高速飛行器小速度比交會問題及方法特性研究

熊俊輝，唐勝景，郭杰

(1.北京理工大學(xué)宇航學(xué)院 飛行器動力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100081;2.湖北航天技術(shù)研究院總體設(shè)計(jì)所，湖北武漢430040)

飛行器攔截問題的實(shí)質(zhì)是一個目標(biāo)與攔截器的交會過程，根據(jù)交會過程中目標(biāo)與攔截器的速度與位置關(guān)系可以分為尾追、迎擊及前向攔截［1］。由于常見的目標(biāo)交會問題多為攔截器遠(yuǎn)大于目標(biāo)速度，采用尾追的制導(dǎo)方式即可滿足任務(wù)需求。隨著目標(biāo)飛行器速度的不斷增大，如空間軌道飛行器或臨近空間高超聲速飛行器，攔截器與目標(biāo)飛行器的速度比越來越小，甚至小于1［2］。當(dāng)攔截器與目標(biāo)的速度比p＜1時，傳統(tǒng)的尾追式制導(dǎo)方法無法直接擊中目標(biāo)，需要研究其他的交會制導(dǎo)方法，即迎擊攔截及前向攔截制導(dǎo)方法［3］。

Shima等針對軌道飛行器攔截提出了前向攔截制導(dǎo)方法并驗(yàn)證了該方法對機(jī)動、高速目標(biāo)攔截的有效性［3-4］。Prasanna等研究了一種針對高速飛行器攔截的負(fù)比例導(dǎo)引律，其實(shí)質(zhì)是前向攔截的比例導(dǎo)引［5］。嚴(yán)衛(wèi)生等以水下目標(biāo)為背景，設(shè)計(jì)了迎面攔截變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律并證明其有很好的魯棒性及脫靶量小的優(yōu)點(diǎn)［6］。葛連正等建立了前向攔截三維制導(dǎo)模型并研究了二階滑模非線性制導(dǎo)律［7］。李運(yùn)遷等針對高超速再入的彈道導(dǎo)彈，基于滑模變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計(jì)了零控脫靶量的末制導(dǎo)律［8］。陳興林等研究了微分幾何制導(dǎo)律的捕獲性能，對攔截問題的研究提供了一種思路［9］。

雖然針對迎擊和前向攔截已有研究并取得一定成果［10］，但對高速飛行器的p＜1的兩種交會方法的適用條件、方法特性及選擇依據(jù)方面缺乏對比研究，這也是本文的主要研究內(nèi)容。

1 相對運(yùn)動關(guān)系

本文旨在研究小速度比問題及交會方法特性，為方便研究基于以下假設(shè):

1)將攔截器與目標(biāo)視為質(zhì)點(diǎn);

2)攔截器與目標(biāo)作等速運(yùn)動，攔截器均改變速度方向進(jìn)行機(jī)動。

圖1 攔截器與目標(biāo)相對運(yùn)動關(guān)系Fig.1 Relative motion of the interceptor and the target

建立攔截器與目標(biāo)的相對運(yùn)動如圖1所示，M為攔截器，T為目標(biāo)，R為攔截器與目標(biāo)距離。MXYZ為慣性坐標(biāo)系;MXlYlZl為視線坐標(biāo)系，Xl軸由攔截器指向目標(biāo)，Yl位于縱向平面與Xl垂直，Zl由右手定則確定;MXmYmZm為攔截器彈道坐標(biāo)系;TXtYtZt為目標(biāo)的彈道坐標(biāo)系。θl、φl為視線坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的歐拉角，即視線高低角及方位角;θm、φm為攔截器彈道坐標(biāo)系到視線坐標(biāo)系的歐拉角，即攔截器的速度矢量前置角;θt、φt為目標(biāo)彈道坐標(biāo)系到視線坐標(biāo)系的歐拉角，即目標(biāo)速度矢量前置角(圖中不便標(biāo)出);aym、azm為縱向及側(cè)向面的加速度控制量。攔截器與目標(biāo)的相對運(yùn)動方程為［11］

2 交會問題及方法特性

2.1 交會方法描述

無論何種交會方式，理論上只要交會過程中始終滿足0，對于有限距離的攔截器與目標(biāo)即可實(shí)現(xiàn)交會。由式(1)中第一式知由攔截器與目標(biāo)在視線的速度分量疊加得到，將攔截器與目標(biāo)的相對位置及二者速度在視線上分量的關(guān)系作為定義3種交會方法的依據(jù)。令u=vmcos θmcos φm，w=vtcos θtcos φt，u、w分別表征了目標(biāo)與攔截器的速度在視線上的分量。所以:

一般地，定義攔截器與目標(biāo)的歐拉角滿足:

1)尾追

尾追，指在交會過程中攔截器與目標(biāo)在視線上有相同的速度分量，且目標(biāo)位于攔截器的前方，滿足:

由式(3)、(4)，得尾追滿足:

1)迎擊攔截

迎擊攔截，指在交會過程中攔截器與目標(biāo)在視線上有相反的速度分量，且目標(biāo)位于攔截器的前方，滿足:

由式(3)、(6)，得迎擊攔截(head-on impact，HI)滿足:

2)前向攔截

前向攔截，指在交會過程中攔截器與目標(biāo)在視線上有相同的速度分量，且目標(biāo)位于攔截器的后方，滿足:

由式(3)、(8)，得前向攔截［3］(head pursuit，HP)，滿足:

2.2 交會的速度比條件

平行接近法是二體交會的理想形式［12］。理論上，按準(zhǔn)平行接近原則:

同時保持:

即可以實(shí)現(xiàn)交會。文中所述速度比是指攔截器與目標(biāo)的速率之比，即p=vm/vt。由式(1)、(10)，縱向面內(nèi)，有

對側(cè)向平面，有

1)尾追的速度比條件

分別由式(5)、(12)、(13)得

顯然，要求

將式(14)代入式(11)，得尾追的速度比條件為

2)迎擊攔截的速度比條件

由式(12)、(13)，考慮式(7)，同樣可得式(14)，即迎擊攔截的速度比滿足式(15)。另由式(11)推導(dǎo)得p＞0，所以，迎擊攔截的速度比條件

3)前向攔截的速度比條件

分別由式(12)、(13)，考慮式(9)，得

即前向攔截的速度比亦滿足式(15)。將式(18)代入式(11)，整理得p＜1。所以前向攔截的速度比條件:

2.3 有效攔截區(qū)域

本文著重討論的小速度比是指p≤1而無法采用傳統(tǒng)的尾追方法的情況。以上分析可知，迎擊及前向攔截均可適用于速度比小于1的交會，此處分析兩種交會方法的攔截區(qū)域。對滿足速度比條件的迎擊或前向攔截，給定速度比p后，其有效攔截區(qū)域可用攔截器的歐拉角的變化范圍來表示。

1)迎擊攔截的有效攔截區(qū)域

按準(zhǔn)平行接近原則，由式(12)得到θm的下限，結(jié)合式(7)，得θm的范圍:

類似的，由式(13)、(14)得到φm的下限，考慮定義式(7)，得φm的范圍:

2)前向攔截的有效攔截區(qū)域

類似的，得前向攔截的θm范圍同樣滿足式(20)。由式(13)、(18)結(jié)合式(9)得φm的上限:

另考慮定義式(9)，得φm的范圍:

若攔截器既可實(shí)施迎擊也可實(shí)施前向攔截，將迎擊和前向攔截的有效攔截區(qū)域合并可以得到小速度比交會的攔截區(qū)域，由式(20)、(21)、(23)，得

圖2 迎擊及前向攔截的有效攔截區(qū)域Fig.2 Intercept region of head-on impact and head pursuit

圖2描繪了攔截器的有效攔截區(qū)域隨θt、φt的變化關(guān)系(為便于對比顯示，圖2(b)以點(diǎn)云示意)。圖2顯示，攔截器的有效攔截區(qū)域也隨著p的增大而增大;圖2(b)中，φm=π/2為迎擊與前向攔截的分界面，對p＜1的交會問題，二者有對稱的有效攔截區(qū)域。

2.4 需用過載

1)迎擊攔截的需用過載

分別將式(12)、(13)對時間求導(dǎo)，并將式(14)代入，得:

由式(1)、(10)，得

代入式(25)得

2)前向攔截的需用過載

類似的推導(dǎo)，可以得前向攔截的需用過載

兩種交會方法具有絕對值相等的需用過載，即目標(biāo)的機(jī)動給迎擊及前向攔截引起過載需求相同。需要指出，實(shí)際中由于接近速率、視線角速率不同，迎擊及前向攔截的需用過載存在明顯區(qū)別，這也是兩種方法的主要特征。

2.5 允許初始距離

迎擊及前向攔截均有各自的有效攔截區(qū)域，當(dāng)目標(biāo)采取機(jī)動規(guī)避至有效攔截區(qū)域外將導(dǎo)致交會失敗。因此，評價兩種交會方法的一個性能特征是針對機(jī)動目標(biāo)的允許初始距離，即在目標(biāo)開始機(jī)動規(guī)避的時刻，交會允許的攔截器與目標(biāo)的最大距離。圓弧機(jī)動是一種典型的規(guī)避方法，對時間較短的高速飛行器交會，其他諸如蛇形機(jī)動及正弦機(jī)動亦可近似于圓弧機(jī)動，此處以目標(biāo)作圓弧機(jī)動為例對比分析2種方法的允許初始距離。通過對接近速率積分可以得到交會的允許初始距離Rmax，即

其中，t0為初始時刻，tmax為交會結(jié)束時間。

將式(14)代入式(29)得到迎擊的允許初始距離為

類似的，前向攔截的允許初始距離為

考慮作圓弧機(jī)動，所以

對于迎擊攔截，由式(17)，知

將式(32)代入式(33)，求解可得tmax。若考慮高速飛行器的交會主要在縱向平面進(jìn)行機(jī)動，忽略側(cè)向面的機(jī)動，即nzt=0，則

為直觀對比兩種方法的允許初始距離，記t0為0，給定vt=1 360 m/s、θt0=10°、φt0=175°，可以獲得Rmax隨nyt、p的變化關(guān)系，如圖3所示。

由圖3可知，兩種方法的Rmax均隨nyt的增大而減小;相同的p情況下，迎擊的Rmax遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于前向攔截。對迎擊攔截，p的增大可以明顯增大Rmax，而對前向攔截，這種效果不明顯，這也意味著對于前向攔截器，圓弧機(jī)動是一種很好的規(guī)避手段。

值得說明的是，文中基于準(zhǔn)平行接近法研究獲得了小速度比交會特性，若采用比例導(dǎo)引等其他導(dǎo)引方法得到的速度比條件、有效攔截區(qū)域、允許初始距離將更苛刻。

圖3 迎擊及前向攔截的允許初始距離Fig.3 Allowed distance of head on impact and head pursuit

3 導(dǎo)引特性

為對比迎擊及前向攔截的導(dǎo)引彈道特點(diǎn)，以經(jīng)典的三維比例導(dǎo)引律進(jìn)行仿真，導(dǎo)引方程為

式(35)中，當(dāng)采用前向攔截時，其比例系數(shù)取負(fù)值［5］。由于前向攔截和迎擊攔截都采用傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引，僅比例系數(shù)正向號關(guān)系，兩種方法在導(dǎo)引穩(wěn)定性方面沒有本質(zhì)區(qū)別。案例中，取攔截器與目標(biāo)分別以vm=1 020 m/s、vt=1 360 m/s作等速運(yùn)動，此時速度比為0.75。進(jìn)入導(dǎo)引段時目標(biāo)分別在縱向、側(cè)向通道以過載4、2作圓弧機(jī)動。設(shè)定交會的初始值及參數(shù):R0=6 000 m，θl(0)=30°，φl0=15°，θt0=10°，φt0=170°。迎擊:N=6，θm0=15°，φm0=0°;前向N=－6，θm0=15°，φm0=170°。

在給定初始條件下，迎擊與前向攔截均實(shí)現(xiàn)了p＜1的交會。迎擊攔截與前向攔截的交會軌跡、視線角速率和需用過載分別如圖4～6所示。仿真結(jié)果顯示，迎擊與前向攔截的主要區(qū)別體現(xiàn)在交會時間、飛行路徑及需用過載。由于較大的接近速率，迎擊的交會時間及路徑遠(yuǎn)小于前向攔截，案例中迎擊時間為2.63 s，而前向攔截為 15.94 s;但過高的接近速率又使迎擊的視線角速率過早發(fā)散，導(dǎo)致其需用過載末段迅速增大，且末段視線角速率是影響精度的重要因素，在其他影響作用相同的情況下高速迎擊易導(dǎo)致更大的脫靶量。這意味著，前向攔截器除了要求后視探測器，還要求更大射程;而迎擊對攔截器的過載要求較高。

圖4 攔截器與目標(biāo)運(yùn)動軌跡Fig.4 Trajectory of interceptor and target

圖5 攔截器的視線角速率Fig.5 LOS angular rate of interceptor

圖6 攔截器的需用過載Fig.6 Required overload of interceptor

4 結(jié)論

攔截器與目標(biāo)的速度比直接決定了交會方法的選擇。通過對p＜1的交會問題及方法對比研究，獲得以下結(jié)論:

1)迎擊及前向攔截均可適用p＜1的交會。無論是迎擊還是前向攔截，都有速度比下限要求，且取決于目標(biāo)速度矢量的前置角，對于前向攔截還需滿足p＜1;

2)迎擊及前向攔截的有效攔截區(qū)域主要取決于p及目標(biāo)速度矢量的前置角，p速度比越大攔截區(qū)域越大，對相同的目標(biāo)特性，二者的攔截區(qū)域呈空間對稱狀;

3)對于相同的目標(biāo)機(jī)動，引起迎擊及前向攔截的過載需求相同;由于前向攔截的接近速率遠(yuǎn)小于迎擊，其對圓弧機(jī)動目標(biāo)的允許初始距離遠(yuǎn)小于迎擊，且增大p速度比也不能顯著增大允許初始距離;

4)得益于較大的接近速率，迎擊的交會時間短、攔截器的射程要求低，但過大的接近速率使得視線角速率過早發(fā)散，從而使末段需用過載迅速增大;而前向攔截則由于較小的接近速度使交會時間長、射程要求較長，但其視線角速率及需用過載平穩(wěn)。

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