短波突發(fā)通信中的DFT頻偏估計算法

游行遠(yuǎn)，楊平，徐彬彬，許利剛

(1.哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001;2.武漢船舶通信研究所，湖北武漢430079)

在短波突發(fā)通信系統(tǒng)中，由于發(fā)射機(jī)與接收機(jī)兩端電臺振蕩器的不穩(wěn)定［1］，導(dǎo)致收發(fā)兩端載波之間存在頻率偏差，以及無線通信中的多普勒頻移，經(jīng)過相干解調(diào)后得到的基帶信號中通常存在頻偏。頻偏會直接導(dǎo)致接收信號中有用的信號成分功率衰減，導(dǎo)致系統(tǒng)誤碼率增大［2］，因此接收端必須進(jìn)行頻偏估計并補償，以提高接收機(jī)性能。

基于離散傅里葉變換(DFT)類頻偏估計算法分為粗估計與精估計2個步驟，粗估計利用DFT對頻譜峰值進(jìn)行定位，精估計也是目前此類方法的研究熱點。Quinn［3］利用DFT頻譜中的峰值譜線與次高譜線進(jìn)行插值來獲取對應(yīng)的頻率結(jié)果。Jacobsen［4］通過實驗觀測利用峰值譜線與相鄰兩條譜線之間進(jìn)行插值，Candan［5］對Jacobsen的方法進(jìn)行了理論推導(dǎo)，同時利用信號長度對其進(jìn)行偏移修正提高了其性能。文獻(xiàn)［6］中，Zakharov和Tozer提出了一種二分搜索方法，其性能可以逼近于Cramer-Rao界(CRB)，但是其需要在粗估計時對數(shù)據(jù)補零，并使用至少1.5N點DFT來獲取更精細(xì)的結(jié)果。補零的方法使DFT頻譜更加精細(xì)［7］，粗估計對真實頻偏的定位更加準(zhǔn)確，但其帶來計算量的大幅度提升。

短波信道多集中于低信噪比條件，由于突發(fā)通信信號傳輸?shù)臅r限性，用于符號同步，參數(shù)估計等數(shù)字信號處理的時間相對短暫，本文提出了一種基于DFT的迭代插值算法。粗估計時，采用非補零的DFT獲取粗估計結(jié)果以減少計算量;精估計時，在頻偏搜索區(qū)間內(nèi)利用迭代與插值相結(jié)合的方法得到估計結(jié)果，并在迭代判決中引入誤差補償機(jī)制，從而保證算法性能。

1 信號模型

在短波突發(fā)通信系統(tǒng)中，一般利用訓(xùn)練序列來進(jìn)行信號同步與參數(shù)估計，采用調(diào)制方式為MPSK。假設(shè)長度為L的訓(xùn)練序列為pk，k=0，1，…L－1，滿足，發(fā)送端傳輸基帶信號可以表示為

式中:T表示符號采樣間隔，g(*)表示信號脈沖成形濾波器。

假設(shè)收發(fā)兩端存在f0的頻率偏差，接收基帶信號可以表示為

式中:a0表示信號幅度;φ表示相位偏移，是一個確定的未知量;n(t)表示復(fù)數(shù)加型高斯白噪聲(均值為0，方差為σ2)。假設(shè)理想同步條件下，接收基帶信號經(jīng)過匹配濾波器，并與本地訓(xùn)練序列共軛相乘可得

式中:〈·〉表示求內(nèi)積，設(shè)定成形濾波器與匹配濾波器為平方根升余弦濾波，可得

因此，接受信號可表示為

式中:w(k)〈n(t)，g(t－kT－τ0)〉與n(t)有相同的統(tǒng)計特性，服從高斯分布，φ'=2πf0τ0+φ仍然為未知確定量，同時將頻偏進(jìn)行歸一化得F0=f0T(以下不做特殊描述，頻偏表示歸一化頻偏)，式(5)可簡化輸出信號為

因此，短波突發(fā)通信中的頻偏估計可以等效于在高斯白噪聲條件下對復(fù)正弦信號的頻率估計［1］，則歸一化的Cramer-Rao下界可表示為

式中:ρσ2表示信噪比。在頻偏粗估計步驟中，對式(6)進(jìn)行N點DFT變換，N≥L，當(dāng)N大于L時進(jìn)行補零，可得

式中:A=a0exp(jφ')，W(n)為噪聲的傅里葉系數(shù)(服從0 均值，方差為Nσ2的高斯分布)［9］。DFT 的歸一化分辨率為1/N。然而在實際系統(tǒng)中，真實頻偏不一定為DFT分辨率的整數(shù)倍，可以表示為

式中:m表示DFT頻譜峰值對應(yīng)的刻度，δ∈［－0.5，0.5］表示真實頻偏相對于DFT譜線偏差的小數(shù)部分。本文目標(biāo)是在低信噪比條件下對δ的精確估計。

2 算法分析

在粗頻偏估計的基礎(chǔ)上，首先將DFT頻偏峰值譜線與相鄰譜線對應(yīng)刻度定義為一個頻偏搜索區(qū)間［m0－Δ0，m0+Δ0］，m0=m表示中心點，Δ0=1表示搜索范圍。精估計主要結(jié)合迭代與插值方法來獲取較小的搜索區(qū)間［mi－Δi，mi+Δi］，從而得到估計結(jié)果，其中i=0，1，2，…，Q表示當(dāng)前迭代次數(shù)。算法分析過程中假設(shè)噪聲為0，迭代中譜線可表示為

式中:δi=NF0－mi表示殘留頻偏，即每次迭代的估計值，當(dāng)δi－Δi→0時，獲取最大值得到估計結(jié)果。

當(dāng)i=0時，直接利用DFT結(jié)果得到譜線峰值與相鄰譜線，此時Δ0=1可得

式中:h=－1，0，1，當(dāng)N?h時

根據(jù)文獻(xiàn)［4］的插值方法對δ進(jìn)行估計得到

式中:δ0近視為δ的無偏估計，但在噪聲影響下性能有一定的偏差，此處可求得較小的頻偏搜索區(qū)間［m1－Δ1，m1+Δ1］，其中m1=m+δ0Δ0，Δ1=Δ0/4 。

當(dāng)i＞0時，需要結(jié)合迭代判決與插值的方式在區(qū)間［mi－Δi，mi+Δi］內(nèi)進(jìn)行搜索估計。首先得相應(yīng)的Y［n］與S［n］，n=mi－Δi，mi，mi+Δi，其中

對比這三點(n，S［n］)之間的相互大小關(guān)系，針對2種情況進(jìn)行判決:

1)當(dāng)S［mi］為最大值時，推斷真實頻偏有很大的概率屬于區(qū)間［mi－Δi/2，mi+Δi/2］，即可得0.5，繼續(xù)對這三點進(jìn)行插值，當(dāng)使用Jacobsen的插值方法對δi進(jìn)行插值時，由于式(10)中，Δi＜1，分母無法抵消，同時由于噪聲的影響，特別是低信噪比條件下，插值結(jié)果無法保證為了保證

因此，得到mi+1=mi+δiΔi，Δi+1=Δi/4 。

2)當(dāng)兩端S［mi±Δi］為最大值時，頻偏屬于區(qū)間［mi－Δi，mi－Δi/2］或［mi+Δi/2，mi+Δi］，即0.5≤通過采用次優(yōu)的Newton插值方法［10］進(jìn)行插值，得到，或由于上次迭代與插值算法誤差導(dǎo)致搜索區(qū)間偏差。

針對這2種可能，利用上一次迭代過程中的歷史值對本次迭代進(jìn)行修正，引入誤差補償。

1)當(dāng)S［mi－Δi］為最大值時，利用上一次迭代過程中的S［mi－1－Δi－1］與S［mi－Δi］，S［mi］進(jìn)行非對稱插值。由于mi=mi－1+δi－1Δi－1，Δi－1=4Δi，為方便計算設(shè)S［mi－Δi］點相對坐標(biāo)為0，同時對Δi歸一化，可得另兩點 (－3－4δi－1)，S［mi－1－Δi－1］)，(1，S［mi－Δi］)，通過Newton插值計算得到

式中:S－=S［mi－1－Δi－1］，S0=S［mi－Δi］，S+=S［mi］，最后得到 δi=－1。

2)當(dāng)S［mi+Δi］為最大值時，利用S［mi］，S［mi+Δi］與S［mi－1+Δi－1］進(jìn)行插值同理可得

式中:S－=S［mi］，S0=S［mi+Δi］，S+=S［mi－1+Δi－1］，最后得到 δi=+1。

因此，得到mi+1=mi+δiΔi，Δi+1=Δi/4 。

當(dāng)完成迭代插值算法，精頻偏估計結(jié)果為

迭代插值算法具體過程可以描述為

1)利用DFT結(jié)果，獲取頻譜峰值m。

2)i=0，1，2，…，Q次迭代過程，當(dāng)i=0 根據(jù)頻譜峰值與相鄰頻譜，利用式(13)進(jìn)行得到δ0，并得到迭代搜索范圍。

3)當(dāng)i＞0 時，在范圍［mi－Δi，mi+Δi］內(nèi)，利用式(14)求得S［n］，n=mi－Δi，mi，mi+Δi，并根據(jù)其大小關(guān)系進(jìn)行判決:當(dāng)S［mi］最大時，利用式(15)進(jìn)行插值得到估計結(jié)果δi;當(dāng)S［mi－Δi］為最大值時，利用式(16)進(jìn)行插值得到，估計結(jié)果 δi=－1;當(dāng)S［mi+Δi］為最大值時，利用式(17)進(jìn)行插值得到，估計結(jié)果 δi=+1。

3 算法性能仿真分析

為了進(jìn)一步驗證算法性能，這里對其進(jìn)行仿真分析，仿真中采用L=512訓(xùn)練序列，訓(xùn)練序列采用8PSK調(diào)制，信號成型濾波器為平方根升余弦濾波器，采用AWGN信道。粗估計中的DFT點數(shù)N=512，其中Zakharov的算法需要對數(shù)據(jù)補零，使用N=1024點DFT進(jìn)行粗估計。迭代插值算法與現(xiàn)有相關(guān)算法主要進(jìn)行3個方面的比較:

1)算法估計性能:信噪比［－20，20］dB條件下，F(xiàn)0的均方誤差(MSE)。每一信噪比條件下，通過100 000次蒙特卡洛實驗得到MSE，計算方式如下:

2)算法估計范圍:同一信噪比條件下，設(shè)定δ∈［－0.5，0.5］，針對 δ的 MSE 性能曲線。

3)算法計算復(fù)雜度:對每一種算法的復(fù)數(shù)乘法次數(shù)以及復(fù)數(shù)加法次數(shù)列舉。

圖1給出了不同算法的F0的MSE和CRB理論線。圖中，針對不同的算法，存在一個關(guān)于SNR的閾值，即低于閾值算法性能急劇惡化，高于閾值算法性能趨于平穩(wěn)。Zakharov的算法補零后，存在 SNR為－11.5 dB的閾值，其他算法閾值則集中在 －10 dB。這是由于在粗頻偏估計中，Zakharov的算法使用N=1024點DFT，使估計結(jié)果更加細(xì)密，對真實頻偏的定位更加精準(zhǔn)，可獲取更低的閾值，但是帶來計算量成倍的增加。同時Zakharov算法補零之后，精頻偏估計使用Q=5次迭代，在SNR＞－4 dB時，算法的RMSE值會偏離CRB理論線，需要使用Q=10次迭代性能可逼近CRB。本文提出的迭代插值算法，在信噪比高于閾值－10 dB的范圍內(nèi)，利用Q=2次迭代即可逼近CRB。

圖1 不同算法的MSEFig.1 The MSE of different estimators

圖2(a)給出了SNR為3 dB條件下，δ的MSE性能曲線。在N=512條件下，Jacobsen算法性能與Candan算法基本相當(dāng)，當(dāng)δ越接近0時，性能越好，反之性能變差。而Zakharov非補零算法，由于進(jìn)行頻偏精估計時，利用DFT譜線最大值的2個相鄰譜線進(jìn)行判決真實頻偏的落入?yún)^(qū)間，當(dāng)δ接近0時在噪聲的影響下，容易產(chǎn)生誤判，從而導(dǎo)致誤差。而迭代插值算法通過插值頻偏搜索區(qū)間，進(jìn)行插值迭代搜索很好的解決了這個問題，同時仿真表明在δ∈［－0.5，0.5］區(qū)間內(nèi)，迭代插值算法都有很好的MSE性能。

圖2(b)給出了SNR為－5 dB條件下，δ的MSE性能曲線。對比圖2(a)和(b)，Zakharov補零算法當(dāng)Q=5時，性能出現(xiàn)偏差并隨著信噪比增加，偏差更為明顯。仿真表明，迭代插值算法在低信噪比條件下依然有相對較好的性能。

表1針對算法的計算復(fù)雜度進(jìn)行了分析，表中分別針對粗估計與精估計部分進(jìn)行了列舉。其中粗估計主要針對DFT點數(shù)N，需要(N/2)log2N次復(fù)運算，其中Zakharov補零算法需要更多的DFT點數(shù)。針對精估計，主要利用乘法運算M、加法運算P表示。如表1所示，在相同性能的條件下，相對于Zakharov算法Q=10時，迭代插值算法因為使用更少的DFT點數(shù)以及迭代次數(shù)Q=2，從而減小了計算復(fù)雜度。

圖2 在信噪比3dB和－5dB條件下，不同δ的MSEFig.2 The MSE for different δ at SNR=3/ －5dB

表1 算法計算復(fù)雜度Table 1 Computational load of algorithm

4 結(jié)束語

基于DFT類方法，提出了迭代插值頻偏估計算法，該算法主要集中研究低信噪比條件下頻偏估計問題，頻偏估計范圍，以及計算復(fù)雜度的問題。仿真結(jié)果表明，針對L=512的訓(xùn)練序列，該算法在信噪比－10～3 dB下頻偏估計性能可以逼近CRB理論線，適合短波突發(fā)通信的信道環(huán)境。算法相對于Quinn、Jacobsen等插值類算法具有更高的精度，同時與Zakharov算法采取Q=10迭代時性能相當(dāng)，而且具有較寬的估計范圍，在計算復(fù)雜度方面，相對于插值類算法計算量要高，但相對于Zakharov算法采取Q=10迭代具有更小的計算復(fù)雜度。

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