彈性板結構面內振動特性分析與實驗研究

裴然，杜敬濤，朱明剛，楊鐵軍

(1.哈爾濱工程大學 教務處，黑龍江哈爾濱150001;2.哈爾濱工程大學動力與能源工程學院，黑龍江 哈爾濱150001)

彈性板結構廣泛應用于船舶工業(yè)、航空航天、建筑結構及輛工程等各個領域，圍繞其振動特性分析，各國學者開展了大量的研究，Leissa［1］對領域成果進行了較為全面的總結。然而，關于彈性板結構振動分析主要局限于橫向彎曲振動，對于彈性板面內振動研究尚不充分。近年來，有學者研究表明，彈性板結構面內振動在耦合板結構振動能量傳輸［2-3］、三明治板結構建模［4］和壓電超聲電機研制［5］等方面起到重要作用，從而，關于彈性板結構面內振動分析又重新引起研究人員的廣泛關注。

Bardell等人［6］對彈性板結構面內振動開展了具有卓越貢獻的研究，他們不僅對早期彈性板結構面內振動研究文獻進行較為全面的梳理與評述，還針對幾種經典邊界條件下彈性板結構面內振動模態(tài)特性首次獲得精確數據。Farag和Pan［7］分析了對邊鉗定邊界條件下彈性板結構面內自由振動特性，求得面內耦合與解耦模態(tài)固有頻率表達式。Gorman［8］采用疊加方法對完全自由邊界條件下彈性板面內振動固有特性進行了建模分析，隨后，Gorman［9］又將該建模方法進一步拓展至簡支與鉗定邊界條件下彈性板結構面內自由振動特性預報。Xing和Liu［10］獲得了對邊簡支邊界條件下彈性板結構面內振動固有頻率與模態(tài)振型分布。

除了上述經典邊界條件之外，還有學者對彈性約束邊界條件下彈性板結構面內振動進行了研究。Gorman［11］應用疊加分析方法考慮了沿邊界法向彈性約束條件下矩形板結構面內振動模態(tài)特性。Du等［12］提出一種二維改進傅里葉級數方法，建立了沿邊界法向和切向均為彈性約束情況的任意邊界條件下矩形板結構面內自由振動固有特性分析框架，數值結果表明該方法能夠快速收斂并且能夠準確預報彈性板結構面內振動模態(tài)信息。隨后，Du等［13］進一步將該建模分析方法拓展至任意彈性點約束邊界條件下彈性板面內振動固有頻率與模態(tài)振型預報。文獻調研表明，針對彈性板結構面內振動研究，目前主要集中在理論建模與特性預報，對于從實驗角度進行彈性板面內特性測量研究還不多見。

本文將首先采用二維改進傅里葉級數建立彈性板結構面內自由振動分析模型，采用能量原理并結合瑞利－里茲方法獲得彈性板結構面內振動系統(tǒng)矩陣方程，并給出數值算例，同文獻中其他預報方法結果進行比較，隨后，搭建相關實驗臺架，開展彈性板面內振動實驗測量研究。

1 理論推導

1.1 模型描述

如圖1所示，考慮一個長為a、寬為b、厚度為h的矩形板結構面內振動模型，在該矩形板上建立直角坐標系，彈性板結構的兩條邊分別與坐標系中x軸和y軸重合。為了統(tǒng)一處理彈性板結構面內邊界約束條件，此處采用沿法向和切向分布的2種邊界約束彈簧來進行模擬，這樣，各種經典邊界條件及其任意組合便可以通過將邊界約束彈簧剛度系數為無窮大或零進而得到。

圖1 彈性邊界約束條件下矩形板結構面內振動模型Fig.1 In-plane vibration model of rectangular plate with elastically restrained edges

1.2 面內振動位移場函數展開

同彈性板結構橫向彎曲振動分析相比，面內振動過程中涉及縱向和剪切2個方向上振動位移場相互耦合，為了克服彈性邊界約束條件下位移場函數在包含邊界在內的任意場點處空間坐標微分的連續(xù)性，此處2個方向上的面內振動位移場采用二維改進傅里葉級數進行展開［12-13］:

和

式中:λam=mπ/a，λbn=nπ/b，ξ1(x)和ξ2(x)是面內位移輔助函數。此處，在標準二維傅里葉級數上引入這些輔助函數的目的在于去除面內位移及其相應空間導數在結構邊界上的不連續(xù)性，進而提高傅里葉級數在整個數值求解域內的收斂速度和求解精度。理論上，這些輔助函數的形式可以不唯一，為了簡便相關數學推導步驟，輔助函數在這里分別構造為

容易證明

通過在標準的傅里葉級數中引入輔助函數，可以改進解的收斂性和精確性，此處，構造的輔助函數形式將有助于簡化后續(xù)數學推導過程。

1.3 能量原理

為了確定矩形板結構面內振動位移場改進傅里葉級數中所有的未知系數，將采用能量原理對彈性板結構面內自由振動進行描述，進而利用瑞利－里茲方法進行求解。彈性板結構面內自由振動的系統(tǒng)拉格朗日函數為

式中:V和T分別為系統(tǒng)的總勢能和總動能。

總勢能V包括應變能和邊界約束彈簧的彈性勢能兩部分，它可以表示為

式中:G為縱向拉伸剛度，μ為彈性板材料泊松比，u和v分別為彈性板結構沿x、y軸面內振動位移，knx0和kpx0分別表示在邊界x=0上邊界約束彈簧在法向與切向的剛度系數，類似地，其余約束彈簧的下標含義可以此類推。

彈性板面內振動引起的總動能T為

式中:ρ為彈性板材料密度，ω是振動圓頻率，h為彈性板結構的厚度。

1.4 系統(tǒng)特征方程

將所構建彈性板結構面內振動位移場2個改進傅里葉級數振動位移分量函數式(1)、(2)代入至系統(tǒng)的拉格朗日函數式(7)～(9)中，利用瑞利－里茲方法對位移函數中的傅里葉表達式中的各個系數Amn，am，bm，cn，dn，Bmn，em，fm，gn和hn分別求導取極值，在實際計算過程中，改進傅里葉級數進行有限截斷m=M，n=N，從而可以得到關于所有傅里葉系數的系統(tǒng)特征矩陣方程

式中

顯然，彈性約束邊界條件下彈性板結構面內振動所有模態(tài)頻率參數可以通過求解一個標準的矩陣特征值問題而全部得到。通過將所對應的特征向量代入至所構建二維改進傅里葉級數位移表達式(1)、(2)中，即可得到該節(jié)模態(tài)頻率所對應的物理模態(tài)振型分布。如果需要求解彈性板結構面內振動對于外部激勵的振動響應，僅需在系統(tǒng)拉格朗日函數式(7)中包含外力的做功項，最終將會在矩陣方程式(10)的右端出現外力激勵向量。

2 數值與實驗結果分析

本節(jié)中將采用MATLAB科學計算語言對上述理論推導模型進行編程數值仿真，將計算所得到的結構模態(tài)頻率與文獻中其他方法所給出的結果進行比較，進而驗證所提出預測模型的正確性與可靠性。在仿真模型中，選取文獻［14］中的參數，彈性板結構尺寸為1.2 m ×1.0 m ×0.025 m，板結構材料特性為楊氏模量E=70×109N/m2和泊松比μ=0.33。正如前文所述，在本求解框架中，任意邊界條件可以通過將法向和切向邊界約束剛度系數設置為零或無窮大而得到，從而，對于此處的鉗定邊界條件，可以同時將2個方向邊界約束彈簧設置為無窮大(在實際計算中，采用1×1015表示)即可，對于級數中的截斷均取為M=N=12。

表1 2種方法計算得到的前七階面內模態(tài)頻率比較Table 1 Comparisons of the first seven in-plane modal frequencies from two solution methods

通過將對應的特征向量系數代入至所構建的二維改進傅里葉級數位移形式，從而得到鉗定邊界條件下矩形板板結構前幾階面內模態(tài)振型分布。

圖2 鉗定邊界條件下矩形板面內模態(tài)振型分布圖Fig.2 In-plane mode shapes of rectangular plate with clamped boundary conditions

為了從實驗角度對彈性板結構面內振動特性進行研究，搭建了如圖3所示的實驗臺架，其中將一長寬厚分別為Lx×Ly×h=1.16 m ×1.0 m ×4 mm 的矩形鋁板，通過靠近頂邊位置的2個吊孔，經彈簧連接后吊掛于橫梁固定結構，從而實現面內振動的自由約束邊界條件。在測試過程中，采用B＆K8206-003型力錘在右上角點位置分別沿x和y2個方向進行敲擊，以激起矩形板結構面內振動的縱波和剪切波分量。

圖3 矩形板面內振動模態(tài)測試系統(tǒng)Fig.3 Measuring system for in-plane mode test of a rectangular plate

矩形鋁板表面被劃分成為13×11個網格，共168個測點，依次在每一位置點處采用B＆K2258A-100型三向加速度計，對力錘敲擊所激起的該點在x和y方向上的振動響應信號進行拾取。力錘和加速度計的輸出信號則傳遞至與裝有Modal Impact模態(tài)分析軟件筆記本相連的SCADASIII型LMS多通道數據采集分析系統(tǒng)，通過對所采集數據的軟件處理最終能夠得到矩形鋁板的面內模態(tài)信息。模態(tài)測試結果如表2所示。

表2 矩形鋁板前六階面內模態(tài)頻率預測與測量結果比較Table 2 Comparisions of the first six in-plane modal frequencies of the rectangular aluminium panel between the predicited and measured results

面內模態(tài)振型分布測量與仿真結果比較情況如圖4所示。

圖4 矩形板面內模態(tài)振型實驗與預測結果比較Fig.4 Comparisons of in-plane modal shapes of the rectangular plate between measured and predicted results

通過表1中的數據對比，可以看出:本文模型所得到鉗定邊界條件下彈性板結構面內振動頻率能夠與現有文獻方法所得結果很好吻合，驗證了本模型的準確性。同時，采用本文方法，當邊界條件需要改變時，僅需在仿真程序中將邊界約束剛度系統(tǒng)進行設置，而無需向文獻中方法那樣重新對理論進行推導和重新編寫程序。進而，在實驗臺架搭建之后，將矩形板結構的邊界約束剛度系統(tǒng)全部設置為零，即可得到實驗照片中所示的完全自由邊界條件。通過采用模態(tài)實驗測試分析，將測試數據同本文方法預報結果進行比較(見表2)，可以發(fā)現，2種結果之間能夠很好地吻合，再次驗證了本文模型的有效性。對于模態(tài)振型分布，僅需將所對應特征向量代入至所構建改進傅里葉級數位移表示形式中，即可得到圖2和圖4中的模態(tài)振型預報圖。一方面可以看到，彈性板結構面內振動由于涉及縱向和剪切2個方向的位移場耦合，從而模態(tài)振動圖相比較為熟悉的橫向彎曲情況，結果要復雜得多。實驗測試模態(tài)圖和預報圖相比較中存在的偏差，主要是由于面內振動方向始終垂直于磁力作用方向，從而會對磁座產生一定的剪切作用，在較大的力錘敲擊作用下，會導致加速度計的小幅移位或旋轉，進而使得這些測點數據與實際振動情況之間存在偏差。

3 結束語

本文采用一種二維改進傅里葉級數方法研究了一般邊界條件下矩形板結構面內振動特性，即彈性板結構在面內縱向和剪切2個方向上的振動位移場函數均采用標準二維傅里葉余弦級數附加多項式與單傅里葉級數形式進行展開，用以克服位移函數導數在邊界處不連續(xù)問題。進而，基于能量原理和瑞利－里茲方法對所有未知傅里葉級數系數進行求解，得到包含所有模態(tài)頻率參數的系統(tǒng)特征方程矩陣表達式。

采用MATLAB語言編制仿真程序，通過與文獻中其他方法預報結果相比較，驗證了本文方法和所編制程序的正確性和有效性。同文獻中方法相比，本模型中邊界條件修改時，不需要對理論模型重新推導和進行程序的重新編寫。隨后，搭建彈性板結構面內模態(tài)測試臺架，通過與測試結果比較分析，再次驗證了本模型的有效性，同時指出彈性板結構面內模態(tài)測試中加速度計的磁座固定方式是引起模態(tài)振型分布偏差的主要原因。

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