構(gòu)型的冗余自由度機(jī)器人運(yùn)動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題，尤其在單冗余自由度機(jī)器人運(yùn)動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題中更能體現(xiàn)其優(yōu)勢(shì)。在后續(xù)的工作中有以下2個(gè)問(wèn)題有待繼續(xù)研究:

1)自尋優(yōu)方法中初始參數(shù)的選擇原則及各參數(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響規(guī)律，為改善運(yùn)動(dòng)優(yōu)化效果提供理論依據(jù);

2)基于自尋優(yōu)方法的冗余自由度機(jī)器人多目標(biāo)運(yùn)動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題，以保證機(jī)器人的整體操作性能。

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