廣義耦合非線性薛定諤方程中的達(dá)布變換和多孤子解*1

林 機(jī), 郭幫興

(浙江師范大學(xué) 非線性物理研究所,浙江 金華 321004)

廣義耦合非線性薛定諤方程中的達(dá)布變換和多孤子解*1

林 機(jī), 郭幫興

(浙江師范大學(xué) 非線性物理研究所,浙江 金華 321004)

給出了廣義耦合非線性薛定諤方程(GCNLS)的2種達(dá)布變換和多孤子解.對(duì)于自聚焦型GCNLS，給出了N個(gè)亮-亮孤子解，對(duì)于散焦型的GCNLS，由第2種達(dá)布變換給出了N-暗-暗孤子解.作為例子，文中給出了二孤子相互作用.

廣義耦合非線性薛定諤方程;達(dá)布變換;多孤子解;孤子相互作用；高孤子

0 引 言

廣義耦合非線性薛定諤方程(簡(jiǎn)稱GCNLS)為

式(1)中：a和c是常數(shù);b是一個(gè)復(fù)常數(shù);符號(hào)“*”表示復(fù)共軛.在非線性光學(xué)中，a和c表示自相位調(diào)制效應(yīng)和交叉相位調(diào)制效應(yīng)，b和b*兩項(xiàng)表示四波混頻效應(yīng).GCNLS(1)具有Lax對(duì)、雙線性形式和根據(jù)黎曼-希爾伯特方法得到的N個(gè)孤子解[1-2].近來，利用τ函數(shù)方法給出了廣義耦合非線性方程(1)的N-暗-暗孤子解[3].眾所周知，一個(gè)非線性偏微分方程若具有可解的逆散射變換、N-孤子解、雙線性形式、Lax對(duì)和達(dá)布變換(DT)等特性，就稱該方程是完全可積.對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的耦合非線性薛定諤方程(簡(jiǎn)稱CNLS)，亦稱為Manakov方程，且自聚焦型的CNLS，利用逆散射方法和達(dá)布變換及雙線性方法得到了N-亮-亮孤子和N-亮-暗孤子解[4-7].近來，利用達(dá)布變換和雙線性方法，研究了非線性自散焦式和聚焦散焦混合型的CNLS的孤子解[8-10]，對(duì)于自散焦的CNLS，利用雙線性方法可以得到N-亮-暗孤子和2-暗-暗孤子解[11-12].通過逆散射變換，一些簡(jiǎn)單的暗-暗孤子和亮-暗孤子可以被構(gòu)造出來[13].文獻(xiàn)[9-10]給出了自聚焦-散焦混合型的CNLS的2-和3-亮-亮孤子和亮-暗孤子解.盡管求解自散焦型的CNLS的方法有很多，但是多暗孤子還未能給出.因此，如何獲得自散焦型CNLS的多暗孤子是非常重要的研究課題.最近，Ohta和Yang通過τ函數(shù)方法構(gòu)造了自散焦型的CNLS與GCNLS的一般N-暗-暗孤子解.求具有Lax對(duì)的非線性偏微分系統(tǒng)的多孤子解，達(dá)布變換方法是非常有效的[14-19]，所以我們相信可以通過達(dá)布變換得到GCNLS的多孤子解.

本文中，筆者主要研究了GCNLS(1)的達(dá)布變換和多孤子解.第2節(jié)將構(gòu)造自聚焦和自散焦型的GCNLS方程(1)的達(dá)布變換，推導(dǎo)給出GCNLS方程在自聚焦型情況下的多-亮-亮孤子和自散焦情況下的多-暗-暗孤子.最后是結(jié)果和討論.

1 達(dá)布變換

GCNLS(1)具有如下的Lax對(duì):

式(2)中：Φ(x,t)是矩陣函數(shù);λ為譜參量;以及

其中:r1=-ap*-bq*,r2=-b*p*-cq*.通過直接計(jì)算表明，滿足式(2)相容條件可以得到GCNLS(1).顯然，GCNLS(1)的達(dá)布變換應(yīng)該有以下形式：

這里的G是一個(gè)非奇異矩陣，并且滿足

GCNLS(1)的Lax對(duì)在達(dá)布變換(2)變換下其形式保持不變，即

要求滿足以下關(guān)系式

如果能給出一個(gè)3×3的矩陣M(G)，那么就可以得到GCNLS(1)的達(dá)布變換(3)，最后由達(dá)布變換(3)得到GCNLS(1)的新解.根據(jù)一般計(jì)算達(dá)布變換原則，式(3)的矩陣元素是Lax對(duì)(2)中的解.事實(shí)上，引入以下幺正變換:

這里φ滿足以下的Lax對(duì):

這里

變量u和v滿足CNLS方程.通過以上的變換關(guān)系可以得到自聚焦型的GCLNS(1)的達(dá)布變換.

以下筆者將研究相應(yīng)的達(dá)布變換和自聚焦型和自散焦型的GCNLS(1)的多孤子解.

1.1自聚焦型GCNLS中的達(dá)布變換和多孤子解

對(duì)于自聚焦型的GCNLS(1)，其參量a>0,c>0,設(shè)Lax對(duì)(2)中的譜參量分別為λ1=μ，λ2=λ3=μ*及解為Φ(j)(j=1,2,3)，即

Φ(j)=(iμ*J+U)Φ(j),j=2,3.

(10)

若能夠得到方程(9)的解Φ(1)，通過尋找Φ(2,3)和Φ(1)的關(guān)系，進(jìn)而給出方程(10)的解.筆者發(fā)現(xiàn)

從式(11)得到φ(1)和φ(j)滿足如下關(guān)系:

式(12)中：φ(1)和φ(j)是式(8)的譜參量(λ1,λj)=(μ1,μ*1)的解.最后，筆者給出式(3)中的矩陣G

及矩陣M

M=GΛG-1=ΩHΛH-1Ω-1. (14)

因此，由式(14)可以做一次達(dá)布變換，從方程(1)的一種子解(p0,q0)出發(fā)就能得到方程(1)的一個(gè)新解

若做N次達(dá)布變換，就能得到GCNLS方程(1)的一般迭代新解

這里

(18)

式(18)中，φ(j)是式(8)關(guān)于λ=μj和Φ(1)i=φ(1)i(i=1,2,3)的解.

1.2自散焦GCNLS的達(dá)布變換和一般迭代解

通過上述傳統(tǒng)的達(dá)布變換方法,很難獲得自散焦型的GCNLS(1)的一般迭代解.受文獻(xiàn)[16]中的方法啟發(fā)，嘗試使用簡(jiǎn)單的達(dá)布變換方法尋找GCNLS的多暗孤子解.對(duì)于自散焦型的GCNLS(1)中的參量，要求a<0,c<0.式(8)中的第1個(gè)式子中伴隨的譜問題可以寫成下面形式

利用規(guī)范變換構(gòu)建式(8)的達(dá)布變換.假設(shè)在λ=μ1時(shí)有式(8)譜問題的一個(gè)解Φ1，以及在λ=v1時(shí)有式(19)伴隨譜問題的一個(gè)解Ψ1.然后式(8)的達(dá)布變換

和伴隨譜問題式(19)的達(dá)布變換

因此，就可以給出Q的迭代關(guān)系式

同時(shí)我們假設(shè)Q矩陣函數(shù)具有如下對(duì)稱性:

Q的對(duì)稱性意味著：如果Φ1是λ=λ1(λ∈R)譜問題(8)的特殊矢量解，那么Φ+1M就是λ=λ1的伴隨譜問題(19 )的特殊解.

為了滿足對(duì)稱性(23)，筆者選擇

和

其中φ1和ψ1是復(fù)函數(shù).可以很容易證明式(24)和式(25)特殊的選擇可以使式(22)滿足對(duì)稱性

Q[1]?=-MQ[1]M-1.

因此，單-暗-暗孤子解為

式(26)中,

以及對(duì)于所有的(x,t)∈R2，Im(φ1,ψ1)≠0.假設(shè)我們選擇不同的2N個(gè)μ1,μ2,…,μN(yùn);v1,v2,…,vN實(shí)數(shù)，并能找到相應(yīng)的矢量函數(shù)Φ和Φ+M,則通過反復(fù)迭代達(dá)布變換(20)和(21)，就能給出N次的達(dá)布變換.若

Φi=Φ(λ=μi)，Ψi=Φ?(λ=μi)M，

則得到了方程(1)的N次迭代解

(28)

其中，

2 GCNLS的多孤子解

一般來說，通過選取不同種子解，可以得到GCNLS方程(1)的不同類型的孤子解.這里，筆者給出2種類型的孤子解.

2.1自聚焦型GCNLS的多亮-亮孤子

取GCNLS(1)的種子解p=q=1,N=1，把它們代入式(8)，從中可解得φ(1)k(k=1,2,3):

并且從迭代公式(16)得到GCNLS(1)的1-亮-亮孤子解

式(30)中：ε1=2μ12(-x+4μ11t);μ1=μ11+iμ12.若取N=2，就能得到GCLNS 的2-亮-亮孤子解

式(31)中：

式(32)中：Ak(k=1,2,3,4,5,6)為任意常數(shù).令μ1=-0.2+i，μ2=0.2+i，a=3,b=1+i，A1=A2=A3=A4=-A5=A6=c=1，將這些參數(shù)代入式(32)和式(31)，就能導(dǎo)出p和q的2個(gè)孤子解.圖1分別顯示了GCNLS(1)中二場(chǎng)振幅為2個(gè)亮孤子傳播特征，表明2個(gè)孤子碰撞前后，它們傳播的方向、速度及形狀都未發(fā)生變化.

圖1 |p|2和|q|2的2-亮-亮孤子傳播

2.2自散焦型GCNLS的多-暗-暗孤子解

選擇Lax對(duì)(8)的u=c1exp[-2i(c21+c22)t]，v=c2exp[-2i(c21+c22)t],c1,c2∈R為GCNLS(1)的種子解，容易驗(yàn)證下式滿足式(24)和式(25)的Lax對(duì)(8)和(19)的一個(gè)解

Ψ=Φ?1M|μ=v.

圖2 |p|2和|q|2的單暗-暗孤子傳播

取式(27)中N=2，可以得到2-暗-暗孤子

圖3 |p|2和|q|2的2-暗-暗孤子傳播

3 結(jié)果與討論

筆者分別得到了自聚焦型和自散焦型的GCNLS(1)達(dá)布變換和多孤子解.通過構(gòu)造GCNLS的達(dá)布變換，分別得到自聚焦型GCNLS的N-亮-亮孤子和自散焦型GCNLS的N-暗-暗孤子.以2個(gè)孤子(包括聚焦非線性GCNLS的2個(gè)亮-亮孤子和散焦非線性GCNLS的2個(gè)暗-暗孤子)的傳播為例，討論2個(gè)孤子相互作用性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)在傳播過程中它們的振幅和傳播速度都沒有發(fā)生變化.事實(shí)上，對(duì)于自聚焦和自散焦混合型(a>0,c<0)的GCNLS,通過簡(jiǎn)單的達(dá)布變換，可以很容易地獲得方程的N-亮-暗孤子解.

致謝:感謝樓森岳教授和凌黎明博士的有益討論.

[1]Wang Dengshan.Symmetries and prolongation structure theory of some nonlinear wave equation[D].Beijiang:Chinese Academy of Sciences,2008.

[2]Wang Dengshan,Zhang Dajun,Yang Jianke.Integrable properties of the general coupled nonlinear Schr?dinger equations[J].J Math Phys,2010,51(2):023510.

[3]Ohta Y,Wang Dengshan,Yang Jianke.GeneralN-Dark-Dark solitons in the coupled nonlinear Schr?dinger equations[J].Stud Appl Math,2011,127(5):345.

[4]Matveev V B,Salle M A.Differential-difference evolution equation II:Darboux transformation for the Toda lattice[J].Lett Math Phys,1979,3(3):425-429.

[5]Manakov S V.Nonlinear Fraunhofer diffraction[J].Zh Eksp Teor Fiz Sov Phys JETP,1974,38(4):693-696.

[6]Park Q H,Shin H J.Systematic construction of vector solitons[J].IEEE J SEL TOP QUANT,2002,8(8):432-439.

[7]Radhakrishnan R,lakshmanan M,Hietarinta J.Inelastic collision and switching of coupled bright solitons in optical fibers[J].Phys Rev E,1997,56(4):2213.

[8]Park Q P,Shin H J.Systematic construction of vector solitons[J].IEEE J of Selected Topics in Quantun Electronics,2002,8(3):432.

[9]Kanna T,Lakshmanan M,Tchofo P,et al.Soliton collisions with shape change by intensity redistribution in mixed coupled nonlinear Schr?dinger equations[J].Phys Rev E,2006,73(2):026604.

[10]Vijayajayanthi M,Kanna T,Lakshmanan M.Bright-dark solitons and their collisions in mixed N-coupled nonlinear Schr?dinger equations[J].Phys Rev A,2008,77(1):013820.

[11]Sheppard A P,Kivshar Y S.Polarized dark solitons in isotropic Kerr media[J].Phys Rev E,1997,55(10):4773.

[12]Radhakrishnan R,Lakshmanan M.Bright and dark soliton solutions to coupled nonlinear Schr?dinger equations[J].J Phys A:Math Gen,1995,28(10):2683.

[13]Prinari B,Ablowitz M J,Biondini G.Inverse scattering transform for the vector nonlinear Schr?dinger equation with nonvanishing boundary conditions[J].J Math Phys,2006,47(6):063508.

[14]Li Yishen.The reductions of the Darboux transformation and some solutions of the soliton equations[J].J Phys A:Math Gen,1996,29(9):4187.

[15]Lin Ji,Ren Bo,Li Huamei,et al.Soliton solutions for two nonlinear partial differential equations using a Darboux transformation of the Lax pairs[J].Phys Rev E,2008,77(3):036605.

[16]M?nas M.Darboux transformations for the nonlinear Schr?dinger equations[J].J Phys A:Math Gen,1996,29(17):7721.

[17]Lmai K.Generalization of the Kaup-Newell Inverse scattering formulation and darboux transformation[J].J Phys Soc Jap,1999,68(2):355.

[18]Steudel H.The hierarchy of multi-soliton solutions of the derivative nonlinear Schr?dinger equation[J].J Phys A:Math Gen,2003,36(7):1931.

[19]Ling Liming,Liu Qingping.Darboux transformation for a two-component derivative nonlinear Schr?dinger equation[J].J Phys A:Math Theor,2010,43(11):434023.

(責(zé)任編輯 杜利民)

DarbouxtransformationsandMulti-solitonssolutionsforthegeneralcouplednonlinearSchrodingerequation

LIN Ji, GUO Bangxing

(InstituteofNonlinearPhysics,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

Multi-solitons solutions of general coupled nonlinear Schr?dinger equation(GCNLS) were obtained by two Darboux transformations(DT).N-bright-bright solitons for the focusing type of GCNLS were derived by the traditional DT method andN-dark-dark solitons for the defocusing type were presented by the simpler-looking DT. The interactions of multi-solitons were also discussed.

general coupled nonlinear Schr?dinger equation; Darboux transformations; Multi-solitons solutions； interaction solitons; bright soliton

10.16218/j.issn.1001-5051.2015.02.001

2015-01-06

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11175158)

林 機(jī)(1965-)，女，浙江永康人，教授，博士.研究方向：非線性物理.

O411

A

1001-5051(2015)02-0121-08