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    POCKn的一類正則子半群的秩

    2015-08-22 09:37:31張熹成高榮海
    常熟理工學(xué)院學(xué)報 2015年2期
    關(guān)鍵詞:保序單點正則

    張熹成,高榮海,b

    (貴州師范大學(xué) a.數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院;b.學(xué)報編輯部,貴州 貴陽 550001)

    POCKn的一類正則子半群的秩

    張熹成a,高榮海a,b

    (貴州師范大學(xué) a.數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院;b.學(xué)報編輯部,貴州 貴陽 550001)

    設(shè)自然數(shù)n≥5,Xn={1,2,…,n},POn是Xn上的保序部分變換半群,POCKn是POn中核具有連續(xù)橫截面的元素所構(gòu)成的子半群,我們得到POCKn的正則元構(gòu)成的子半群秩為2n-1.

    保序;連續(xù)橫截面;正則;秩

    設(shè)自然數(shù)n≥5,Xn={1,2,…,n},若Xn上的一個全變換α滿足:對任意x,y∈Xn,x≤y?xα≤yα,則稱α是保序的,Xn上保序全變換(不含Xn上恒等變換)的集合記作On.設(shè)POn=On?{}

    進而本文將考慮在POn上核具有連續(xù)橫截面的保序部分變換半群 POCKn的正則元構(gòu)成子半群Reg(POCKn)的秩.

    本文證明了如下主要結(jié)果:

    定理設(shè)自然數(shù)n≥5,則rank(Reg(POCKn)=2n-1.

    1 準備

    設(shè)S是一個半群,ε∈S,若ε2=ε,則稱ε是S的一個冪等元;對于α∈S,若存在 β∈S,使得αβα=α,則稱α是S的一個正則元,S的正則元構(gòu)成的集合記作Reg(S).對于半群S,如果滿足條件:Reg(S)=S.那么稱S是正則半群.

    設(shè)α∈POCKn,用im(α)表示α的象集,Ker(α)表示Xn上的一個等價關(guān)系α-1°α={(x,y)∈Xn×Xn:xα=yα},若|im(α)|=r(1≤r≤n-1),POCKn的元素有如下標準表示:其中maxA1=i,minA2=i+r-1,A1,A2?Xn,以及ai∈Xn,a1<a2<,...,<ar,i=1,2,...,r.

    定義1[5]稱非空子鏈A?Xn是Xn的連續(xù)子鏈,若對任意k∈Xn,只要minA≤k≤maxA,則k∈A.

    下面對POCKn中正則元特性進行刻劃.

    命題1設(shè)α∈POCKn,||im(α)=r,4≤r≤n-1.并且有上述標準表示,則α是正則元的充要條件是:標準表示(1)中,a2<,...,<ar-1恰好是Xn的一個連續(xù)子鏈.

    證明必要性:

    α的象集是 β的核的部分連續(xù)橫截面,而 β的象集又是α的核的部分連續(xù)橫截面;若a2,...,ar-1不連續(xù),不失一般性,不妨設(shè)a2,a3不連續(xù),則a3=a2+x,(x≥2),此時a2,a3一定屬于 β的兩個不相鄰單點核類,因此有a3β>a2β+1,但由 αβα=α知,必有 a3β=i+2,a2β=i+1,即有 a3β=a2β+1,這與 a3β>a2β+1矛盾,故a2,...,ar-1必為連續(xù)子鏈.

    充分性:因為a2<,...,<ar-1恰好是Xn的一個連續(xù)子鏈.

    POCKn中的正則元.

    注1設(shè)α∈POCKn,αβα=α,由α的標準表示可知若1≤||im(α)≤3,則α都是正則元.

    易見POCKn中所有正則元構(gòu)成的集合構(gòu)成POCKn的一個子半群,我們記作Reg(POCKn).為了敘述上的方便,在Reg(POCKn)上引入下面的二元關(guān)系,對任意α,β∈Reg(POCKn)定義:

    (α,β)∈LM?im(α)=im(β);(α,β)∈RK?ker(α)=ker(β);(α,β)∈J?||im(α)=||im(β);

    則LM,RK,J都是Reg(POCKn)上的等價關(guān)系,易知LM?J,RK?J.

    對0≤r≤n-1,記Jr={α∈Re g(POCKn):|im(α)|=r},Ir={α∈Re g(POCKn):|im(α)|≤r},則J0,J1,J2,…,Jn-1恰好是Reg(POCKn)的n個J-類,I0?I1?...?In-1且恰好是Reg(POCKn)的n個理想構(gòu)成的理想鏈,并且

    注2根據(jù)Reg(POCKn)中元素的標準表示,可知頂端J-類Jn-1中有4個R-類:

    以及4個LM-類:LM(i)={α∈Jn-1:im(α)=Xn{i}},i=1,2,3,4.

    由此可知頂端共有16個元.我們考慮Jn-1中的一個子集A={}ε1,ε2,ε3,ε4分別定義為:1ε1=2,kε1=k,(k≠1).nε2=n,kε2=k+1,(k≠n),1ε2=1.

    定義2設(shè)α∈POCKn,?α∈Jr(1≤r≤n-2),若α?POCKnJr,則稱α為不可分解元.

    在研究中發(fā)現(xiàn)Reg(POCKn)中同層J-類有兩個不可分解元而且不能相互生成,為了證明的方便,我們對Jr(1≤r≤n-2)中的兩個不可分解元分別記為:

    2 主要結(jié)果及其證明

    情形2當A為非單點集時.即||A>1.

    (1)當maxA=n時:

    (2)當maxA≠n時,設(shè)i=maxA,t=maxA{i},1<i≤n-1.

    ②當a<n時,

    情形1當α為一一變換時:

    Ⅰ.當i>1時:

    Ⅱ.當i≠n時:

    情形1當α為一一變換時:

    ①當ar≤n-1時:

    情形2當A1,A2不全為單點集時.

    (1)若A1為單點集,A2為非單點集時.

    ①若t+1≠n時,

    (2)若A1為非單點集,A2為單點集時:

    ①當maxA2=n時,

    當t≠1時.

    (3)若A1為非單點集,A2為非單點集時:

    推論1自然數(shù)n≥5時,有Reg(POCKn)=Jn-1?V,其中V如前所述.

    引理5設(shè)自然數(shù)n≥5,則有Jn-1?A.其中A={ε1,ε2,ε3,ε4}.ε1,ε2,ε3,ε4如前文(2)所定義.

    證明由于頂端J-類Jn-1中共有16個元 ε1,ε2,ε3,ε4,e1,e2,e3,e4,e5,f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7以及 e1=ε1ε4ε3ε2. e2=ε4ε3ε2ε1,e3=ε2ε1ε4ε3,e4=ε2ε1ε4,e5=ε3ε2ε1ε4,f1=ε1ε4ε3,f2=ε1ε4,f3=ε2ε1,f4=ε3ε2ε1,f5=ε3ε2,f6=ε4ε3ε2, f7=ε4ε3.可知Jn-1?A.

    由文獻[3]中引理7,易知Reg(POCKn)的任意生成集都必須覆蓋Jn-1中每個RK-類和每個LM-類,而Jn-1中共有4個LM-類和4個RK-類.因此我們得到,當自然數(shù)n≥5時,Jn-1的最少生成集的元素個數(shù)不少于4.由引理5,可得如下的推論:

    推論2當自然數(shù)n≥5時,Jn-1最少生成集的個數(shù)恰好為4.

    定理的證明由推論1及推論2,再由||V=2n-5,知當n≥5時,則rank(Reg(POCKn))=2n-1.

    [1]Gomes G M S,Howie J M.On the ranks of certain semigroups of order-preserving transformations[J].Semigroup Forum,1992,45 (1):272-282.

    [2]Garba G U.On the idempotent ranks of certain semigroups of order-preserving transformations[J].Portugal Math,1994,51(2): 185-204.

    [3]高榮海,徐波.核具有連續(xù)橫截面的保序變換半群的秩[J].西南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2013,38(4):18-23.

    [4]高榮海,徐波.半群OCKn的理想的秩[J].蘭州大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2013,49(3):384-388.

    [5]高榮海,喻秉均.保序壓縮變換半群的理想的極大子半群[J].四川師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2014,37(5):643-648.

    [6]徐波.正則保序壓縮變換半群的秩[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2012,30(3):51-54.

    [7]高榮海.關(guān)于一類純正半群的秩[J].華南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2013,45(3):33-35.

    [8]徐波,馮榮權(quán),高榮海.一類變換半群的秩[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識,2010,40(8):222-224.

    [9]高榮海,徐波.關(guān)于保序壓縮奇異變換半群的秩[J].山東大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版,2011,46(6):4-7.

    [10]高榮海,徐波.單調(diào)壓縮變換半群的秩[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識,2013,43(15):259-262.

    [11]高榮海.單調(diào)壓縮部分變換半群的秩[J].常熟理工學(xué)院學(xué)報,2013,27(2):35-38.

    [12]Barnes G,Levi I.On idempotent ranks of semigroups of partial Transfo-rmations[J].Semigroup Forum,2005,70(1):81-96.

    [13]Levi I.Nilpotent ranks of semigroups of partial transformations[J].Semigroup Forum,2006,73(3):459-476.

    On the Ranks of Certain Regular Subsemigroups ofPOCKn

    ZHANG Xi-chenga,GAO Rong-haia,b
    (a.School of Mathematics and Computer Science;b.The Editorial Board of the Journal, Guizhou Normal University,Guiyang 550001,China)

    LetPOnbe the semigroup of all the order-preserving partial transformations onXn={1,2,…,n}for n≥5.LetPOCKnbe subsemigroup consisting of kernel with continuous transversal inPOn.It is shown that the rank of regular subsemigroup inPOCKnis equal to2n-1.

    order-preserving;continuous transversal;regular;rank

    O152.7

    A

    1008-2794(2015)02-0096-07

    2014-10-22

    通訊聯(lián)系人:高榮海,教授,碩士生導(dǎo)師,研究方向:半群代數(shù)理論,E-mail:gaorh1978@163.com.

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